Metodi Statistici per l’Ingegneria - A.A. 2010/11 appello scritto del 15/9/11
Traccia di soluzione degli esercizi
Esercizio 1
Lo spazio campionario é ={(TTT), (TTC), (TCT), (CTT), (CTC), (CCT), (TCC), (CCC)}, le 8 triplette composte dai
simboli T e C. Poiche’ e’ equiprobabile, le probabilità degli eventi si calcolano come il rapporto fra il numero di
eventi elementari che li compongono e la cardinalità di quindi:
a)
Sia A l’evento “avere almeno una T”, segue che P(A)=7/8.
b) Sia B l’evento “ottenere ex 3 teste”, e P(B)=1/8. Sia C l’evento “la prima moneta e’ T”, e P(C)= 4/8. Poiche’
BC, allora P(CB)=P(B). Si chiede P(B|C)= P(CB)/P(C)=0.25
c)
Analogamente, P(B|A)=1/7
Esercizio 2
L’entità della vincita e’ rappresentata dalla VA X che prende valori 1,..,n, in funzione di quale sia l’anello in cui cade la
freccia. La probabilità di ciascun valore è pari al rapporto tra l’area dell’anello (calcolata per differenza tra l’area dei
due dischi adiacenti) e quella del bersaglio. Quindi si vince 1 (freccia nell’anello + esterno) con probabilità (2n-1)/n2, e
si vince n con probabilità 1/n2, e in generale si vince k=1,..,n con probabilità (2n-2k+1)/n2. E’ facile verificare che tali
probabilità sono a somma 1.
Esercizio 3
Essendo Z=X+Y, la VA Z assume valori in [0..2] mentre ha densità nulla al di fuori di tale intervallo. Per calcolare la
densità di Z, ne calcoliamo prima la distribuzione FZ(z)=P(Z ≤ z). Quindi P(Z ≤ z)=0 per z<0, P(Z ≤ z)=1 per z2,
mentre per z in [0..2], la distribuzione di Z si ottiene integrando la funzione fXY(x,y), densità congiunta di X e Y, nel
semipiano di R2 individuato dalla disuguaglianza (x+y ≤ z). Essendo X e Y i.i.d., la densità congiunta è il prodotto delle
marginali, fXY(x,y) = fX(x) fY(y) =1 x, y [0..1], e ha valore costante 1 nel quadrato. In sintesi, P(Z ≤ z) si calcola
come l’area dell’intersezione tra il quadrato di lato 1 e il semipiano S={(x,y): x+y ≤ z}.
Per z[0..1], FZ(z) vale z2/2 e per z[1..2] FZ(z) vale 2z - z2/2. Per derivazione, la densità fZ(z) vale +z per z[0..1],
2-z per z[1..2], e 0 altrimenti. Il grafico della densità fZ(z) è un triangolo isoscele di base 2 (vertici in 0 e 2) e altezza
unitaria.
Esercizio 4
Si tratta di un processo di Poisson di intensità , quindi ricordiamo che: i) le variabili aleatorie che descrivono il numero
di eventi (pazienti che arrivano nello studio medico) che accadono in un dato intervallo di tempo di ampiezza t, sono VA
di Poisson di parametro t, ii) i tempi di interarrivo sono VA esponenziali i.i.d. di parametro .
Per il quesito a) si osservi che il primo paziente aspetta fino all’arrivo del terzo paziente, quindi si chiede il valore atteso
della somma di T1, T2, T3, che sono rispettivamente i tempi di interarrivo dei primi 3 pazienti. Per le proprietà del valor
medio, E[T1+T2+T3] = E[T1]+ E[T2]+E[T3] = 3/ = 30, essendo iid.
Per il quesito b), si deve calcolare la probabilità che in un’ora non arrivino piu’ di 2 pazienti. Indichiamo con X la VA
che descrive il numero di pazienti che arrivano in 60 minuti. X e’ una VA di Poisson di parametro t=60/10=6, quindi:
P(X≤ 2) = P(X=0)+P(X=1)+P(X=2) = e-6 + 6 e-6 + e-662/2 ~ 0.062 .
Esercizio 5
Sia X N(30,9) e sia S2 la varianza campionaria su di un campione di n=18 elementi, allora S217/9= una VA chiquadro con 17 gradi di libertà. Viene chiesto P(S2>12) = P(> 1217/9) = 1- P(≤ 22.66) ~ 1- 0.84 = 0.16,
utilizzando il sw per il calcolo. In tabella trovate i valori di per =0.25 e per =0.1, pari rispettivamente a 20.49 e
24.77, che ne permettono una stima per interpolazione pari a 0.17.
