Introduzione alla probabilità

Introduzione alla probabilità
• Osservazione e studio dei fenomeni naturali:
a. Caso deterministico: l’osservazione fornisce
sempre lo stesso risultato.
b. Caso stocastico o aleatorio: l’osservazione
fornisce ogni volta un risultato differente.
• Lo studio della probabilità e della statistica
si occupa di fenomeni aleatori.
Definizioni e terminologia
• Spazio campionario o dei casi: insieme di tutti i
possibili valori che può assumere il risultato di un
fenomeno aleatorio. E’ anche detto insieme
fondamentale o universo. E’ denotato da Ω e può
essere finito, infinito numerabile o infinito non
numerabile.
• Evento: particolare combinazione dei possibili
risultati di un fenomeno aleatorio: è denotato con
A⊂Ω.
• Evento elementare: evento costituito da un solo
elemento dello spazio campionario: A={ωi} se
Ω={ω1, ω2,, …, ωn, …}
• Probabilità: valutazione quantitativa della
possibilità di ottenere un determinato evento dello
spazio campionario.
• Prova: insieme delle operazioni che portano alla
realizzazione dell’evento.
• Esperimento: insieme di prove.
• Campione: risultato di un esperimento costituito
da un numero finito di prove.
• Popolazione: risultato di un numero di prove che
può essere finito o infinito ma che esaurisce tutti
gli eventi dello spazio campionario.
Definizione del concetto di
probabilità
• Probabilità soggettiva: grado di convinzione
soggettiva (in inglese degree of belief) circa il
verificarsi di un evento. Viene utilizzata
nell’ambito dell’approccio bayesiano.
• Probabilità deduttiva: definizione di probabilità
data in ambito più strettamente matematico:
¾Probabilità a priori o classica.
¾Probabilità frequentista.
Probabilità a priori o classica
Se n è il numero totale di casi dello spazio
campionario per un fenomeno aleatorio ed nA è il
numero di casi favorevoli al verificarsi dell’evento
A, purchè tutti i casi siano ugualmente possibili, la
probabilità a priori è data dal rapporto del numero di
casi favorevoli sul numero di casi possibili:
nA
P( A) =
n
Critica di circolarità:
Tutti i casi ugualmente possibili ⇒ Tutti i casi
equiprobabili.
Giustificata in base al principio di indifferenza:
Se non si hanno particolari ragioni per ritenere che I
diversi casi elementari debbano essere trattati in
modo differente, essi dovranno essere considerati
tutti equiprobabili.
Ambito: viene applicata nello studio di fenomeni
aleatori legati ai giochi d’azzardo.
Probabilità frequentista
Indichiamo con nA il numero di prove in cui in un
esperimento si è verificato l’evento A su un totale di n prove.
Allora la probabilità di A sarà data da
nA
P( A) = lim
n →∞ n
Il limite che compare in questa definizione non va inteso in
senso matematico ma in senso sperimentale: occorre
aumentare sempre più il numero di prove.
nA
n
Il termine
rappresenta la frequenza relativa
dell’evento A. Essendo irrealizzabile un numero
infinito di prove, si conclude che la frequenza
relativa dell’evento A approssima sempre meglio la
probabilità di A all’aumentare del numero n delle
prove.
Ambito: viene applicata nelle scienze sperimentali
quando non è applicabile la definizione di probabilità
a priori. L’evento deve essere ripetibile nelle stesse
condizioni.
Frequenza con cui si presenta la faccia testa al
crescere del numero dei lanci di una moneta
Probabilità assiomatica
• Nella sua accezione più generale la probabilità rappresenta
una misura della possibilità di realizzazione di un evento
A⊂Ω.
• Il modo in cui vengono determinati i valori di probabilità
dipendono fortemente dalla natura del fenomeno aleatorio
studiato.
• In qualunque modo venga valutata la probabilità, essa gode di
alcune proprietà che possono essere formalizzate utilizzando
il linguaggio della matematica e, più in particolare il
linguaggio degli insiemi. Questa formalizzazione è detta
probabilità assiomatica.
Corrispondenza tra significato insiemistico e
significato probabilistico
Notazione
Significato insiemistico
Significato probabilistico
Ω
Insieme totale
Spazio campionario
ω
Elemento di Ω
Risultato di una prova
A
Sottoinsieme di Ω
Evento
∅
Insieme vuoto
Evento impossibile
Ω
Insieme totale
Evento certo
A
Insieme degli elementi di Ω
non appartenenti ad A:
ω∈ A ⇔ ω∉A
Evento contrario
A∪B
Unione: ω∈A∪B ⇔ ω∈A
oppure ω∈B
L’evento si realizza se si
realizzano gli eventi A
oppure B oppure entrambi
A∩B
Intersezione: ω∈A∩B ⇔
ω∈A ed ω∈B
L’evento si realizza se si
realizzano gli eventi A e B
contemporaneamente
Corrispondenza tra significato insiemistico e
significato probabilistico
Notazione
Significato insiemistico
Significato probabilistico
A−B
Elementi di A non appartenenti
a B: ω∈A ma ω∉B
Si realizza l’evento A ma
non l’evento B
A sottoinsieme di B
L’evento A implica
l’evento B
A⊆B
A ∩ B = ∅ A e B hanno intersezione vuota
Gli eventi A e B sono
mutuamente esclusivi o
incompatibili o disgiunti
Definizioni e proprietà
• Si dice che due eventi A e B sono mutuamente
esclusivi o incompatibili o disgiunti se, quando si
realizza A non si realizza B e viceversa, cioè se A e
B non si realizzano contemporaneamente: A∩B=∅
• Si dice che l’evento A implica l’evento B se, ogni
volta che si realizza A, si realizza anche B: A ⊆ B
• Si chiama partizione di Ω l’insieme di tutte le
famiglie finite e numerabili di eventi A1,A2,…,An≠∅
e mutuamente esclusivi a due a due tali che
A1∪A2∪…∪An = Ω
•
a.
b.
Valgono ovviamente tutte le proprietà degli insiemi:
Distributività:
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
Leggi di De Morgan:
A∩ B = A∪ B
A∪ B = A∩ B
A∪ B = A∩ B
A= A
A∩ B = A− B
Definizione assiomatica di probabilità di
Kolmogorov
Una probabilità P(A) su uno spazio campionario Ω è
una funzione P definita su un generico sottoinsieme A
che soddisfi i seguenti assiomi:
1. 0 ≤ P(A) ≤ 1 ∀ A ⊆ Ω
2. P(Ω) = 1
3. Per ogni famiglia A1, A2, …,An di eventi
mutuamente esclusivi si ha (additività finita)
n
n
i =1
i −1
P (U Ai ) = ∑ P ( Ai ) se Ai ∩ Aj = ∅ ∀i ≠ j
• Questi primi tre assiomi sono sufficienti per
definire la probabilità se Ω è finito. Il terzo
assioma può essere esteso ad una serie infinita
purché numerabile di eventi mutuamente esclusivi
(additività numerabile).
• Uno spazio campionario Ω con una leggi di
probabilità P è detto uno spazio di probabilità o
probabilistico ed è indicato con (Ω,P).