Foglio di esercizi n.1 - Dipartimento di Matematica

Corso di laurea in Scienze biologiche molecolari
Corso di Matematica e statistica B - Lista di esercizi n.1
1. Completare la seguente tabella:
x
0
π
6
π
4
π
3
π
2
2π
3
3π
4
5π
6
π
7π
6
5π
4
4π
3
3π
2
5π
3
7π
4
11π
6
cos x
sin x
tan x
x
cos x
sin x
tan x
π
2. Calcolare cos 12
, sin 5π
, tan π8 , cos 5π
, sin 7π
, tan 11π
.
12
8
8
12
3. Dalle formule di addizione e sottrazione per seno e coseno, dedurre le
seguenti formule di prostaferesi:


cos α−β
cos α + cos β = 2 cos α+β

2
2



α+β
 cos α − cos β = −2 sin
sin α−β
2
2
per ogni α, β ∈ R.
α+β
α−β

cos
sin
α
+
sin
β
=
2
sin

2
2



 sin α − sin β = 2 cos α+β sin α−β .
2
2
4. Provare le disuguaglianze
sin x < x < tan x
1
per 0 < |x| <
π
.
2
5. Risolvere le equazioni:
√
(i) 3 sin x − 3 cos x = 0, (ii) 2 sin2 x − sin x − 1 = 0,
cos x = 1,
(iv) sin4 x − 4 sin2 x cos2 x + 3 cos4 x = 0,
(v) sin x + 3| sin x| = 2,
(vi) cos4 x − 4 sin2 x cos2 x + 3 sin4 x = 0.
(iii) sin x +
6
π
6. Risolvere le disequazioni:
(i) sin x < 21 ,
(iii) cos x > − √12 ,
√
2 sin x − 1
(v) √
> 0,
2 sin x + 1
3
(ii) 4 sin x tan x −
> 0,
cos x
(
√
tan x > 3
(iv)
sin x > 12 ,
√
√
(vi) sin x + ( 2 − 1) cos x > 2 − 1.
7. Risolvere le seguenti equazioni:
√
1
(i) 8x = ;
(ii) 91/(x−1) = 31/(3x−1) ;
4
(52−x )3+x
(5x−2 )2x−3
2
(iii) 7x −5x+9 = 343; (iv)
=
;
25x−1
252x · 1253
2
x+y =4
x + y 2 = 17
(v)
;
(vi)
;
3xy = 27
5x+y = 125
5x2 −3
15−3x2
(vii) 8 x2 +1 = 2 3x2 +1 ; (viii) 812x−1 + 2 · 94x + 711 = 812x+1 +
1
.
9
8. Risolvere le seguenti equazioni e disequazioni:
√
√
4
(i) 7x+1 + 7x−1 = 5x ;
(ii) 4x − 15 4x = 16;
1
(iii) 3x+1 ≥ 51−x ;
(iv) < |2x − 1| < 2;
2
(v) log3 x − log1/3 x > 2;
(vi) log1/2 (2x + 3) ≤ 3;
(viii) (3 − 2x )(5x/2 − 2) > 0;
(vii) |log10 |x|| = 100;
(ix) log3 log4 (x2 − 5) < 0
√
5
(xi) log4 x2 − log8 x = ;
3
x
4
y = 10
(xiii)
y 1/x = 10
; (x) log2 |x| ≤ 3 − log4 |x|;
(xii) log2x x < 12 ;
xy = 1/2
(xiv)
xlog2 y = 41 .
2