SUL CALCOLO DELLE PROBABILITA’ a cura di Giovanni Maci (con figure ed esempi tratti dal testo di Re Fraschini – Grazzi Matematica: metodo e modelli 2) Si dice EVENTO casuale o aleatorio ogni avvenimento, esperimento aleatorio o casuale, tale che, espresso da una proposizione, per essa risulta coerente chiedersi se è VERA o FALSA. Gli EVENTI possono essere CERTI, POSSIBILI O IMPOSSIBILI. ESPERIMENTI ALEATORI : estrazione di una carta da un mazzo lancio di una moneta estrazione del lotto lancio di uno o più dadi ESPERIMENTI NON ALEATORI previsione della temperatura di un luogo posizione di una molecola di un gas EVENTI: 1. 2. 3. 4. 5. 6. esce carta di quadri esce il 2 di fiori esce il re di cuori esce un numero pari nel lancio di un dado esce il tre esce una figura e una carta di fiori GLI EVENTI sopra esposti sono ELEMENTARI (1 – 4 - 5) O COMPOSTI (2 – 3 – 6) La PROBABILITA’ di un evento E è il rapporto tra il numero dei casi favorevoli e il numero dei casi possibili: P(E) = 𝒇 𝒏 0≤ p ≤ 1 p = 0 probabilità di un evento IMPOSSIBILE 1 p = 1 probabilità di un evento CERTO Esempi di eventi elementari: lancio di una moneta; esce testa p= 1/2 vincere una partita di calcio p= 1/3 estrazione di un numero tra il 10 e il 20 sulla ruota di Napoli 1° estratto p = 11/90 EVENTI COMPOSTI INCOMPATIBILI 1) Lancio di una moneta. E1 = < esce testa > E1 ∩ E2 = ∅ E2 = < esce croce > E = < esce testa o croce > 1 1 P(E) = p(E1 ∪ E2 ) = p(E1) + p(E2) = 2 + 2 = 1 2) Lancio di un dado E1 = < esce il 3 > E1 ∩ E2 = ∅ E2 = < esce il 6 > E = E1 ∪ E2 < esce testa o croce > 1 P(E) = p(E1 ∪ E2 ) = p(E1) + p(E2) = + 6 3) Estrazione di una carta E1 = carta di fiori E2 = carta di cuori 1 2 =6 6 E1 ∩ E2 = ∅ E = E1 ∪ E2 = < carta di fiori o di cuori > P(E) = p(E1 ∪ E2 ) = p(E1) + p(E2) = = 13 13 26 + = 52 52 52 2 4) EVENTI COMPOSTI E1 = < asso > COMPATIBILI E2 = < carta di cuori > E = E1 ∪ E2 = < asso di cuori > E1 ∩ E2 ≠ ∅ L’evento composto P(E) = p(E1 ∪ E2 ) = p(E1) + p(E2) – p(E1 ∩ E2 ) = = 5) E1 = < una donna > 4 13 1 16 + − = 52 52 52 52 E2 = < figura di picche > E = E1 ∪ E2 = < donna di picche > E1 ∩ E2 ≠ ∅ L’evento composto P(E) = p(E1 ∪ E2 ) = p(E1) + p(E2) – p(E1 ∩ E2 ) 4 3 1 6 = + − = 40 40 40 40 6) Gli alunni di una scuola sono 30; 10 giocano a calcio, 8 a tennis e 4 a entrambi. L’insegnate di Ed. Fisica ne estrae uno a caso. 3 Qual ‘ è la probabilità che l’alunno estratto sappia praticare entrambi gli sport = 4 30 Qual ‘ è la probabilità che sappia praticare almeno uno sport : 10 8 P(E) = p(E1 ∪ E2 ) = p(E1) + p(E2) – p(E1 ∩ E2 ) = 30 + 30 - 4 = 30 14 30 EVENTI INDIPENDENTI E DIPENDENTI 7) Un’urna contiene 4 palline bianche e 2 nere; - estrazione di una pallina bianca = - estrazione di una pallina nera = 4 6 2 6 E= <estrazione di 2 palline bianche> -con reimmissione (EVENTI INDIPENDENTI) P(E) = p(E1 ∩ E2 ) = p(E1) × p(E2) = 4 4 4 16 4 20 × 6 = 36 = 9 = 0, 4 = 45 6 -senza reimmissione (EVENTI DIPENDENTI) P(E) = p(E1 ∩ E2 ) = p(E1) × p(E2/E1) = 4 3 =6×5 = 12 30 2 Estrazione di 2 nere Con 2 2 4 4 Estrazione di 1 bianca e 1 nera 1 5 × 6 = 36 = 9 = 45 6 Senza 2 1 2 18 = 5 = 9 = 0,4 = 45 1 4 Con 3 × 5 = 30 = 15 = 45 6 Senza 2 8 2 10 × 6 = 36 = 9 = 45 6 4 2 8 4 12 × 5 = 30 = 15 = 45 6 Estrazione di 1 nera e 1 bianca Con Senza 2 4 8 2 10 × 6 = 36 = 9 = 45 6 2 6 4 8 4 12 × 5 = 30 = 15 = 45 PUNTEGGIO COMPLESSIVO NEL LANCIO DI DUE DADI 5 Punteggio complessivo 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 Casi favorevoli 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1 0 probabilità 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36 0 ESEMPI 1) Una moneta viene lanciata due volte. Qual è la probabilità che esca due volte testa ? 1 2 2) 1 1 ×2=4 Una moneta viene lanciata tre volte. Qual è la probabilità che esca tre volte testa, sapendo che la prima è stata testa ? 1 2 1 1 ×2 =4 6 3) Da un mazzo di 40 carte si estraggono tre carte. Qual è la probabilità che escano tre assi, senza rimettere la carta estratta nel mazzo ? 4 40 4) 2 1 Da un mazzo di 40 carte si estraggono tre carte. Qual è la probabilità che escano tre assi, rimettendo la carta estratta nel mazzo ? 4 40 5) 3 × 39 × 38 = 2470 4 4 1 × 40 × 40 = 1000 Nell’estrazione del lotto, qual è la probabilità che, estraendo un numero, esso risulti minore di 5 o maggiore di 85 ? 4 5 9 1 + = = 90 90 90 10 6) 7) 8) 9) Nel lancio di un dado, qual è la probabilità che si ottenga un numero maggiore di 2 ? 4 2 = 6 3 Nel lancio di un dado due volte, qual è la probabilità che si ottenga un numero due volte il 2 ? 1 1 1 × = 6 6 36 Lanciando due dadi, qual è la probabilità di ottenere un numero minore o uguale a 4 ? 6 1 = 36 6 Lanciando due dadi, qual è la probabilità di ottenere somma 7 ? 6 1 = 36 6 10) In una data popolazione la probabilità di non essere cattolico è del 40%, non protestante è del 15%, né cattolico e né protestante è del 5%. Qual è la probabilità che un individuo preso a caso non sia né cattolico e né protestante ? 50% 7