7) probabilit___prima_parte

ELEMENTI DI PROBABILITA’(1)
•
•
•
•
Esperimento casuale
Spazio campione
Evento
Le tre diverse teorie:
classica,frequentista,soggettiva
• Funzione di probabilità
• Assiomi di probabilità
• Corollari
ESPERIMENTO CASUALE
• Esperimento casuale:
e’ un esperimento ripetuto molte volte
nelle stesse condizioni,suscettibile di più
risultati possibili, il cui risultato non puo’
essere predetto con certezza.
• Esempi:
– lancio di una moneta
– estrazione di una pallina da un’urna
SPAZIO CAMPIONE
• Spazio campione S:
e’ un insieme i cui elementi sono
tutti e soli i risultati di un
esperimento casuale
• Esempi:
– lancio di una moneta: S= (T,C)
– lancio di due monete : S= (TT,TC,CT,CC)
EVENTI
• Evento:ogni sottoinsieme di S
• Esempio:
 un evento puo’
– nel lancio di un dado
essere:esce un numero inferiore a 4
• Evento certo: E=S;
• Evento impossibile: E=Ø
OPERAZIONI TRA EVENTI
• Se A e B sono sottoinsiemi di S:
– Complementare A : non si verifica A;
– Unione A  B : si verifica A oppure B
oppure entrambi;
– Intersezione A  B : si verifica siaA sia B;
• A  B =  se A e B sono incompatibili.
• Esempio:
– lancio di un dado
PROBABILITA’
Classica (P.S.Laplace)1812
• Probabilità a priori:
• si attribuisce probabilità 1/n a ciascuno
degli n eventi che devono essere tutti
ugualmente possibili
casi favorevoli
P( A) 
casi possibili
• Esempio:
– lancio di un dado;A=esce numero pari P(A)=3/6=1/2
PROBABILITA’
Frequentista (R.von Mises)1919
• Probabilità a posteriori: definisce la
frequenza relativa di un evento, dopo aver
esaminato un grande numero di casi
successi
P( A) 
prove effettuate
Esempi:
– lancio 20 volte un dado; A = esce il numero 1
P(A) = 4/20, tende ad 1/6
LEGGE EMPIRICA DEL CASO
• Ripetendo molte prove nelle stesse
condizioni, al crescere del numero
delle prove, la frequenza relativa di
un evento tende a coincidere con la
sua probabilità a priori
LANCI DI UNA MONETA
lanci
teste
freq.
croci
freq.
100
46
46.0%
54
54.0%
500
252
50.4%
248
49.6%
1000
469
46.9%
531
53.1%
5000
2541
50.8%
2459
49.2%
PROBABILITA’
Soggettiva (B.De Finetti) 1931
• La probabilità soggettiva di un
evento è il prezzo che si ritiene equo
pagare per ricevere un importo
unitario al verificarsi dell’evento
Esempi:
– vincita di una squadra in un torneo;
– vincita ad una lotteria;
– numero di goal segnati in una partita.
FUNZIONE DI PROBABILITA’
(A.N.Kolmogorov)
• Si definisce probabilità di un evento
A una funzione p tale che:
p: A  [0,1]
• Al calcolo delle probabilità viene data
un’impostazione assiomatica
garantendo una visione unitaria della
disciplina, senza fare riferimento al
significato del termine “probabilità“
ASSIOMI DELLA PROBABILITA’
• Assioma 1: p(A)  0
• Assioma 2: p(S)=1
• Assioma 3: p(AUB)=p(A)+p(B)
gli eventi sono incompatibili.

se
COROLLARI
• Teorema 1:
P(A)  1  P(A)
• Teorema 2:
P(A  B)  P(A)  P(B) - P(A  B)
• Teorema 3:
P(A  B)  P(A)  P(B)
se B  A
ELEMENTI DI PROBABILITA’(2)
•
•
•
•
•
•
Probabalità condizionata
Probabilità congiunta
Indipendenza stocastica
Probabilità totale
Tabelle a doppia entrata
Teorema di Bayes
PROBABILITA’ CONDIZIONATA
• Definizione
P(B|A) : è la probabilità di B
nell’ipotesi che A si sia verificato
P(A  B)
P(B| A) 
P(A)
• Esempio: lancio di un dado;
A=numero pari;B=numero minore di 4
COROLLARIO
• Teorema della prob.congiunta o composta
P(A  B)  P(A)P(B|A)  P(B)P(A|B)
• Esempio:
un’urna contiene10 p.nere,5 p.verdi;
estraggo 3p.contemporaneamente
– A=una delle tre p. è nera (almeno 1)
– B=una delle tre p. è verde (almeno 1)
Calcolare P(A),P(B),P(A|B),P(B|A)
INDIPENDENZA STOCASTICA
• Definizione:
A e B sono stocasticamente
indipendenti  P(A  B)  P(A)  P(B)
• Esempio:
in un’urna 6 p.Rosse,4 p.Verdi;si
estraggono 2 p.successivamente.
Calcolare P(R;V) senza reimmissione
e con reimmissione
SISTEMA COMPLETO DI
ALTERNATIVE
• Teorema della probabilità totale:
se H1 , H 2 ,.. H n sono una partizione
di S(cioè sono un sistema completo
di alternative) si ha che:
P(E)  P(H1 )  P(E| H1 )....P(H n )  P(E| H n )
Esempio: 4 classi miste con diverso
n. di alunni.Calcolare P(F)
ESEMPIO
• Esempio: tre urne
– H1 = 2 p. Bianche e 2 p. Nere
– H 2 = 3 p. Bianche e 1 p. Nera
– H 3 = 4 p. Bianche e 2 p. Nere
Si lanciano due monete e si sceglie
un’urna:TT H1 ,CT  H 2,CC  H3
E= si estrae una pallina bianca.
Calcolare P(E)
TABELLA A DOPPIA ENTRATA
DISTRIBUZIONI MARGINALI
H1
H2
H3
 1  1
  
bianco  4   2 
 1   3
  
 2  4
 1  2
  
 4  3
 1  1
  
 4  2
 1  1
  
 2  4
 1   1
  
 4   3
1
3
1
4
1
2
1
4
1
nero
p(H )
p
p(colore)
2
3
TEOREMA DI BAYES
• Se l’evento E è l’effetto di più cause
H1 , H 2 ,....H n il teorema di Bayes ci
permette di calcolare la probabilità
che tale effetto sia dovuto ad una
qualunque causa H i ,cioè e’ il teor.
della prob. cond. nel caso di un sist.
completo di alternative:
P(H i )  P(E| H i )
P(H i | E) 
P(H1 )  P(E| H1 )....P(H n )  P(E| H n )
ESEMPIO
• Esempio: tre urne
– H1 = 8 p. Rosse e 4 p. Verdi
– H 2 = 6 p. Rosse e 6 p. Verdi
– H 3 = 8 p. Rosse e 6 p. Verdi
Si lancia un dado per decidere da quale
urna estrarre una pallina:
– esce 1 estraggo dalla prima urna;
– esce 2 o 3 estraggo dalla seconda urna;
– esce 4 o 5 o 6 estraggo dalla terza
TABELLA A DOPPIA ENTRATA
DISTRIBUZIONI MARGINALI
H1
H2
H3
p(colore)
rosso
 1
 
 9
 1
 
 6
 2
 
 7
71
126
verde
 1
 
 18 
 1
 
 6
 3
 
 14 
55
126
1
6
1
3
1
2
1
p(H )
p