Calcolo delle probabilità Sia E un evento, cioè un avvenimento che può accadere oppure no. Esempio: nel lancio di un dado, consideriamo l’evento: E = “esce un numero pari”. Un evento può essere: Certo: se accade con certezza (ad esempio, nel lancio di un dado, è un evento certo E=“esce un numero minore di 7”); Impossibile: se non può mai accadere (nell’esempio precedente, è impossibile l’evento E=“esce un numero maggiore di 6”) Aleatorio (o casuale): se può accadere oppure no (nell’esempio precedente, è casuale l’evento E=“esce un numero minore di 3”). La probabilità p(E) di un evento aleatorio E è il rapporto tra il numero f dei casi favorevoli e il numero n dei casi possibili : La probabilità di un evento aleatorio è un numero compreso tra 0 e 1 : 0 P(E) 1 In particolare, abbiamo: P(E) = 1 evento certo (ES: P(“pescare pallina rossa”) = 1 se il sacchetto contiene solo palline rosse) P(E) = 0 evento impossibile (ES: P(“esce il numero 7”) = 0 nel lancio di un dado) Vediamo ora alcuni esempi in cui risulta molto utile il diagramma ad albero: Lancio di 1 moneta - Eventi possibili: T / C 21 = 2 (eventi possibili) T C Lancio di 2 monete - Eventi possibili: T/T, T/C, C/T, C/C T T 22 = 4 (eventi possibili) C C T C 1 Lancio di 3 monete - Eventi possibili: T/T/T, T/T/C, T/C/C, T/C/T, C/T/T, C/T/C, C/C/T, C/C/C T T T C C C T T C T 23 = 8 (eventi possibili) C C T C In generale, quindi, i casi possibili, nel lancio di n monete, sono 2n Possiamo determinare la P di un E, scrivendo tutti i casi possibili e cercando quelli favorevoli, oppure guardando il diagramma ad albero. Esempi di probabilità di eventi nel lancio di 3 monete: P(3T) = 1/8 (TTT) P(C) = 3/8 (TTC, TCT, CTT) P(escono 3 facce uguali) = 2/8 = ¼ (TTT o CCC) Se invece consideriamo il lancio di 1 dado, i casi possibili sono 6, se lancio 2 dadi sono 6 2, se lancio 3 dadi sono 6 3, ecc…. In generale, quindi, se lancio n dadi il numero di casi possibili sarà 6 n. Esempio di rappresentazione di lancio di 2 dadi: Lanciamo 2 dadi e calcoliamo la P(“la somma delle due facce è maggiore di 7”) 6 Come possiamo vedere dal grafico, i casi possibili sono 36 (ogni incrocio), mentre i casi favorevoli sono quelli evidenziati e sono 15. Questo significa che: P(E) = 15/36 = 5/12. 5 4 Dado 2 3 2 1 1 2 3 4 5 6 Invece, P(“escono due facce uguali”) = 6/36 = 1/6, mentre P(“somma dei dadi è 9”) = 4/36 = 1/9 Dado 1 2 L’evento contrario Dato un evento E, l’evento contrario di E si indica con e si verifica quando NON si verifica E. Esempio: Lancio un dado e considero l’evento E=”esce un numero pari”. Allora = “esce un numero NON pari” = “esce un numero dispari”. P(E) = 3/6 =1/2 P( )= 3/6=1/2 Esiste un teorema per calcolare P( ): P( ) = 1 – P(E) Dimostrazione: P( ) = = = =1- = = 1 – P(E) Probabilità della somma logica di eventi P(E1 E2) = P(E1) + P(E2) – P(E 1 E2). In particolare, se gli eventi sono incompatibili, si ha che P(E1 E2) = P(E1) + P(E2) Cosa significa E1 E2 ? (si legge: E1 unione E2; è come dire E1o E2) E’ la somma logica o unione di due eventi, ed è quell’evento (detto anche evento totale) che risulta verificato quando almeno uno dei due eventi si verifica. “Almeno” significa che si verifica o E1 o E2 o tutti e due contemporaneamente. Cosa significa E1 E2 ? (si legge: E1 intersezione E2; è come dire E1 e E2) E’ l’evento che risulta verificato se entrambi gli eventi si verificano, contemporaneamente. Cosa significa “eventi incompatibili”? Che il verificarsi di un evento esclude il verificarsi dell’altro, cioè che non possono verificarsi contemporaneamente. In questo caso quindi avremo che E1 E2 = (e di conseguenza P(E1 E2) = 0) 3 Esempi: 1) Consideriamo un urna con 15 palline numerate. Siano E1 = “esce un numero pari” e E2 = “esce un numero maggiore di 11”. Calcoliamo P(E1 E2). E1: 2,4,6,8,10,12,14 sono 7 E2: 12,13,14,15 sono 4 E1 E2 : 2,4,6,8,10,12,13,14,15 sono 9 P(E1 E2) = 9/15 = 3/5 Usando il teorema: P(E1 E2) = P(E1) + P(E2) – P(E1 E2) = 7/15 + 4/15 – 2/15 = 9/15 = 3/5 2) Facendo riferimento all’esercizio precedente, consideriamo E1 = “esce un numero minore di 8” e E2= “esce un numero maggiore di 11”. E1: 1,2,3,4,5,6,7 sono 7 E2: 12,13,14,15 sono4 P(E1 E2) = P(E1) + P(E2) – P(E1 E2) = 7/15 + 4/15 – 0 = 11/15 infatti i due eventi sono incompatibili (non esistono numeri che siano minori di 8 e maggiori di 11!) Esercizio 11 pag 1022: Consideriamo un’urna con 30 palline numerate. - P(esce un numero dispari) = 15/30 = 1/2 - P(esce un numero minore di 10) = 9/30 = 3/10 - P(esce un numero dispari o minore di 10) = P(esce un numero dispari) + P(esce un numero minore di 10) – P(esce un numero dispari minore di 10) = 15/30 + 9/30 – 5/30 = 19/30 Esercizio: In un’urna ho 4 palline bianche (4B) e 8 nere (8N). Estraggo consecutivamente 3 palline senza rimetterle dentro. - Calcolare la P(tutte e 3 stesso colore) - Calcolare la P(2B1N o 2N1B) Disegnamo il diagramma ad albero per rappresentare le 3 estrazioni consecutive B(4/12) N (8/12) B(3/11) N (8/11) B(4/11)N(7/11) B N B N B N B N (2/10) (8/10) (3/10) (7/10) (3/10) (7/10) (4/10) (6/10) 4 P(3stesso colore) = P(3B) + P(3N) –P(3B e 3N) = 4/12 x 3/11x2/10 + 8/12x7/11x6/10 – 0 = = 15/55 = 3/11 P(2B1N o 2N1B) = 1 – P(stesso colore) = 1 – 3/11 = 8/11 Esercizio: Ho un mazzo da 52 carte (1…..10 e le 3 figure, di ogni seme). P(un re o un 7) = P(un re) + P(un 7) – P(re e 7) = 4/52 + 4/52 – 0 = 8/52 = 2/13 P(re o rossa) = P(re) + P(rossa) – P(re e rossa) = 4/52 + 26/52 – 2/52 = 28/52 = 7/13 P(re o picche) = P(re) + P(picche) – P(re e picche) = 4/52 + 13/52 + 1/52 = 18/52 = 9/26 5
