Limite destro e sinistro

Appunti scritti dal prof. Antonio Fanelli
LIMITE DESTRO E SINISTRO
Classe V E
LIMITE DESTRO E LIMITE SINISTRO
Limite destro
Si dice che la funzione f(x) ha per limite il numero reale l per x che tende a x0 da destra e si scrive
lim+ f ( x ) = l
x → x0
se comunque si scelga un numero reale positivo ε, piccolo a piacere, si può determinare un intorno
destro di x0 tale che, per ogni x di tale intorno, risulti
f (x ) − l < ε
In formule
lim+ f ( x ) = l se ∀ε > 0, ∃ I + ( x0 ) / ∀x ∈ I + ( x0 ) ⇒ f ( x ) − l < ε
x → x0
Verifica del limite
Per eseguire la verifica del limite tramite la definizione bisogna impostare la disequazione
f (x ) − l < ε
e risolverla. Il limite risulterà verificato se, tra le soluzioni, ci sarà un intorno destro di x0,
dipendente da ε oppure la soluzione stessa è un intorno destro di x0, dipendente da ε.
Esempio
Verifichiamo, tramite la definizione, che lim+ x − 5 = 0 . Il campo d’esistenza di questa funzione è
x →5
C.E. = [5 ; + ∞[ . Impostiamo la disequazione
x−5 <ε
⇒
]
Quindi x ∈ 5 ; 5 + ε 2
x − 5 < ε . Si avrà
x − 5 ≥ 0
⇒ 
2
x − 5 < ε
⇒ x ∈ I + (5) .
x ≥ 5
⇒ 
2
x < 5 + ε
x−5 <ε
[
⇒ 5≤ x < 5+ε2
Limite sinistro
Si dice che la funzione f(x) ha per limite il numero reale l per x che tende a x0 da sinistra e si scrive
lim− f ( x ) = l
x → x0
se comunque si scelga un numero reale positivo ε, piccolo a piacere, si può determinare un intorno
sinistro di x0 tale che, per ogni x di tale intorno, risulti
f (x ) − l < ε
In formule
lim− f ( x ) = l
x → x0
se ∀ε > 0, ∃ I − ( x0 ) / ∀x ∈ I − ( x0 ) ⇒
f (x ) − l < ε
Verifica del limite
Per eseguire la verifica del limite tramite la definizione bisogna impostare la disequazione
f (x ) − l < ε
e risolverla. Il limite risulterà verificato se, tra le soluzioni, ci sarà un intorno sinistro di x0,
dipendente da ε oppure la soluzione stessa è un intorno sinistro di x0, dipendente da ε.
Esempio
1
Verifichiamo, tramite la definizione, che lim− e x = 0 . Il campo d’esistenza di questa funzione è
x →0
1
x
C.E. = R 0 . Impostiamo la disequazione e < ε . Si avrà
1
Appunti scritti dal prof. Antonio Fanelli
1
ex < ε
1
⇒ ex < ε
LIMITE DESTRO E SINISTRO
1
⇒ e x < e ln ε
⇒
1
< ln ε
x
⇒
Classe V E
1
1 − (ln ε )x
− ln ε < 0 ⇒
<0
x
x
1
1
1
N) 1 − (ln ε )x > 0 ⇒ 1 + ln  x > 0 ⇒ ln  x > −1 ⇒ x > −
1
ε 
ε 
ln 
ε 
D) x > 0
Componendo i segni del numeratore e denominatore si ha la soluzione −
1
< x < 0 . Quindi
1
ln 
ε 




1

x∈ −
; 0  ⇒ x ∈ I − (0 ) .

1 
 ln  
ε  

N.B.: Osservare che se ε è un numero positivo “piccolo” allora
1
− (ln ε ) = ln  > 0
ε 
ln ε < 0 e quindi
2