Luigi Borzacchini
(Dipartimento di Matematica, Università di Bari)
Le stagioni della matematica e
della logica
Orientamento Consapevole
Bari, 13 marzo 2015
Le tecniche e le teorie matematiche
• L’idea più diffusa oggi è che la matematica sia uno
strumento di natura linguistica per la scienza e per
la tecnica, che sia una sorta di deposito di algoritmi,
teorie e tecniche in cui tradurre i problemi reali.
• La matematica è certamente utile nelle tecnologie e
in tutte le professioni moderne, magari ha anche un
suo fascino, ma non viene ritenuta (spesso neanche
dai matematici) vera cultura come la filosofia, la
storia, la letteratura, il diritto, l’arte, il cinema, etc.
Ed è anche considerata fredda, poco umana, solo
tecnica, per giunta difficile e artificiosa.
Logica, storia e filosofia della matematica
• discipline ai ‘confini del matematica’. Infatti nessun
teorema o algoritmo consiste in un’indagine storica
o filosofica, e nessun teorema o algoritmo è stato
mai scoperto per vie strettamente logiche.
• Infatti l’ intelligenza matematica non ha né una
natura storica né una struttura immediatamente
formale: è più intuitiva, e si raffina nello studio delle
discipline matematiche.
• Ma spesso alla radice di quelle intuizioni ci troviamo
riflessioni storiche o filosofiche, e sempre alla fine
delle loro scoperte i matematici cercano di dare a
quelle scoperte un rigore logico.
Storia e filosofia della matematica
• La matematica al centro della storia della cultura,
con la filosofia, l’arte e la musica, la religione, il
lavoro e la tecnica, il linguaggio e la letteratura.
• Sono discipline che disegnano una matematica che
non è solo teoremi, teorie e algoritmi. Sono
discipline ai confini della intelligenza matematica
sono però al centro della cultura matematica.
• E pongono interrogativi, creano dubbi. Vanno in
direzione opposta alle consuete discipline
matematiche che invece cercano di dare certezze.
• Ed anche per questo sono discipline borderline,
discipline di frontiera
La cultura matematica
• La matematica è la più antica delle discipline, è
riconoscibile già nelle tavolette mesopotamiche di
5000 anni fa, e tracce si trovano già nel paleolitico.
Il teorema di Pitagora era noto
prima di Pitagora ai Babilonesi
e forse anche ai Cinesi.
• Forse solo la medicina è
altrettanto antica, ma nessuno
oggi si farebbe curare da un
medico babilonese, mentre …
Eterna e Universale, Certa e Oggettiva
• La matematica è eterna: il teorema di Pitagora è
vero oggi quanto duemila anni fa.
• La matematica è universale: a New York, nella
giungla africana o fra i talebani la matematica si
insegna ed è la stessa, tutte le altre discipline no.
• La verità matematica è certa, diversa da quella
empirica, che è solo verosimile.
• La matematica è presente nella realtà. Wigner:
the unreasonable effectiveness of mathematics.
• Eternità, universalità, certezza, presenza nel reale:
la matematica è stata sempre connessa al divino
La filosofia della Matematica
• Tre questioni: i) qual è la natura degli enti
matematici? Esistono realmente o sono costruzioni
solo mentali? Da dove deriva la loro certezza? ii)
perché sono perfettamente applicabili alla realtà
naturale? iii) e come li conosciamo, quale è la
nostra via di accesso alla matematica?
• La risposta platonica: gli enti matematici esistono in
un mondo ideale, si riflettono nel mondo reale, e li
percepiamo con gli occhi della mente
• La risposta aristotelica: gli enti matematici sono solo
concetti astratti dalla realtà, eliminandone aspetti
materiali e variabili: certi perché poveri, solo logici.
Logica, Storia e Filosofia della Matematica…
• … appaiono a prima vista molto diverse.
• La logica matematica appare una disciplina molto
tecnica con un linguaggio di tipo algebrico.
• La filosofia della matematica oggi non la fanno più i
filosofi, che conoscono troppo poco la matematica,
bensì i logici, che descrivono i fondamenti logici
della matematica.
• La storia della matematica è considerata invece
puramente descrittiva, da fare empiricamente in
archivio e in biblioteca per descrivere l’evoluzione
dei risultati matematici
• Ma possiamo collegarle fra di loro, ad esempio …
… la verità e la dimostrazione
La verità è un concetto semantico, riguarda cioè il rapporto
tra una asserzione e lo stato delle cose, ed è essenzialmente
empirica. Ma in matematica è anche dimostrativa: la
dimostrazione dovrebbe garantire un accesso immediato e
certo, non empirico, alla verità. Ma come nasce, e da dove, la
dimostrazione? assente non solo negli animali ma anche nelle
popolazioni primitive, e ignota prima dei Greci ? La verità è un
concetto semantico, la dimostrazione è un concetto sintattico
L’idea di dimostrazione prima di
Euclide era sostanzialmente quella di
una costruzione geometrica che
rendeva evidente una certa proprietà:
ad esempio il teorema di Pitagora.
Con Aristotele e Euclide la dimostrazione assume forma sintattica, quasi
una traduzione della costruzione. E la dimostrazione per assurdo?
• Ma verità e dimostrabilità sono due cose molto
diverse. Dimostrare che <in tutti i triangoli la
somma degli angoli interni è 180°> è una paginetta
nel libro di geometria che garantisce la certezza del
teorema, verificarlo significa effettuare infinite
misure, per giunta un risultato solo verosimile!
• <la dimostrazione di s garantisce la verità di s> : T.
Ma T è vera? Non è empiricamente vera, allora <la
dimostrazione di T garantisce la verità di T>: T’. Ma
T’ è vera? Non è empiricamente vera, allora <la
dimostrazione di T’ garantisce la verità di T’>: T’’.
Ma T’’ è vera? … La giustificazione logica della
dimostrazione si traduce in un regresso infinito
Lewis Carroll
(Charles Dodgson)
• Non si può dimostrare che la dimostrazione
consenta l’accesso completo alla verità
• Storicamente questo accesso si è verificato
attraverso la costruzione geometrica evidente
• Ma chi garantisce che questo accesso sia universale,
valido anche per le costruzioni degli altri casi?
• E il teorema di incompletezza di Kurt Gödel ci
dimostra anzi che nessuna idea di dimostrazione
può garantirci l’accesso completo alle verità
neanche in aritmetica.
• Storia, filosofia e logica della matematica mostrano
così che la matematica non è un edificio costruito
sul granito ma un’avventura dell’intelligenza.
… ma la matematica antica era la nostra
matematica elementare?’
• Solo in parte. E anche l’insegnamento della
matematica era più naturale ed intuitivo, basato su
figure, senza lettere e meno mnemonico.
• Per Platone l’aritmetica andava ‘ricordata’, e «niente
di matematico deve essere insegnato per costrizione
all’uomo libero» (Respublica). E la geometria era alla
base della formazione nella Accademia (Plutarco)
• Nel Rinascimento l’apprendimento diventa
fortemente mnemonico e autoritario (la tabellina
pitagorica, einmaleins, la prova del nove, l’algoritmo
per estrarre le radici, la regola del tre, etc.)
Ma servono le tabelline?
Gli egiziani ne facevano a
meno, bastava il raddoppio. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
Esempio: per fare 21x13,
3 6 9 12 15 18 21 24 27 30
decompongo uno dei due
4 8 12 16 20 24 28 32 36 40
fattori in potenze di 2:
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
21 = 1+(2)+4+(8)+16 e
6 12 18 24 30 36 42 48 54 60
calcolo i corrispondenti
7 14 21 28 35 42 49 56 63 70
raddoppi dell’altro fattore: 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80
9 18 27 36 45 54 63 72 81 90
13 +(26)+52+(104)+208 e
sommo = 273.
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Le tabelline non servono? Come sforzo mnemonico, no
… e nessuno dimostra la prova del 9
• Le congruenze: il resto della somma è la somma
dei resti, il resto del prodotto è il prodotto dei
resti: 20 X 30 = 600 Resto rispetto a 7:
• 6 x 2 = 12 ≡ 5 (resto nella divisione per 7) 2
Ma questo va
bene per ogni
Intero!
Perché il 9?
Perché è più facile
calcolare i resti 6
12
5
Si può dimostrare che il 1000000…| 9
11111...
resto nella divisione per 9 9
10
si ottiene sommando le
9
cifre. Ad esempio
10
il resto di 3757 sarebbe
9
3+7+5+7=22 e quindi
10
≡ 2+2=4. Infatti
9
3757= 3 x 1000 + 7 x 100 +
10
9
5 x 10 +7
1
Basta far vedere che il
………
resto di 10n diviso per 9 è
sempre 1
n+1
n
n
10
=9x10 +10 ≡ 10n
L’algebra geometrica
Fino al Medioevo non esisteva l’algebra simbolica
a
b
( a + b )2 = a 2 +
a-b
a
2 a b + b2
(a+b)(a-b)
b
= a 2 - b 2,
b
L’algoritmo della radice quadrata: calcolare √Q. Sia a
una prima approssimazione e b il resto, b<<a. Se tolgo
il quadrato nero grande da quello iniziale e ignoro
quello nero piccolo ho i
2
2
2
Q=( a + b ) = a + 2 a b + b
due rettangoli, da cui ho
2
≈ a + 2 a b, da cui
un’approssimazione di b,
2
b ≈ (Q- a )/2a
e ripeto la procedura
… ed anche le equazioni di II grado
Per noi x2 + bx = c si risolve
b /16
b x/4
aggiungendo b2/4 ad ambo i
membri, da cui (x + b/2)2 = c+b2/4
C
CC
e x = -b/2 (c+ b2/4).
Per al-Khwarizmi il quadrato
centrale ha area x2 e quindi la
croce centrale ha area c: se gli
aggiungiamo i 4 quadratini di area b2/16 otteniamo
che il quadrato grande di lato x + b/2 ha area c + b2/4.
Estrai la radice e sottrai b/2, ottieni x. In entrambi hai
il ‘completamento del quadrato’.
Ma perché la matematica moderna è più complicata?
b/4
2
x
L’infinito
• Per i Greci era un concetto impraticabile, una zuppa
di paradossi (Zenone), e rendeva impraticabile
descrivere la retta sia come infinita sia come un
continuo composto di infiniti punti (Euclide).
• L’infinito potenziale, «puoi sempre aggiungere
qualcosa» era accettabile (i numeri non avevano un
massimo, l’intervallo era prolungabile).
• L’infinito attuale, «non puoi aggiungere più nulla»
era invece impraticabile sia matematicamente che
filosoficamente.
• I due infiniti erano non l’opposto del finito, ma l’uno
l’opposto dell’altro
Discreto e Continuo: Numeri e Grandezze
• Prima dei greci sull’abaco non vi era una vera
distinzione tra discreto e continuo, la differenza tra
unità e punto era solo nell’avere o no una posizione.
• Nella matematica greca invece vi era una divisione
netta tra esse, unico ponte il concetto di rapporto.
• Il Medioevo è più pragmatico, nella misura si usa il
numero per le grandezze continue, e poi l’infinito è
indispensabile perché attributo divino.
• Lo scandalo della storia: l’idea di numero reale non
esiste fino al Cinquecento, poi diventa ovvia,
intuitiva con Descartes e Stevin, ma verrà analizzata
solo alla fine dell’Ottocento (Dedekind, Cantor).
Il Rinascimento e la Rivoluzione Scientifica
• Torniamo alla matematica ‘complicata’: gli psicologi
cognitivi hanno sempre notato un salto nella
formazione matematica tra la matematica iniziale
‘di numeri e figure’ e quella ‘con le lettere’.
• Alla fine del Cinquecento nasce una matematica del
tutto nuova, con due nuovi intrusi: i segni algebrici
e l’infinito, estranei alla conoscenza comune, e da
cui nascono altri enti matematici ‘inesistenti’: i
numeri reali e i logaritmi, le serie, gli infinitesimi,
derivate e integrali, la geometria analitica, l’algebra
simbolica, etc. E la didattica diventa allora
necessariamente più autoritaria e mnemonica.
I segni e l’infinito: il numero reale: 3.14159…….
e qui?
Le due grandi novità della
matematica moderna: due
temi
inesistenti
nella
matematica
greca.
Il
punticino
separa
due
mondi: a sinistra un
numero
finito
e
potenzialmente infinito, a
destra
una
sequenza
attualmente infinita: il
numero reale è una grande
invenzione ma assurda!
Il labirinto del continuo (Leibniz)
• Il continuo era per Leibniz un ‘labirinto’, in cui la
mente si perde. Se la retta è composta di infiniti
punti di dimensione 0, come
può una somma di infiniti 0
essere diversa da 0? E poi tutti i
segmenti sarebbero uguali. E
qual è il punto immediatamente a
destra di un punto dato? Se non
coincide c’è un intervallo con un
punto medio, e allora il secondo
punto non è l’immediato successore.
I segni nell’abaco non servivano. Le cifre indo-arabe erano gli
ingredienti essenziali degli algoritmi (da Al-Khwarizmi).
Ed anche algebra è una parola araba (da al jabr), ma l’algebra
islamica non manipolava ‘segni’, solo parole. Nel Medioevo in
Europa la matematica non è più un frammento del linguaggio
naturale, nasce il primo ‘linguaggio artificiale’ della storia:
l’algebra simbolica, in cui i segni algebrici appaiono nella
abitudine degli Amanuensi di troncare,
legare, fondere i caratteri.
Impensabile per un popolo
con una lingua sacra come
l’arabo, ma accettabile per
una lingua ‘senza aura’ come
il latino medievale. E trai
segni appaiono anche quelli
algebrici
Dalla geometria all’algebra: il sisma e la crisi
• Sin dai Greci la ‘matematica’ era stata soprattutto
geometria, con la dimostrazione euclidea quale
paradigma della ragione, e dal Cinquecento anche
fondamento della meccanica. L’aritmetica era solo
pratica, con problemi ma quasi senza dimostrazioni
• La matematica moderna pone invece al centro
algebra e aritmetica, e diventa autonoma e formale.
• I due pilastri che fondavano la matematica, la
evidenza della dimostrazione geometrica e il
rapporto con la fisica finiscono nel regno dei segni.
E appare allora una domanda inedita:
Qual è il fondamento della matematica?
La logica e i fondamenti della matematica
• Molti filosofi della matematica oggi vedono nella
logica l’ingrediente essenziale per descrivere le basi
della matematica, anzi con la logica pensano di
poter fondare la matematica senza conoscerla.
• D’altro canto la maggior parte dei matematici
pensano che la logica sia inutile: è per loro
sufficiente la logica implicita, acquisita nella
conoscenza della matematica: «la matematica è
quello che fanno i matematici»
• Sbagliano entrambi, ma non tantissimo…: la logica
ci mostra la struttura fine della ragione formale, ma
non la creazione matematica
La logica matematica …
• …. è stata uno dei fatti culturali più importanti del
XX secolo, sia teoricamente che praticamente.
• Il computer ha un corpo elettronico, ma un’anima
logica: le macchine di Turing, l’architettura di von
Neumann.
• I teoremi di incompletezza di Gödel sono forse, con
la fisica quantistica, il tema culturale più analizzato
dell’ultimo secolo, persino da filosofi e artisti.
• Il linguaggio logico è la base, anche se spesso
implicita, di tutto il formalismo delle scienze
moderne e non solo della matematica: dalla fisica
alla computer science e alle scienze della vita.
• La logica: la ragione umana si esprime attraverso il
linguaggio. La logica formale: la struttura della
ragione si riflette in quella della sintassi. La ragione
formale consiste nel ragionare senza comprendere.
• da «Michele è brindisino» e «Tutti i brindisini sono
pugliesi» si deduce «Michele è pugliese», ed il
significato è chiaro ed evidente. Ma se dico:
«Michele è un sarchiapone» e «Tutti i sarchiaponi
sono sesquipedali», posso dedurre formalmente
«Michele è sesquipedale», ma il significato è
oscuro: la deduzione è un fatto solo sintattico,
relativo ad una forma del tipo «a è un B», «tutti i B
sono C», e dunque «a è un C». La verità era invece
un fatto semantico.
La logica aristotelica
• Proposizioni: <Soggetto è Predicato>
• Sillogismo: <Qualche eroe è umano>, <Tutti gli
umani sono mortali> <Qualche eroe è mortale>,
ma <Qualche umano è ateniese>, <Qualche
ateniese è forte> ??
• Oggetto: filosofia naturale, come scienza delle
cause e degli universali. Conoscere la causa della
eclisse è scienza, conoscerne la data no.
• Limiti: individui, negativi e relazioni. Da <gli uomini
sono animali> non si poteva dedurre <La testa di un
uomo è la testa di un animale>. Paradossi dei
relativi, l’infinito. Il mentitore: «io sto mentendo»
La logica scolastica e il Rinascimento
• Nel medioevo si sviluppa una nuova forma della
logica aristotelica, il cui oggetto però non è la
natura ma i testi, la Bibbia e poi i commenti ai testi
sacri e aristotelici.
• Il ruolo della tecnica e dell’infinito
• La fine del Medioevo e il Rinascimento iniziano la
crisi della logica aristotelica: da Leonardo a Galileo
la logica della scienza diventa la matematica.
• Leibniz: la deduzione come calcolo, il calcolo come
deduzione: definire 2=1+1, 3=2+1, 4=3+1, 5=4+1,
etc. e poi, sostituendo gli uguali: 3+2=3+1+1=4+1=5
Una logica per la nuova scienza
• «I matematici non studiano gli oggetti, ma le
relazioni tra oggetti» (Poincarè). Gli interi e le figure
erano aggettivi, la misura era un numero, mentre i
numeri reali sono rapporti tra grandezze, le curve
come equazioni sono relazioni tra variabili, la
misura è relativa ad una unità campione: la scienza
moderna è fatta di relazioni.
• L’analisi in forma algebrica diventa il linguaggio
simbolico della scienza. Serve una logica di simboli,
che tratti le relazioni e l’infinito. L’infinito, le
relazioni e l’individuale, diventati essenziali in
matematica, lo sono anche nella nuova logica.
La logica di Frege
• Proposizioni: Predicato(t1, t2, ….. tn), per trattare gli
individui e le relazioni: regalo(Anna, Michele, libro).
• Dimostrazione: una sequenza di formule ciascuna
delle quali o è già nota (assioma o teorema già
dimostrato) o si ricava dalle formule precedenti
mediante regole di inferenza sintattiche, ad
esempio da A e A B puoi inferire B.
• Oggetto: la matematica.
• Il formalismo matematico sostituirà l’idea di ‘verità’
con l’idea di ‘dimostrazione’, che appare ormai
come un ‘calcolo’ meccanico: non c’è nulla da capire
I numeri e i segni
• I Principia Mathematica di Russell e Whitehead.
• «Se ci vogliono 27 equazioni per provare che 1 è un
numero, quante ce ne vorranno per dimostrare un
vero teorema?» (Poincarè).
• I teoremi matematici come
‘compressione’ di teoremi
logici. E nonostante il
teorema di incompletezza la
matematica moderna si basa
su un approccio formale.
• Tutta la teoria degli algoritmi e la stessa matematica
formale trattano i segni come numeri e viceversa.
Ma la riduzione alla manipolazione dei segni non è
stata solo una nuova fondazione per la matematica:
ha prodotto anche innovazioni tecnologiche e
culturali pervasive come il computer che calcola
manipolando segni.
• E questo è il quesito più basilare della filosofia della
matematica oggi: che rapporto c’è tra i segni e la
matematica? Abbiamo fatto un viaggio nel rapporto
tra i numeri, i segni e la ragione umana. I numeri
sono solo i segni con cui li indichiamo e con cui
calcoliamo? I segni sono solo numeri astratti, come
la x in algebra? I due mondi coincidono?
Questa presentazione potete trovarla in rete nel sito:
www.dm.uniba.it/Members/borzacchini
nella cartella Orientamento Consapevole.
Nello stesso sito trovate un testo introduttivo di
storia e fondamenti della matematica e un corso
introduttivo alla logica matematica di slides e tutorials
Auguri!
