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UNIVR – Facoltà di Economia – Corso di Matematica – Sede di Vicenza
y
ℓ+ε
lim f (x) = ℓ , con ℓ ∈ R
bc
)
Definizione Si scrive
ℓ
ℓ−ε
(
x→c
bc
se, per ogni intorno (ℓ − ε, ℓ + ε) del limite ℓ, esiste un intorno (c − δ, c + δ) di
c tale che
per ogni x ∈ (c − δ, c + δ) \ {c} si ha che f (x) ∈ (ℓ − ε, ℓ + ε).
bc
bc
2
a
(
c−δ
bc
c
)
c+δ
bc
b x
Osservazione Si osservi che qui, analogamente a quanto fatto prima con i limiti da destra e da sinistra, non si
chiede nulla su f (c), e quindi si considera l’intorno (c − δ, c + δ) privato del punto c. La definizione in questo caso si
può dare in forma compatta scrivendo che
∀ε > 0
∃δ > 0
:
c − δ < x < c + δ, x 6= c,
=⇒
ℓ − ε < f (x) < ℓ + ε.
Di solito il limite bilatero si chiama semplicemente limite. Quindi, dicendo limite, si allude al limite bilatero.
Osservazione Anche in questo caso la nota di carattere operativo. Per provare che è vera una certa scrittura di
limite bilatero basta provare che per ogni ε > 0 l’insieme delle soluzioni della disequazione |f (x) − ℓ| < ε contiene un
insieme del tipo (c − δ, c) ∪ (c, c + δ) per qualche δ > 0, cioè un intorno di c (con c escluso).
Osservazione Per provare invece la falsità di una certa scrittura di limite basta trovare un particolare valore di ε
per cui la condizione della definizione risulta falsa.
Esempio La seguente scrittura è vera:
lim (x − 1) = 0.
x→1
Infatti, fissato un qualunque intorno (−ε, ε) del limite 0, osserviamo che il valore della funzione (x − 1) appartiene a
tale intorno se e solo se |x − 1| < ε, cioè se e solo se 1 − ε < x < 1 + ε. Le soluzioni costituiscono proprio un intorno
del punto 1, l’intorno (1 − ε, 1 + ε).
Esempio Proviamo ora con la definizione che invece non è vera la scrittura
lim (x + 1) = 1.
x→1
Fissato un intorno (1 − ε, 1 + ε) del limite 1, consideriamo la disuguaglianza |x + 1 − 1| < ε, cioè |x| < ε. Le soluzioni
della disequazione sono date dall’intervallo (−ε, ε). Evidentemente tale insieme non contiene sempre un intorno di 1:
ad esempio, per ε = 1/2, esso è fatto di punti esterni ad un intorno di 1. La scrittura quindi è falsa.
Esempio Proviamo che
lim log x = 1.
x→e
Fissato un qualunque ε > 0 che definisce un intorno (1 − ε, 1 + ε) del limite 1, consideriamo la disuguaglianza
| log x − 1| < ε, che equivale a 1 − ε < log x < 1 + ε, che equivale a sua volta a e1−ε < x < e1+ε . Si tratta di un
intervallo che contiene certamente un intorno di e, dato che e1−ε < e, mentre e1+ε > e.
Esempio Proviamo che
lim e−1/x = 0.
x→0+
Fissato un qualunque intorno (−ε, ε) del limite 0, il valore della funzione e−1/x appartiene a tale intorno se e solo se
e−1/x < ε, cioè se e solo se − x1 < log ε. Se x > 0 (ricordare che il limite è per x → 0+ ), questa equivale a x1 > − log ε.
Ora, se ε > 1 (e quindi log ε > 0), si ottiene x > − log1 ε , che è un numero negativo. Pertanto tutte le x positive
soddisfano la disequazione ed è determinato un intorno destro di 0.
Se invece ε < 1 (e quindi log ε < 0), si ottiene x < − log1 ε , che è un numero positivo. Pertanto soddisfano la
disequazione tutte le x dell’intervallo (0, − log1 ε ), che è ancora un intorno destro di 0.
Se infine ε = 1 la disuguaglianza diventa − x1 < 0, cioè x > 0, insieme che contiene un intorno destro di 0.
Osservazione Ribadisco che, dicendo “limite”, senza precisare se limite destro o limite sinistro, si intende limite da
destra e da sinistra.
Si potrebbe dimostrare rigorosamente, ma è abbastanza facile intuirlo, che il limite esiste se e solo se esistono e
sono uguali il limite destro e il limite sinistro. Può essere comodo talvolta (e lo faremo tra breve) calcolare il limite
calcolando separatamente il limite destro e il limite sinistro.
2 Vedi
nota precedente. (c − δ, c + δ) \ {c} è indica l’intorno (c − δ, c + δ) privato del punto c.
