Università degli studi di Trento Facoltà di Ingegneria a.a. 2007-2008 Risoluzione degli esercizi proposti nella 1a prova parziale di Analisi Matematica 1 del 26 ottobre 2007 2 x 2 3x e x lim x x 2 e x 2 x 2 1 2 Es. 1. Si calcoli il limite . Si possono applicare due strategie di calcolo: a) Dividere per x 2 x 0 sia il numeratore che il denominatore della funzione: Il limite si presenta nella forma indeterminata x2 lim x 3 1 2 x2 2 x x e 1 , 1 1 2 2 2 ex x 2 (2 x 3x e ) / x lim ( x 2 e x 2 x 2 1) / x 2 x 2 2 3 1 1 1 , 2 x 2 , x , 2 , sono infinitesimi per x . x x e e x dato che i quattro termini b) Osservare che i termini e x e x 2 e x sono infinitesimi per x che possono 2 x 2 3x perciò essere trascurati, quindi scrivere il limite nella forma lim , x 2 x 2 1 il cui valore si determina subito dal rapporto tra i coefficienti direttivi del numeratore 2 1 . e del denominatore: 2 2 Es. 2 Si calcoli il limite lim x 0 3x log 1 3x 2 2 x x 2 sin 2 x 2 0 ; si può calcolarne il valore riconducendolo ai 0 limiti notevoli: basta dividere il numeratore ed il denominatore per x 3 , x 0 Il limite si presenta nella indeterminata 3x log 1 3x 2 x x 2 sin 2 x 2 2 lim x 0 3 log 1 3 x 2 3 3x log 1 3x 2 3x 2 x3 lim lim 2 x 0 ( 2 x x ) x 0 2 x x 2 sin 2 x 2 sin 2 x 2 2 x 2x 2 x3 log 1 3 x 2 9 3 1 9 3x 2 lim . 2 x 0 2 2 2 4 2 x sin 22x 2x Es. 3 Siano f x log x 2 e g x x e x1 . Si determinino: Il valore di 0 in modo tale che la retta tangente al grafico di f x nel punto 1, f 1 abbia la stessa pendenza della retta tangente al grafico di g x nel punto 1, g 1 ; Per il valore di così individuato, la retta tangente al grafico di f x nel punto 1, f 1 . Si calcolano inizialmente le due funzioni f x e g x per x 1: f 1 log 2 e g 1 1 e 0 1 1 0 ; ottenendo così i due punti A1, log 2 e B1,0 , rispettivamente sul grafico di f x e di g x , in cui si vogliono tracciare le rette tangenti. Si calcolano poi le derivate di f x e g x per x 1: ottenendo i due coefficienti angolari delle tangenti: f x e f 1 ; g x x 1 e x 1 e g 1 1 1 e11 1 . 2 x2 Dovendo le due tangenti avere la stessa pendenza cioè lo stesso coefficiente angolare, si deve porre 1 . Da quest’ultima relazione si ottiene l’equazione di 2°grado f 1 g 1 2 2 2 0 che risolta fornisce due valori per 2 . Dovendo essere 0 , il valore per è 2 , con il quale si calcola sia il valore di f 1 e di f 1 : f 1 log 2 2 e f 1 2 2 1. 22 L’equazione della tangente alla f x nel punto A 1, log y 2 1 x 2 1 log 2 2 è dunque: 22 . Es. 4 Si determinino il massimo assoluto e il minimo assoluto della funzione f x e 2 x 2 x 2 2 x 1 nell’intervallo 2,2. Si calcola la derivata prima della funzione per stabilire gli eventuali punti di massimo e di minimo relativo contenuti nell’intervallo indicato. Poi si confrontano i valori assunti dalla f x nei punti che annullano la sua derivata e negli estremi dell’intervallo. f x 2e 2 x 2 x 2 2 x 1 e 2 x 4 x 2 4e x 2 1 . Si ha f x 0 x 2 1 0 x 1. Infine f 2 3 e 4 , f 1 e 2 , f 1 3 e 2 , f 2 11e 4 . Si conclude che il massimo assoluto della funzione in 2,2 è f 2 3 e 4 e il punto di massimo è x 2 , mentre il minimo assoluto funzione in 2,2 è f 1 e 2 e il punto di minimo assoluto è x 1 . 2 x