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Metodi Statistici per l’Ingegneria - A.A. 2011/12 appello scritto del 15/1/13
Traccia di soluzione degli esercizi
1)
Per analizzare la probabilità di essere vincente di una generica scheda si applica la distribuzione ipergeometrica.
Infatti i 15 numeri S presenti sulla scheda sono presi a caso dall’insieme N, con |N|=50 che e’ composto da 5 numeri
vincenti V e altri 45 perdenti P, quindi N=VP. Ogni scheda ha probabilità di avere esattamente k numeri in P pari a
 5  45 
 

 k 15  k 
 50 
 
 15 
Poiche’ si vince con 3,4,o5 numeri vincenti, e sia W l’evento “vinco con una scheda”, posso calcolare la prob di vincita
P(W) come la somma P( k=3)+P(k=4)+P(k=5).
Poiche’ ci sono numerosissime schede, prendere una scheda non altera la probabilità di essere vincente delle schede
rimaste, quindi gli esiti dei successivi tentativi sono fra loro indipendenti. Comprare ex 14 schede prima di vincere
(evento che indichiamo come W15) vuol dire che si perde alle prime 14 e si vince alla 15 (il primo successo avviene al
15 tentativo), con P(W) come calcolato,e P(L)=1-P(W) la prob di perdere con una singola scheda.
Si tratta di una distribuzione una binomiale negativa o geometrica, per cui P(W15) = P(L)14 P(W).
2)
Per la disuguaglianza di Markov si veda sul testo pg 129 prop 4.9.1
3)
a) Il numero di richieste tecniche  e commerciali  sono VA Poissoniane indipendenti, rispettivamente di parametro
=10 e =5. Essendo riproducibili, la loro somma 1 = + e’ una poissoniana di parametro  = + = 15 e
descrive il numero totale di telefonate in un minuto. Allora 5 e’ una poissoniana di parametro  = 5· = 75, e
P(5=100) = (15·5)100 e-75/ 100! = 0.0009 secondo la formula della funzione di massa di probabilità delle Poissoniane.
Si poteva pensare a un processo di Poisson di intensità 15, con analogo risultato.
b) per fare una foto tutti insieme senza perdere chiamate occorre utilizzare l’intertempo fra una chiamata e quella
successiva, che in un processo di Poisson di intensita’  e’ il valore atteso di una esponenziale di parametro  = 15, e
il suo valore atteso e’ dunque 1/15 minuti = 4 secondi.
4)
Sia  la VA che descrive le precipitazioni nevose annuali, N(X ,2X) con X =120cm e X=25. La variabile si
normalizza in Z = ()/25, per cui P(100 X 126) = P(-0.8  Z  0.24) = (0.24) – (1-(0.8)) = 0.5948 -1 +
0.7881 ~ 0.3829.
Per i prossimi 2 anni, considero il totale delle precipitazioni come la somma W di due VA indipendenti ciascuna
N(120,252). Per la riproducibilità WN(240 ,1250). Si chiede P(W>270)=P(Z>(270-240)/252)= 1-(1.2/2)~1- 
(0.8486)~1-0.8=0.2.
Gli estremi di un intervallo di confidenza bilaterale (1-) per la media di una popolazione normale, nota la varianza ,
sono, indicando con ū la media campionaria, [ū - z /n, ū - z /n]. Ci viene detto che l’intervallo deve avere
ampiezza 40cm, quindi 20 = (z 25/n) dove z = 1.96, essendo  =5%.
Ne consegue che n =  (1.96/0.8)2 = (2.45) 2 = 6.0025 = 7, infatti n deve essere intero.
5)
Lo stimatore puntuale di massima verosimiglianza per il parametro  di una distribuzione di Poisson e’ la media
aritmetica dei valori del campione aleatorio{X1,..,Xn}. Si veda l’esempio 7.2.3 a pag 238 del testo.