Facolt`a di Ingegneria Corsi di Laurea

Facoltà di Ingegneria
Corsi di Laurea: INFORMATICA (A-DA) e AUTOMAZIONE.
Prova di Geometria e Algebra - Maggio 2012
Cognome......................................................
Nome......................................................
Matricola......................................................
1. Sia f : R3 → R3 l’ endomorfismo definito da:
f ((x, y, z)) = (x − 2y + 3z,
−2x + 4y − 6z,
x − 2y + 3z).
(i) Determinare una base e la dimensione di Ker(f ) e Im(f ).
(ii) Determinare le immagini tramite f dei vettori
u1 = (2h + 1)e2 ,
(iii)
(iv)
(v)
(vi)
u2 = he1 + he2 + 3e3 ,
u3 = 3e1 − 3e2 + he3 ,
essendo E = (e1 , e2 , e3 ) la base canonica di R3 e h un parametro reale;
trovare, se esistono, i valori del parametro h per i quali [u1 , u2 , u3 ] sia una base di R3 e quelli per
i quali [f (u1 ), f (u2 ), f (u3 )] sia una base di R3 .
Determinare la controimmagine del vettore v = (−4, k + 3, k − 9), al variare del parametro reale k.
Posto X = t (x y z) e indicata con A la matrice tale che t f ((x, y, z)) = AX , stabilire se A
risulta diagonalizzabile e, in caso affermativo, determinare una matrice P diagonalizzante e la
corrispondente matrice diagonale D alla quale A risulta essere simile.
Esibire un vettore non nullo di R3 che non sia autovettore per A.
2. Nello spazio euclideo E3 si fissi un sistema di riferimento ortonormale e si considerino le rette

(

 x = 1 + 3t
ax − y + 1 = 0
r : y = 2t
,
s:
,

y − 2z = 0.

z = 2 + 6t
con a parametro reale.
(i) Determinare la posizione reciproca di r ed s al variare di a e, negli eventuali casi in cui esse risultino
incidenti, determinare il loro punto di intersezione.
(ii) Per quali valori di a le rette r ed s risultano ortogonali?
(iii) Se per qualche a le rette sono complanari, trovare il piano che le contiene entrambe.
Posto a = 0,
(iv) trovare la comune perpendicolare ad r ed s e la minima distanza tra esse;
(v) trovare la retta passante per il punto P (1, 0, −1), ortogonale ad r e incidente s;
(vi) scelti due punti A e B su r, determinare il quarto vertice C del parallelogramma avente P A e P B
come lati e trovare l’area del triangolo AP B.