Processo di Poisson (I) • Xn ha distribuzione binomiale di parametri n e pn, con pn funzione decrescente del parametro n tale che valgano: lim p = 0 n→∞ n e npn = µ ∀n • La variabile aleatoria discreta X = limn→∞ Xn restituisce il numero di successi in una successione infinita di eventi indipendenti la cui probabilità di successo tende a 0: si parla in tal caso di eventi o fenomeni rari. La funzione di probabilità della variabile aleatoria X, detta distribuzione di Poisson di parametro µ, è data da: µx −µ pX (x) = e x! x = 0, 1, 2, . . . – Media e varianza della distribuzione di Poisson: E (X ) = µ Var (X ) = µ – Funzione caratteristica della distribuzione di Poisson: µ eiu −1 ψ X (u ) = e • Processo di Poisson: processo stocastico a parametro continuo {Xt : t ∈ T }, dove Xt indica il numero di volte che l’evento in questione si verifica in un intervallo di tempo di lunghezza prefissata t. Il processo di Poisson rappresenta il verificarsi di un certo evento nel tempo posto che valgano le condizioni: 1. PXt (Xt = 1) = λt + o (t) 2. PXt (Xt > 1) = o (t) 3. variabili aleatorie associate al numero di eventi che si verificano in intervalli di tempo disgiunti sono stocasticamente indipendenti. • Se valgono le tre condizioni, allora la variabile aleatoria Xt ha esattamente distribuzione di Poisson di parametro λt, dove λ indica il numero medio di arrivi in un intervallo di tempo di ampiezza unitaria: (λt)x −λt e pXt (x) = x! x = 0, 1, 2, . . . • La variabile aleatoria continua T1, che rappresenta il tempo necessario affinché in un processo di Poisson l’evento in questione si presenti per la prima volta, ha funzione di densità detta esponenziale di parametro λ data da: fT1 (x) = λe−λx x≥0 – Media e varianza della distribuzione esponenziale: E (T1) = 1 λ 1 Var (T1) = 2 λ – Funzione caratteristica della distribuzione esponenziale: ψT1 (u) = λ λ − iu iu − λ < 0 – Mancanza di memoria della distribuzione esponenziale: PT1|T1 (T1 ≤ x + t|T1 > x) = PT1 (T1 ≤ t)