Relazione tra la V.A. di Poisson (discreta) e la V.A. Esponenziale

Relazione tra la V.A. di Poisson (discreta) e la V.A. Esponenziale (continua)
Supponiamo di avere un processo poissoniano di nascite (il decadimento radioattivo
di una sostanza ne è un esempio). La V.A. di Poisson è caratterizzata dal parametro λ
che indica il numero di “avvenimenti” nell’unità di tempo scelta; per la precisione è
λ = μt dove μ = numero di “avvenimenti” nel tempo dell’osservazione o della
sperimentazione (che può essere diverso dall’unità di tempo) e t = unità di tempo
scelta.
Sappiamo che la probabilità che si verifichino k “avvenimenti” nell’unità di tempo è
data dalla formula
pk 
k
k!
e 
Sia T(t) la V.A. continua che conta gli intervalli di tempo tra un “avvenimento”
(nascita/evento/transizione) e il successivo. Se T>t allora nell’intervallo [0;t] non si
sono verificati “avvenimenti”, allora
PT  t  p0  e  
La probabilità dell’evento complementare (“si è verificato almeno un avvenimento”)
è
PT  t  1  p0  1  e   1  e t
formula che fa venire in mente la V.A. esponenziale di parametro μ, che ha come
densità
f (t )  e t
(ovviamente per t  0 ) e media
ripartizione appunto la
1
e come funzione di

F (t )  probT  t  1  e t
 t
L’area sottesa alla densità f (t )  e tra t1 e t2 rappresenta la probabilità che
si sia verificato almeno un “avvenimento” tra t1 e t2 .
Se dunque un fenomeno è descritto dalla Poisson di parametro λ (mediamente λ
“avvenimenti” nell’unità di tempo), la V.A. che misura gli intervalli di tempo tra un
“avvenimento” e il successivo è la V.A. esponenziale di parametro μ=λ (l’intervallo
1
medio tra un avvenimento e l’altro è .
