compito1 - Digilander

Liceo L. Spallanzani
Reggio Emilia
Compito in classe di Matematica
(ripasso di geometria analitica, goniometria )
Classe IVF
17 settembre 2008
Nome ............................................. Cognome........................................
1) Di un fascio di parabole del tipo y  ax 2  bx  c , si hanno le seguenti informazioni
relative al punto E di ascissa 0: y (0)  3  k ; la retta tangente nel punto E ha coefficiente
1
angolare m  1; si sa inoltre che la distanza tra vertice e fuoco è
, essendo k un
4k
parametro diverso da 0 .
a. Si determini l’equazione del luogo  descritto al variare di k dai vertici delle
parabola.
b. Si verifichi che tutte le parabole del fascio passano per due punti, A e B, e si dia
una giustificazione.
c. Si determinino le due parabole che hanno i vertici in A e B e si calcoli l’area della
regione finita di piano da esse racchiusa.
(adattato dal Problema 2 dell’Esame di Stato 2002 per le scuole italiane all’Estero,
America Latina)
2) Con riferimento ad un sistema di assi cartesiani ortogonali (Oxy):
a. scrivere l’equazione della circonferenza k con centro nel punto (8,2) e raggio 6 e
calcolare le coordinate dei punti M ed N in cui la bisettrice b del 1° e 3° quadrante
interseca la curva;
b. scrivere l’equazione della parabola p avente l’asse parallelo all’asse delle ordinate
, tangente all’asse delle ascisse in un punto del semipiano x  0 e passante per i
punti M e N;
c. calcolare l’area della regione di piano delimitata dalla parabola p e dalla bisettrice
b;
d. dopo aver stabilito che la circonferenza k e la parabola p non hanno altri punti
in comune oltre a M e N, calcolare le aree delle regioni in cui il cerchio delimitato
da k è diviso dalla parabola.
(adattato dal Problema 1 dell’Esame di Stato 2002, sessione straordinaria)
3) In un piano, riferito ad un sistema monometrico di assi cartesiani ortogonali (Oxy), è
assegnata la parabola p di equazione:
y  x 2  x  1.
a. Condotte per il punto O le rette tangenti alla parabola, trovare le coordinate dei
punti A e B di contatto.
b. Trovare le coordinate del punto C, situato da parte opposta di O rispetto alla retta
AB, tale che il triangolo sia isoscele e rettangolo in C.
c. Determinare l’equazione della circonferenza k avente il centro in C e passante per
A.
d. Calcolare l’area della regione finita di piano delimitata dall’arco AB di parabola e
dai segmenti CA e CB.
e. Determinare in quante parti la parabola p divide il cerchio delimitato da k.
(adattato dal Problema 1 dell’Esame di Stato 2002 per le scuole italiane all’Estero, sessione
suppletiva, America Latina)
4) Verifica le seguenti identità:
a. (cotg α – tg α ) : (cotg α + tg α ) = 2 cos2 α – 1
b. cos( - α) : [1+ sin (360° - α) ] = - cos (180° - α) : [ sin (180° + α) + 1 ]