La distribuzione di Poisson
è
per ogni
,
dove λ è il numero medio di eventi per intervallo di tempo.
Dallo sviluppo di serie dell'esponenziale
si trova
.
Convergenza
La distribuzione di Poisson può essere ottenuta come limite delle distribuzioni binomiali
,
con pn = λ, ovvero si ha una convergenza di legge di
a
. Per questa convergenza
la distribuzione di Poisson è anche nota come legge (di probabilità) degli eventi rari.
In statistica si adotta l'approssimazione della distribuzione binomiale tramite la distribuzione di
Poisson quando n>20 e p<1/20, o preferibilmente quando n>100 e np<10.
Caratteristiche
Una variabile aleatoria Y di distribuzione di Poisson ha
Valore atteso
varianza
funzione generatrice dei momenti
indici di skewness e di curtosi
,
entropia
che ha un andamento
Proprietà
Se Y1 e Y2 sono due variabili aleatorie indipendenti con distribuzioni di Poisson di parametri λ1 e λ2
rispettivamente, allora
la loro somma Y = Y1 + Y2 segue ancora una distribuzione di Poisson, di parametro λ =
λ 1 + λ2 ;
la distribuzione di Y1 condizionata da Y=n è la distribuzione binomiale di parametri λ1 / λ e
n.
Più in generale, la somma Y = Y1 + ... + Yn di n variabili aleatorie indipendenti con distribuzioni
di Poisson di parametri λ1,...,λn segue una distribuzione di Poisson di parametro λ = λ1 + ... +
λn, mentre la distribuzione di Y1 condizionata da Y=n è la distribuzione binomiale di parametri λ1 /
λ e n.
