Processo di Poisson

Processo di Poisson (I)
• Xn ha distribuzione binomiale di parametri n e pn, con pn
funzione decrescente del parametro n tale che valgano:
lim p = 0
n→∞ n
e
npn = µ
∀n
• La variabile aleatoria discreta X = limn→∞ Xn restituisce il
numero di successi in una successione infinita di eventi indipendenti la cui probabilità di successo tende a 0: si parla in
tal caso di eventi o fenomeni rari. La funzione di probabilità
della variabile aleatoria X, detta distribuzione di Poisson di
parametro µ, è data da:
µx −µ
pX (x) =
e
x!
x = 0, 1, 2, . . .
– Media e varianza della distribuzione di Poisson:
E (X ) = µ
Var (X ) = µ
– Funzione caratteristica della distribuzione di Poisson:
µ eiu −1
ψ X (u ) = e
• Processo di Poisson: processo stocastico a parametro continuo {Xt : t ∈ T }, dove Xt indica il numero di volte che l’evento
in questione si verifica in un intervallo di tempo di lunghezza
prefissata t. Il processo di Poisson rappresenta il verificarsi di
un certo evento nel tempo posto che valgano le condizioni:
1. PXt (Xt = 1) = λt + o (t)
2. PXt (Xt > 1) = o (t)
3. variabili aleatorie associate al numero di eventi che si verificano in intervalli di tempo disgiunti sono stocasticamente indipendenti.
• Se valgono le tre condizioni, allora la variabile aleatoria Xt ha
esattamente distribuzione di Poisson di parametro λt, dove
λ indica il numero medio di arrivi in un intervallo di tempo di
ampiezza unitaria:
(λt)x −λt
e
pXt (x) =
x!
x = 0, 1, 2, . . .
• La variabile aleatoria continua T1, che rappresenta il tempo necessario affinché in un processo di Poisson l’evento in
questione si presenti per la prima volta, ha funzione di densità
detta esponenziale di parametro λ data da:
fT1 (x) = λe−λx
x≥0
– Media e varianza della distribuzione esponenziale:
E (T1) =
1
λ
1
Var (T1) = 2
λ
– Funzione caratteristica della distribuzione esponenziale:
ψT1 (u) =
λ
λ − iu
iu − λ < 0
– Mancanza di memoria della distribuzione esponenziale:
PT1|T1 (T1 ≤ x + t|T1 > x) = PT1 (T1 ≤ t)