1 Integrali di funzioni razionali

CALCOLO DI ALCUNI INTEGRALI INDEFINITI
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Integrali di funzioni razionali
Si cerca una primitiva di f (x) =
R(x)
,
Q(x)
• Passo 1. Si trasforma la frazione
S(x) +
dove R(x) e Q(x) sono polinomi.
R(x)
Q(x)
in una somma
P (x)
con deg(P (x)) < deg(Q(x)).
Q(x)
Se in partenza deg(R(x)) < deg(Q(x)) naturalmente basta porre S(x) = 0, P (x) = Q(x);
altrimenti bisogna dividere R(X) per Q(x) ottenendo R(x) = S(x)Q(x) + P (x).
• Passo 2. Si fattorizza il polinomio Q(x) su R, ottenendo una scrittura del tipo
Q(x) = a(x − α1 )m1 · · · (x − αn )mn · (x2 + p1 x + q1 )r1 · · · (x2 + ps x − qs )rs
dove a è una costante, gli αi sono a due a due distinti, e dove per ogni i = 1, . . . , s si ha
che p2i − 4qi < 0 (in altri termini i polinomi x2 + pi x + q1 non hanno radici reali).
(j)
(l)
(l)
• Passo 3. Si cercano costanti Ai , Fk , Gk tali che si verifichi la seguente uguaglianza:
(1)
(2)
(m )
(1)
(2)
(m )
A1
A1 1
P (x)
A1
=
+ ... +
+
Q(x)
x − α1 (x − α1 )2
(x − α1 )m1
A2
A2 2
A2
+
.
.
.
+
+
x − α2 (x − α2 )2
(x − α2 )m2
+....................................
(1)
(2)
(m )
An n
An
An
+
.
.
.
+
+
+
x − αn (x − αn )2
(x − αn )mn
+
(1)
(1)
(2)
(2)
(r )
(r )
(1)
(1)
(2)
(2)
(r )
(r )
F x + G1
F x + G1
F1 1 x + G1 1
+ 21
+ 21
.
.
.
+
x + p1 x + q1 (x + p1 x + q1 )2
(x2 + p1 x + q1 )r1
F x + G2
F2 2 x + G2 2
F x + G2
+ 22
.
.
.
+
+ 22
x + p2 x + q2 (x + p2 x + q2 )2
(x2 + p2 x + q2 )r2
+....................................
(1)
(1)
(2)
(2)
(r )
(r )
Fs x + Gs
Fs s x + Gs s
Fs x + Gs
+ 2
+
... + 2
x + ps x + qs (x2 + ps x + qs )2
(x + ps x + qs )rs
1
x+G
• Passo 4. Gli addendi di tipo (x2 F+px+q)
m si trasformano in
F
2x + p
F 2x + p − p + (2G/F )
(2G/F ) − p
=
.
+
2
(x2 + px + q)m
2 (x2 + px + q)m (x2 + px + q)m
• Passo 5. Si determina una primitiva per ciascuno degli addendi. Si noti che, dopo il passo
4, gli addendi sono dei seguenti quattro tipi.
1.
2.
3.
4.
A
: integrale immediato.
(x−α)m
2x+p
: integrale immediato.
(x2 +px+q)m
H
: integrale che si può calcolare riconducendosi
(x2 +px+q)
H
, m > 1. Per risolvere questo integrale si può
(x2 +px+q)m
alla forma
1
.
1+x2
utilizzare il cosiddetto metodo
di Hermite. Si determina un polinomio L(x) di grado 2m − 3 e due costanti M e N
tali che
0
L(x)
H
Mx + N
=
.
+
(x2 + px + q)m
(x2 + px + q)m−1
x2 + px + q
Dopodichè ovviamente si avrà
Z
Z
H
L(x)
Mx + N
dx = 2
+
dx,
2
m
m−1
2
(x + px + q)
(x + px + q)
x + px + q
e l’ultimo addendo si potrà trasformare come nel passo 4.
2
Alcune utili sostituzioni
Nel seguito con P e Q si indicheranno polinomi in una o più variabili.
R P (sin x,cos x)
• Q(sin
dx. Si scrive
x,cos x)
sin x =
2 tan x2
1 + tan2
cos x =
x
2
1 − tan2 x2
,
1 + tan2 x2
quindi si opera con la sostituzione t = tan x2 .
R P (tan x,cot x)
• Q(tan
dx. Si opera con la sostituzione t = tan x.
x,cot x)
R P (eαx+β )
αx+β
.
• Q(e
αx+β ) dx. Si opera con la sostituzione t = e
R P (xp1 /q1 ,...,xps /qs )
1
m , dove m è il minimo comune
• Q(x
p1 /q1 ,...,xps /qs ) dx. Si opera con la sostituzione t = x
multiplo dei denominatori q1 , . . . , qs .
2
•
R
•
R
√
P (x, a−x2 )
√
dx.
Q(x, a−x2 )
√
P (x, a+x2 )
√
dx.
Q(x, a+x2 )
Si opera con la sostituzione x = a cos t.
Si opera con la sostituzione x = a tan t.
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