CALCOLO DELLE PROBABILITA` Si dice evento casuale o

CALCOLO DELLE PROBABILITA’
Si dice evento casuale o ALEATORIO se il suo verificarsi dipende esclusivamente dal caso.
La Probabilità Matematica P di un evento casuale è il rapporto tra il numero dei casi favorevoli (f) e il
numero di tutti i casi possibili (n) cioè P 
f
n
La Probabilità matematica di un evento CERTO è uguale a 1.
La Probabilità matematica di un evento IMPOSSIBILE è uguale a 0 (zero).
La Probabilità matematica P (E) di un evento E qualsiasi è sempre un numero compreso tra 1 e 0 (zero)
cioè 0 ≤ P(E) ≤ 1 cioè : in un lancio di una moneta P(E1) = ½ (testa) ; P(E2)= ½ (croce).
FREQUENZA RELATIVA
1) La frequenza relativa di un evento in n prove effettuate alle stesse condizioni è il rapporto fra il
numero k delle prove nelle quali l’evento si è verificato ed il numero N delle prove effettuate:
F 
k
;
N
2) Legge empirica del caso: in un gran numero di prove, eseguite tutte nelle stesse condizioni, la
frequenza relativa di un evento tende ad assumere valori prossimi alla probabilità dell’evento
stesso e l’approssimazione è tanto maggiore quanto più grande è il numero di prove eseguite.
Definizione:
La probabilità di un evento è la frequenza relativa in un numero di prove sufficientemente grande:
P E   F 
k
( con h sufficientemente grande)
N
Esempio: Nel lancio di una moneta 3 volte su 10 viene croce , cioè F=3/10 .Sappiamo che la
P(E2)=1/2=0,5(forma decimale).Aumentando il numero di lanci avremo che la frequenza con cui viene
croce si avvicina alla probabilità matematica cioè ½ ,esempio : 96/200 ≈ ½
EVENTI INCOPATIBILI, COMPATIBILI, COMPLEMENTARI
1) INCOPATIBILI: Sono eventi incompatibili due eventi che si escludono a vicenda o che uno esclude
l’altro,o viceversa non si verificano entrambi; (es: lancio dadi : o esce il 4 ,o esce il 6).
2) COMPATIBILI :Due eventi E1 e E2 si dicono compatibili quando l’uno non esclude l’altro o che si
verificano entrambi. Es: nel lancio dei dadi esce un numero n > 4 ed un numero dispari)
3) COMPLEMENTARI : Due eventi casuali E1 e E2 si dicono complementari se il verificarsi dell’uno
esclude il verificarsi dell’altro ,ma uno dei due si verificherà certamente. Due eventi
complementari sono sempre incompatibili ,al contrario due eventi incompatibili non sono
necessariamente complementari.
Es: E1 = esce un n. pari (lancio dadi) ;E2 = esce un n. dispari (lancio dadi) ; E1 esclude E2
L a somma delle probabilità di due eventi complementari è sempre uguale a 1 (uno)
P(E1) + P(E2) = 1 da cui deriva che P(E1)= 1 – P(E2) ; P(E2)= 1- P(E1)
E1 
3
;
6
E2 
3
;
6
3 3 6
  1
6 6 6
PROBABILITA’ COMPOSTA
La probabilità di un evento E composto da due eventi semplici indipendenti fra loro E1 e E2 è data
dal prodotto delle probabilità dei singoli eventi.
Es: lancio di due monete. T = Testa ; C = Croce
Qual è la probabilità che si ottenga l’evento E= (T,T) ?
C
C
C
T
T
C
T
T
P(E)=
1
4
Altro esempio: In due urne ,qual è la Probabilità P(E) = o,o ?
URNA A
URNA B
URNA A
URNA B
)=
1
2
P(E1)= (
)=
1
3
P(E2)= P( ) =
1
2
P(E2)=(
)=
2
3
P(E1)=P (
Casi possibili :
La P (E1)= (
,
La P(E2) = (
1 1 1
* 
2 3 6
)=
,
)=
1 2 1
* 
2 3 3