Prova scritta di Matematica 1
8 Gennaio 2003
1. Data la parabola di equazione y = x2 :
• condurre dal punto P=(1,-2) le tangenti ad essa e trovare le coordinate dei punti A e B di tangenza
• condurre per P la parallela all’asse della parabola fino ad incontrare in Q la corda AB
• scrivere l’equazione della circonferenza che ha centro in Q e diametro AB.
2. Calcolare l’inversa della matrice:
2
0
4
2
M = 1 −1
0
2 −2
3. Verificare che il seguente sistema di Cramer è compatibile e calcolarne
la terna di soluzioni
x1 +x2 +x3 = 1
x1 −x2 −x3 = 2
x1 +x2 −x3 = 3
Traccia di risoluzione:
Esercizio 1.
Scrivo il fascio di rette con centro in P (y + 2 = m(x − 1)) lo interseco
con la parabola data ed impongo che le intersezioni tra la retta generica e la
parabola siano coincidenti (dunque ∆ dell’equazione risultante nullo).
m(x − 1) − 2 = x2 → x2 − mx + m + 2 = 0 → ∆ = m2 − 4m − 8 = 0
√
da
cui
m
=
2
±
2
3. √I punti di
√
√
√ tangenza sono pertanto A = (1 +
3, 2( 3 + 2)) e B = (1 − 3, 2(2 − 3)).
Interseco ora la retta AB (y = 2x+2) con la retta x = 1, ottengo Q=(1,4).
Calcolo infine la
√ lunghezza di AB con la formula della distanza tra due
punti ed ottengo 2 15 e dunque la circonferenza cercata ha equazione:
(x − 1)2 + (y − 4)2 = 60.
A
Q
B
P
Esercizio 2.
Il determinante della matrice è uguale a 4 , quindi la matrice è invertibile.
Calcolo pertanto l’inversa attraverso il calcolo della matrice dei complementi
algebrici:
T 1
−2 +2
2
−2
2
1
0
= 14 8 −4 −4 = 12 −1
1
−4 0 −2
−1 − 12
2
M −1
Esercizio 3.
Calcolo il determinante della matrice A associata al sistema. Ottengo il
valore 4 e quindi il sistema è risolubile. Calcolo quindi i determinanti delle
matrici ottenute sostituendo una colonna di A con il termine noto. Ottengo
i tre valori: 6,2,-4.
La soluzione del sistema è pertanto: x = ( 23 , 12 − 1).
