Liceo Galvani anno scolastico 2014-15
Programma svolto di matematica – classe 2 R -
docente: Leonardo Rossi
Geometria:
Definizione di vettori liberi. Operazioni con i vettori: somma, differenza,
moltiplicazione per uno scalare. Parallelismo fra vettori. Componenti cartesiane di un
vettore; dalle coordinate degli estremi alle componenti. Le operazioni in componenti.
Determinazione delle componenti a partire dal modulo e dall’angolo formato dal
vettore con l’asse delle ascisse. Scrittura di un vettore attraverso l’uso dei versori.
Definizione di prodotto scalare fra vettori utilizzando il coseno dell’angolo fra i due
vettori. Proprieta’ del prodotto, scrittura del prodotto scalare attraverso le componenti.
Condizione di perpendicolarita’ fra vettori.
La definizione di trasformazione geometrica in generale e di isometria in particolare.
Definizione di simmetrie assiali, centrali, rotazioni, traslazioni; dimostrazione che
sono isometrie. La composizione fra trasformazioni e la trasformazione inversa.
Applicazione delle isometrie nella dimostrazione di alcuni problemi di geometria.
Angoli al centro e alla circonferenza: dimostrazione del legame fra loro. Definizione
di poligono inscritto e circoscritto. I poligoni regolari: raggio e apotema di un
poligono regolare. Legame fra raggio e apotema nel caso di alcuni poligoni regolari
(triangolo equilatero, quadrato, esagono) con l’uso del teorema di Pitagora ).
Concetto di equivalenza ed equiscomponibilita’di superfici. Concetto di area come
classe di equivalenza e di sua misura. Teorema di Pitagora ( con dimostrazione ), I
teorema di Euclide ( senza dimostrazione ), II teorema di Euclide ( con
dimostrazione). Le relazioni fra le misure dei lati e altezza relativa all’ipotenusa che
derivano da questi teoremi; i teoremi di Euclide espressi attraverso le proporzioni.
Applicazioni: problemi geometrici risolvibili per via algebrica.
Il concetto di rapporto fra segmenti. Il teorema di Talete ( dimostrazione solo del caso
in cui il rapporto fra segmenti e’razionale ). Corollari al teorema: retta parallela alla
base del triangolo o del trapezio, bisettrice di un angolo di un triangolo.
La definizione di triangoli simili. I criteri di similitudine ( con dimostrazione ).
Applicazione dei criteri : rapporto fra altezze, perimetri, aree di triangoli simili.
Angoli orientati e non orientati. La misura in radianti e in gradi dell’ampiezza di un
angolo; conversione da un’unita’ all’altra. La circonferenza goniometrica e le funzioni
goniometriche fondamentali ( seno, coseno, tangente ) di un angolo: la proprieta’
fondamentale. Cenni alle funzioni goniometriche inverse: uso della calcolatrice per
ricavarsi l’angolo noto il valore di una funzione goniometrica dell’angolo. La
risoluzione dei triangoli rettangoli.
Algebra:
Il concetto di disequazione, principi di equivalenza per le disequazioni. La risoluzione
di una disequazione lineare intera. Le disequazioni lineari fratte risolte con il metodo
del prodotto dei segni del numeratore e denominatore; le disequazioni del tipo P(x)>0
(o <, etc. ) in cui P(x) e’un polinomio scomponibile in fattori lineari risolte con il
metodo del prodotto dei segni dei singoli fattori.. I sistemi di disequazioni.
La definizione di classi contigue di numeri razionali e di elemento separatore: i
numeri reali. La definizione di radice n-esima aritmetica per un numero reale non
negativo. Dimostrazione dell’irrazionalita’ di 2 . La rappresentazione con metodi
geometrici sull’asse reale di 2, 3, etc. Proprieta’dei radicali rispetto al prodotto ,
quoziente, elevamento a potenza; proprieta’ invariantiva e riduzione allo stesso
indice. Radice di un radicale. Applicazione delle proprieta’per semplificare
espressioni con i radicali. L ‘esistenza di radicali con radicando negativo;
semplificazione e uso delle proprieta’dei radicali in presenza di radicandi non
necessariamente positivi: uso del valore assoluto. Razionalizzazione di denominatori
contenenti radicali. Potenze con esponente razionale: definizione e proprieta’.
Ripasso sul concetto di funzione, dominio, condominio. Le funzioni iniettive,
suritettive, biettive; le funzioni invertibili. Il grafico di una funzione numerica;
utilizzo del grafico per determinare proprietà di iniettivitá , suriettivitá .
Interpretazione e risoluzione grafica delle equazioni f(x)=0 e f(x)=g(x) e delle
disequazioni f(x)>0 ( o <0, etc. ) e f(x) > g(x). Determinazione di soluzioni
approssimate fino ad un certo ordine dell’equazione f(x)=0 : il metodo di bisezione.
Introduzione ai sistemi lineari: sistemi determinati, indeterminati, impossibili. I
metodi di risoluzione: sostituzione, confronto, eliminazione anche per sistemi di 3
equazioni in 3 incognite.. Dimostrazione delle formule risolutive di Cramer per i
sistemi di 2 equazioni in 2 incognite; il determinante di una matrice 2x2 e il suo uso
per scrivere formule di Cramer. I sistemi parametrici 2x2: discussione dei casi
attraverso i determinanti o il metodo dei rapporti; interpretazione geometrica dei
sistemi 2x2 come studio delle posizioni reciproche di due rette.
Le coordinate nel piano cartesiano. Formule della distanza fra due punti e del punto
medio di un segmento ( con dimostrazione ). Le equazioni delle rette parallele agli
assi. Dimostrazione della formula dell’equazione esplicita della retta obliqua passante
per due punti di coordinate note. Il coefficiente angolare di una retta, altre forme
dell’equazione esplicita: y= mx + q , y-yp=m (x-xp) . L’equazione implicita della retta,
passaggio da forma esplicita ad implicita e viceversa. Dimostrazione delle condizioni
di parallelismo e perpendicolarità fra rette scritte in forma esplicita; formule
equivalenti per rette in forma implicita. Formula della distanza fra una retta ed un
punto esterno (senza dimostrazione). I semipiani come insiemi delle soluzioni di
disequazioni lineari in due incognite. Descrizione di angoli e poligoni come insiemi
delle soluzioni di sistemi di disequazioni.
Le equazioni di II grado, classificazione: equazioni pure, spurie, complete.
Dimostrazione della formula risolutiva dell’equazione completa con il metodo di
completamento del quadrato; il discriminante. Relazioni fra soluzioni e coefficienti
dell’equazione; fattorizzazione del trinomio di II grado. Discussione delle equazioni
parametriche di II grado. Il grafico della funzione quadratica: la parabola; proprietà di
simmetria della parabola, il vertice. Problemi di massimo e minimo che conducono a
funzioni quadratiche.
Studio algebrico del segno del trinomio di II grado in funzione del discriminante e
del coefficiente del termine di grado massimo ( con dimostrazione) ; interpretazione
geometrica con il grafico della parabola.
Applicazioni alla risoluzione di disequazioni di II grado.
Probabilità :
Introduzione al calcolo della probabilità: gli eventi equiprobabili e la definizione
classica di probabilità. Altre definizioni di probabilità: frequentista e soggettiva.
L’approccio assiomatico: i postulati generali della probabilità; i teoremi sul calcolo
della probabilità ( con dimostrazione ): eventi incompatibili ed eventi indipendenti. La
generalizzazione della probabilità classica: probabilità geometrica o uniforme. La
probabilità condizionale ( su schede fornite dal docente).
Argomenti di mathematics:
Capitolo 2 del testo inglese:
Simultaneous equations- Factorising and quadratic equations – Linear equations.
Capitolo 5:
Graphs- Inequalities and linear programming.
Capitolo 8:
Vector geometry.
Capitolo 10:
Statics and probabilità.
Bologna. 1 giugno 2015
Firma dei rappresentanti degli studenti
