eventi - Benvenuti nel secondo anno del corso di infermieristica
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1 SIGNIFICATO DI PROBABILITA' Una sperimentazione clinica dimostra che 50 pazienti trattati con farmaco A per una determinata patologia, stanno in media, meglio di quelli trattati con farmaco B per la stessa patologia. 1) Il trattamento A è migliore del trattamento B? (Domanda inferenziale) 2) In futuro dovrò trattare i pazienti con farmaco A piuttosto che B? (Domanda decisionale) Le risposte hanno un certo grado di incertezza: se margine di incertezza è ridotto, la conclusione sarà più attendibile Diventa importante rilevare la misura dell'incertezza, l'approccio formale è offerto dal calcolo delle probabilità. 2 SPAZI CAMPIONARI Definizione: Si definisce esperimento ogni processo di osservazione o misurazione. ES. lancio di un dado misura dell’altezza di un campione di bambini studio degli effetti di un farmaco sulla pressione arteriosa Definizione: Si definisce spazio campionario S l’insieme dei posssibili risultati di un esperimento. I singoli risultati dell’esperimento sono detti elementi o eventi semplici di S. ESPERIMENTO S Lancio di una moneta Lancio di un dado Misura della temperatura corporea Lancio di due monete consecutive Misura del sex e del fumo in un passante T, C 1, 2, 3, 4, 5, 6 x / 34< x< 42 TT, TC, CT, CC MF, MnF, FF, FnF 3 EVENTI Si consideri un esperimento. Si dice evento A ogni sottoinsieme dello spazio campionario S associato all’esperimento stesso AS Esempi: S=TT, TC, CT, CC A: “Almeno una testa T nel lancio di due monete” A=TT, TC, CT S=1, 2, 3, 4, 5, 6 A: “Uscita di un numero dispari nel lancio di un dado” A=1, 3, 5 Gli eventi e gli spazi campionari possono essere rappresentati tramite i diagrammi di Venn: S A dove l’evento è il sottoinsieme dei punti elementari ad esso inclusi. 4 EVENTO CERTO: Un evento A è certo se comprende tutti i punti dello spazio campionario S A=S EVENTO IMPOSSIBILE: Un evento A si dice impossibile se non comprende alcun punto dello spazio campionario S A= 5 OPERAZIONI LOGICHE SUGLI EVENTI Dato uno spazio campionario S e degli eventi Ai in esso inclusi, è possibile definire, mediante operazioni logiche, nuovi eventi, il cui valore rimane determinato, noto quello degli eventi dati. UNIONE DI EVENTI: Siano A e B due eventi associati ad un esperimento: l’evento C è definito come unione di A e B se comprende tutti i punti appartenenti ad A o B: C=AB S B A C Es: Nel lancio di un dado sia A= numero pari B= n>=4. C=4, 5, 6 6 INTERSEZIONE DI EVENTI: Siano A e B due eventi associati ad un esperimento: l’evento C è definito come unione di A e B se comprende tutti i punti appartenenti sia ad A che a B: C=AB S B A C Es: Nel lancio di un dado sia A= numero pari B= n>=4. C=4, 6 Se due eventi dello stesso spazio campionario A e B non hanno punti in comune essi sono detti eventi disgiunti o mutuamente esclusivi perché l’occorrenza dell’uno esclude l’altro C=AB=. 7 COMPLEMENTAZIONE: Sia A un evento associato ad un esperimento: l’evento complementare A è costituito dall’insieme di tutti i punti dello spazio campionario S che non appartengono ad A. AA=S S A 8 PROBABILITA’ Lo spazio campionario S rappresenta l’ambito delle possibilità di un esperimento. Di fronte ad un evento possibile ci attribuiamo una maggiore o minore fiducia che esso si verifichi attribuiamo un grado di probabilità al verificarsi di un evento. Esempi: è probabile che oggi piova è più probabile che il carcinoma al polmone insorga fra un fumatore che non in un non fumatore è più probabile che il tumore al seno insorga in una donna che ha partorito per la prima volta dopo i 40 anni. Il concetto di probabilità ci permette di graduare l’ambito delle possibilità e di precisare il grado di fiducia che abbiamo nel verificarsi di un evento. La teoria delle probabilità permette di formulare delle valutazioni numeriche di probabilità e di assoggettarle alle regole del calcolo. L’interpretazione di tali valori numerici dipende dal significato che attribuiamo alla probabilità. 9 DEFINIZIONE CLASSICA DI PROBABILITA’ La probabilità di un evento E, P(E), è il rapporto tra il numero di casi favorevoli al verificarsi dell’evento (n) e il numero di casi possibili (N): P( E ) n / N Esempi Probabilità di estrarre un asso da un mazzo di 40 carte: 4/40=0.1 Probabilità di uscita croce nel lancio di una moneta: 1/2=0.5 Tale definizione vale per situazioni in cui i possibili risultati sono equiprobabili. Scarsamente applicabile a molte situazioni reali. 10 DEFINIZIONE SOGGETTIVISTICA DI PROBABILITA’ La probabilità di un evento E è la misura del grado di fiducia, espresso tra 0 e 1, che un individuo coerente attribuisce, secondo le sue opinioni e informazioni, sull’avverarsi di E. 11 DEFINIZIONE FREQUENTISTA DI PROBABILITA’ La probabilità di un evento E è il limite a cui tende la frequenza relativa di successo al tendere del numero di prove all’infinito: P ( E ) lim n / N N La probabilità viene assegnata sulla base dei risultati di un esperimento ripetuto molte volte, o sulla base di situazioni che possono essere ricondotte a tale concetto contestuale. Es. Probabilità che un bambino italiano nasca morto: Pr= numero nati morti nel 1997 / numero nati nel 1997. 12 TEORIA ASSIOMATICA DELLE PROBABILITA’ Qualunque sia la definizione di probabilità, formalmente: per probabilità intendiamo una funzione P a valori reali, definita nello spazio campionario S che soddisfa le seguenti 3 condizioni: 1) Per ogni evento A di S: 0 P( A) 1 In particolare: P(A)=0 se A è un evento impossibile P(A)=1 se A è un evento certo 2) P( S ) 1 3) Se A1, A2, ……Ai,…….., sono una sequenza finita o infinita di eventi mutuamente finiti (o disgiunti) di S allora: P( A1 A2 ... Ai .....) P( A1 ) P( A2 ) ......P( Ai ) ... 13 Il modo più semplice per assegnare una funzione di probabilità allo spazio campionario S è quello di assegnare ad ogni punto dello spazio campionario una probabilità: la probabilità corrispondente a qualsiasi evento sarà definita immediatamente per l’assioma 3) come somma delle probabilità corrispondenti ai punti inclusi nell’evento. Esempio: Consideriamo lo spazio campionario associato al lancio consecutivo di una moneta per 2 volte: C T (C,T) (C;C) (T,T) (T,C) T C In base all’approccio classico di probabilità possiamo attribuire ad ogni punto dello spazio campionario una probabilità pi=1/4. La nostra funzione di probabilità sarà: pi=1/4per ogni iS. La probabilità di un evento qualsiasi, ad esempio la probabilità che esca almeno una testa, sarà: P (CT TC TT ) P (CT ) P (TC ) P (TT ) 1/ 4 1/ 4 1/ 4 3 / 4 14 REGOLE DEL CALCOLO DELLE PROBABILITA’ 1) Regole dell’addizione: Siano A e B due eventi di S tali che AB. P(A B) P(A) P(B) P(A B) S B A AB Esempio: La probabilità di estrarre una carta rossa o una figura da un mazzo di 40 carte. 15 Se A e B sono due eventi tali che AB=: P( A B) P( A) P( B) Esempio: La probabilità di estrarre una figura o una carta inferiore a 2. Se A è il complementare di A in S, allora: P( A A ) P ( A) P ( A ) 1 P( A ) 1 P ( A) Esempio: Se la probabilità di morire nel I anno dalla diagnosi per un paziente affetto da Ka polmonare è del 30%, la probabilità che un paziente sopravviva al II anno è 1_0.3=0.7. 16 2) Regola della moltiplicazione e probabilità condizionale E’ utile conoscere la probabilità di un evento AS, quando si è verificato un altro evento BS. Esempi: - Probabilità di uscita del 7 di quadri dato che è uscita una carta di quadri - Probabilità di avere colera data gastroenterite acuta. Tale probabilità prende il nome di probabilità condizionale Se A e B sono due eventi dello spazio campionario S, si definisce probabilità di A dato B, P(A|B): P( A | B) P( A B) P( B) S B A AB a) Lo spazio dell’evento B diviene il nuovo spazio campionario b) Deriva che P(A|B)+P(A|B)=1. 17 Regola della moltiplicazione: dalla definizione di probabilità condizionale segue che: P( A B) P( B) * P( A | B) P( A) * P( B | A) Se il verificarsi di B non condiziona la probabilità del verificarsi di A segue che: P( A B) P( A) * P( B) 18 Esempio: Calcolare la probabilità di estrarre da un urna consecutivamente due palline rosse, sapendo che l’urna contiene 3 rosse, 2 nere, 1 verde, e l’estrazione è senza reimbussolamento. B= estrazione I pallina rossa A= estrazione II pallina rossa P(AB)=P(B)*P(A|B) P(B)=3/6 P(A|B)=2/5 P(AB)=3/6*2/5=1/5 Se l’estrazione fosse con reimbussolamento: P(A|B)=P(A)=P(B)=3/6 P(AB)=3/6*3/6=1/4 Osservazione: Se due eventi A e B di S sono indipendenti, allora: P(A|B)=P(A|B)=P(A)
