Le stagioni della matematica e della logica

Luigi Borzacchini
(Dipartimento di Matematica, Università di Bari)
Le stagioni della matematica e
della logica
Orientamento Consapevole
Bari, 5 febbraio 2016
Le tecniche e le teorie matematiche
L’idea più diffusa oggi è che la matematica sia uno
strumento di natura linguistica per la scienza e per la
tecnica, che sia una sorta di deposito di algoritmi,
teorie e tecniche in cui tradurre i problemi reali.
La matematica è certamente utile nelle tecnologie e
in tutte le professioni moderne, ed ha anche un suo
fascino, ma non viene ritenuta (spesso neanche dai
matematici) vera cultura come la filosofia, la storia, la
letteratura, il diritto, l’arte, il cinema, etc. Ed è anche
considerata fredda, poco umana, solo tecnica, per
giunta difficile e artificiosa. E’ una visione corretta?
Logica, storia e filosofia della matematica
discipline ai confini della ‘tecnica matematica’. Infatti
nessun teorema o algoritmo consiste in un’indagine
storica o filosofica, e nessun teorema o algoritmo è
stato mai scoperto per vie strettamente logiche.
Infatti l’intelligenza matematica non ha né una natura
storica né una struttura immediatamente formale: è
più intuitiva e immediata, e si raffina nello studio
delle discipline matematiche.
Ma spesso alla radice di quelle intuizioni ci troviamo
riflessioni storiche o filosofiche, e sempre alla fine
delle loro scoperte i matematici cercano di dare a
quelle scoperte un rigore logico: all’alba, al tramonto
La logica e i fondamenti della matematica
La matematica moderna è formale, sintattica, e molti
filosofi della matematica oggi vedono nella logica
l’ingrediente essenziale per descrivere le basi della
matematica, anzi con la logica pensano di poter
fondare la matematica anche senza conoscerla.
E la maggior parte dei matematici pensano che la
logica sia inutile: è per loro sufficiente la logica
implicita, acquisita studiando la matematica: «la
matematica è quello che fanno i matematici»
Sbagliano entrambi, ma non tantissimo…: la logica ci
mostra la struttura fine della ragione formale, ma non
la creazione matematica
Storia e filosofia della matematica …
• … pongono la matematica al centro della storia
della cultura, con filosofia, arte e musica, religione,
lavoro e tecnica, linguaggio e letteratura.
• Storia e filosofia disegnano una matematica che
non è solo teoremi, teorie e algoritmi. Sono
discipline ai confini della intelligenza matematica
sono però al centro della cultura matematica.
• E pongono interrogativi, creano dubbi. Vanno in
direzione opposta alle consuete discipline
matematiche che invece cercano di dare certezze.
• Ed anche per questo sono discipline borderline,
discipline di frontiera e di confine.
La cultura matematica
• La matematica è la più antica delle discipline, è
riconoscibile già nelle tavolette mesopotamiche di
5000 anni fa, e tracce si trovano già nel paleolitico.
Il teorema di Pitagora era noto
prima di Pitagora ai Babilonesi
e forse anche ai Cinesi.
• Forse solo la medicina è
altrettanto antica, ma nessuno
oggi si farebbe curare da un
medico babilonese, …
Eterna e Universale, Certa e Oggettiva
• La matematica è eterna: il teorema di Pitagora è
vero oggi quanto duemila anni fa.
• La matematica è universale: a New York, nella
giungla africana o in Oriente la matematica si
insegna ed è la stessa, tutte le altre discipline no.
• La verità matematica è certa, diversa da quella
empirica, che è solo verosimile.
• La stessa realtà ha una forma matematica. Wigner:
the unreasonable effectiveness of mathematics.
• Eternità, universalità, certezza, presenza nel reale:
la matematica è stata sempre connessa al divino
La filosofia della Matematica
• Tre questioni collegate: i) qual è la natura degli enti
matematici? Esistono realmente o sono costruzioni
solo mentali o simboliche? ii) perché sono
perfettamente applicabili alla realtà naturale? iii)
come li conosciamo, quale è la nostra via di accesso
alla matematica? Da dove deriva la loro certezza?
• La risposta platonica: gli enti matematici esistono in
un mondo ideale, si riflettono nel mondo reale, e li
percepiamo con gli occhi della mente
• La risposta aristotelica: gli enti matematici sono solo
concetti astratti dalla realtà, eliminandone aspetti
materiali e variabili: certi perché poveri, non reali.
Logica, Storia e Filosofia della Matematica…
• … oggi appaiono a prima vista molto diverse.
• La logica matematica appare una disciplina molto
tecnica con un linguaggio di tipo algebrico.
• La filosofia della matematica oggi non la fanno più i
filosofi, che conoscono troppo poco la matematica,
bensì i logici, che descrivono i fondamenti logici
della matematica.
• La storia della matematica è considerata invece
puramente descrittiva, da fare empiricamente in
archivio e in biblioteca per descrivere l’evoluzione
dei risultati matematici
• Ma dovremmo collegarle fra di loro, ad esempio …
… la verità e la dimostrazione
La verità è un concetto semantico, riguarda cioè il rapporto
tra una asserzione e lo stato delle cose, ed è essenzialmente
empirica. Ma in matematica è anche dimostrativa: la
dimostrazione dovrebbe garantire un accesso immediato e
certo, non empirico ma logico, alla verità. La verità è un’idea
semantica, la dimostrazione sintattica. Ma come nasce, e da
dove, la dimostrazione? assente non solo negli animali ma
anche nelle popolazioni primitive, e ignota prima dei Greci ?
L’idea di dimostrazione prima di
Euclide era sostanzialmente quella di
una costruzione geometrica che
rendeva evidente una certa proprietà:
ad esempio il teorema di Pitagora.
Con Aristotele e Euclide la dimostrazione assume forma sintattica, quasi
una traduzione della costruzione. E la dimostrazione per assurdo?
Ma verità e dimostrabilità sono due cose molto
diverse. Dimostrare che <in tutti i triangoli la somma
degli angoli interni è 180°> è una paginetta nel libro di
geometria che garantisce la certezza del teorema,
verificarlo significa effettuare infinite misure, per
giunta un risultato solo verosimile! Ma è vero che la
dimostrazione garantisce la verità? Chi lo garantisce?
<la dimostrazione di s garantisce la verità di s> : T. Ma
T è vera? Non è vera empiricamente, ma
logicamente\, allora <la dimostrazione di T garantisce
la verità di T>: T’. Ma T’ è vera? Non è empiricamente
vera, allora <la dimostrazione di T’ garantisce la verità
di T’>: T’’. Ma T’’ è vera? … un regresso infinito
(Charles Dodgson)
Lewis Carroll
Che la dimostrazione consenta l’accesso alla verità
non è vero né empiricamente né logicamente.
Storicamente questo accesso si è verificato attraverso
la costruzione geometrica evidente
Ma la costruzione è particolare, chi garantisce che il
risultato sia universale, valido anche per gli altri casi?
E il teorema di incompletezza di Kurt Gödel ci
dimostra anzi che nessuna idea di dimostrazione può
garantirci l’accesso completo alle verità neanche nella
semplice aritmetica degli interi.
Storia, filosofia e logica della matematica ci mostrano
così che la matematica non è un edificio costruito sul
granito ma una rischiosa avventura dell’intelligenza.
LA DIDATTICA:
MATEMATICA
A MEMORIA ZERO
Logica e Storia: la matematica antica era la
nostra matematica elementare?
• Solo in parte. E anche l’insegnamento della
matematica era più naturale ed intuitivo, basato su
figure, senza lettere e meno mnemonico.
• Per Platone l’aritmetica andava ‘ricordata’, e «niente
di matematico deve essere insegnato per costrizione
all’uomo libero» (Respublica). E la geometria era alla
base della formazione nella Accademia (Plutarco)
• Nel Rinascimento invece l’apprendimento diventa
fortemente mnemonico e autoritario (la tabellina
pitagorica, la prova del nove, l’algoritmo per
estrarre le radici, le formule, la regola del tre, etc.)
Storia, logica e didattica della Matematica
• Non sono un esperto, il prof. Pertichino potrà dirvi
cose più precise, ma la mia (lunga) esperienza e la
storia della matematica mi dicono che
l’insegnamento attuale della matematica è molto
artificioso e mnemonico, eredità della matematica
rinascimentale che aveva un carattere professionale
(geometri, artigiani, ragionieri, etc.). La vera
intelligenza matematica è invece ‘a memoria zero’.
• Io soprattutto sono contrario all’apprendimento
mnemonico degli algoritmi: lo studente non è una
brutta copia del computer! Gli algoritmi si
comprendono e si costruiscono, non si ‘imparano’!
Ma servono le tabelline?
Gli egiziani ne facevano a
meno, bastava il raddoppio. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
Esempio: per fare 21x13,
3 6 9 12 15 18 21 24 27 30
decompongo uno dei due
4 8 12 16 20 24 28 32 36 40
fattori in potenze di 2:
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
21 = 1+(2)+4+(8)+16 e
6 12 18 24 30 36 42 48 54 60
calcolo i corrispondenti
7 14 21 28 35 42 49 56 63 70
raddoppi dell’altro fattore: 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80
9 18 27 36 45 54 63 72 81 90
13 +(26)+52+(104)+208 e
sommo = 273.
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Le tabelline non servono? Come sforzo mnemonico, no
… e nessuno dimostra la prova del 9
• Le congruenze: il resto della somma è la somma
dei resti, il resto del prodotto è il prodotto dei
resti: 20 X 30 = 600 Resto rispetto a 7:
• 6 x 2 = 12 ≡ 5 (resto nella divisione per 7) 2
Ma questo va
bene per ogni
Intero!
Perché il 9?
Perché è più facile
calcolare i resti 6
12
5
Si può dimostrare che il 1000000…| 9
11111...
resto nella divisione per 9 9
10
si ottiene sommando le
9
cifre. Ad esempio
10
il resto di 3757 sarebbe
9
3+7+5+7=22 e quindi
10
≡ 2+2=4. Infatti
9
3757= 3 x 1000 + 7 x 100 +
10
9
5 x 10 +7
1
Basta far vedere che il
………
resto di 10n diviso per 9 è
sempre 1
n+1
n
n
10
=9x10 +10 ≡ 10n
L’algebra geometrica
Fino al Medioevo non esisteva l’algebra simbolica
a
b
( a + b )2 = a 2 +
a-b
a
2 a b + b2
(a+b)(a-b)
b
= a 2 - b 2,
b
L’algoritmo della radice quadrata: calcolare √Q. Sia a
una prima approssimazione e b il resto, b<<a. Se tolgo
il quadrato nero grande da quello iniziale e ignoro
quello nero piccolo ho i
2
2
2
Q=( a + b ) = a + 2 a b + b
due rettangoli, da cui ho
2
≈ a + 2 a b, da cui
un’approssimazione di b,
2
b ≈ (Q- a )/2a
e ripeto la procedura
… ed anche le equazioni di II grado
Per noi x2 + bx = c si risolve
b /16
b x/4
aggiungendo b2/4 ad ambo i
membri, da cui (x + b/2)2 = c+b2/4
C
CC
e x = -b/2 (c+ b2/4).
Per al-Khwarizmi il quadrato
centrale ha area x2 e quindi la
croce centrale ha area c: se gli
aggiungiamo i 4 quadratini di area b2/16 otteniamo che
il quadrato grande di lato x + b/2 ha area c + b2/4.
Estrai la radice e sottrai b/2, ottieni x. In entrambi hai il
‘completamento del quadrato’. Ma perché la
matematica moderna è più complicata? Per cattiveria?
b/4
2
x
LA MATEMATICA
MODERNA
E’ ASSURDA:
L’INFINITO E I SEGNI
Il Rinascimento e la Rivoluzione Scientifica
• Perché la matematica moderna è ‘complicata’? gli
psicologi cognitivi hanno sempre notato un salto
nella formazione matematica tra la matematica
antica ‘di numeri e figure’ e quella ‘con le lettere’.
• Alla fine del Cinquecento nasce una matematica del
tutto nuova, con due nuovi intrusi: i segni algebrici
e l’infinito, estranei alla conoscenza comune, e da
cui nascono altri enti matematici ‘inesistenti’: i
numeri reali e i logaritmi, le serie, gli infinitesimi,
derivate e integrali, la geometria analitica, l’algebra
simbolica, etc. E la didattica diventa allora
necessariamente più autoritaria e mnemonica.
L’infinito
• Per i Greci era un concetto impraticabile, una zuppa
di paradossi (Zenone), e rendeva impraticabile per
Euclide descrivere la retta sia come infinita sia come
un continuo composto dai suoi punti.
• L’infinito potenziale, «puoi sempre aggiungere
qualcosa» era accettabile (i numeri non avevano un
massimo, l’intervallo era prolungabile).
• L’infinito attuale, «non puoi aggiungere più nulla»
era invece assurdo, impraticabile sia
matematicamente che filosoficamente.
• I due infiniti erano non l’opposto del finito, ma l’uno
l’opposto dell’altro
Discreto e Continuo: Numeri e Grandezze
• Fino ai Pitagorici sull’abaco non vi era una vera
distinzione tra discreto e continuo, la differenza tra
unità e punto era solo se la pietrolina (la monade)
aveva o no una posizione.
• Nella matematica greca invece c’era una divisione
netta tra esse, un abisso, unico ponte il rapporto.
• Il Medioevo è più pragmatico (nella misura si usa il
numero per grandezze continue) e religioso
(l’infinito è indispensabile perché attributo divino).
• Lo scandalo della storia: l’idea di numero reale non
esiste fino al Cinquecento, poi diventa ovvia,
intuitiva con Descartes e Stevin, ma verrà analizzata
solo alla fine dell’Ottocento (Dedekind, Cantor).
i segni, l’infinito e il numero reale: 3.14159……
Le due grandi novità della
matematica moderna: nella
matematica greca due temi
inesistenti. Il punto separa
due mondi: a sinistra un
numero finito e infinito
potenzialmente, a destra
una sequenza attualmente
e qui?
infinita: il numero reale è
una grande invenzione, ma
ci vorranno 3 secoli per una
teoria del continuo, ancora oggi un problema aperto
Il labirinto del continuo (Leibniz)
• Il continuo era per Leibniz un ‘labirinto’, in cui la
mente si perde. Se la retta è composta di infiniti
punti (di dimensione 0)
Come può una somma di infiniti 0
essere diversa da 0? E così tutti i
segmenti sarebbero uguali. E qual
è il punto subito a destra di un
punto dato? (per lo 0 il minimo
numero reale positivo). Se sono
distinti c’è un intervallo, e allora il
secondo punto non è l’immediato successore.
Il segno algebrico: che cosa è la x?
Aliquid stat pro aliquo: il segno sta per qualcosa: il
fumo per il fuoco, la febbre per la malattia, etc.
Per cosa sta la x? Per l’incognita? Per ciò che non si sa?
Per un numero qualsiasi? Per una grandezza variabile?
Per Frege era un ‘posto vuoto’. Non ne conosciamo il
valore e neanche il tipo (numero, lunghezza, misura?).
Non ha nessun significato? C’è ma non appare. Dove si
è trasferito? E’ nell’algoritmo che lo usa, non esistono
algoritmi senza segni né segni senza algoritmi.
‘processo meccanico’ e ‘algoritmo’ coincidono, il segno
è anfibio, nel contempo materiale e ideale, e si lega
alla macchina, dall’orologio alla calcolatrice.
I segni nell’abaco non servivano. Le cifre indo-arabe erano gli
ingredienti essenziali degli algoritmi (da Al-Khwarizmi).
Ed anche algebra è una parola araba (da al jabr): l’algebra
islamica non manipolava ‘segni’, solo parole, ma come fossero
segni. In Europa la matematica non è più un frammento del
linguaggio naturale, nasce il primo ‘linguaggio artificiale’ della
storia: l’algebra simbolica, in cui i segni algebrici appaiono
nella abitudine degli Amanuensi di troncare,
legare, fondere i caratteri.
Impensabile per un popolo
con una lingua sacra come
l’arabo, ma accettabile per
una lingua ‘senza aura’ come
il latino medievale. E trai
segni usati appaiono anche
quelli matematici: x, +, =
Dalla geometria all’algebra: i segni e la crisi
Sin dai Greci la ‘matematica’ era stata soprattutto
geometria, con la dimostrazione euclidea quale
paradigma della ragione, e dal Cinquecento anche
coincidente con la meccanica. L’aritmetica era solo
pratica, con problemi ma quasi senza dimostrazioni
La matematica moderna porrà invece al centro algebra
e aritmetica, e diverrà astratta, autonoma e formale.
I due pilastri che fondavano la matematica, la evidenza
della dimostrazione geometrica e la coincidenza con la
fisica svaniscono nell’Ottocento. E appare allora la crisi
dei fondamenti, con una domanda inedita:
Qual è il fondamento della matematica?
LA LOGICA
PUO’ FONDARE
LA MATEMATICA?
La logica matematica …
• …. è stata uno dei fatti culturali più importanti del
XX secolo, sia teoricamente che praticamente.
• Il computer ha un corpo elettronico, ma un’anima
logico-matematica: le macchine di Turing,
l’architettura di von Neumann.
• I teoremi di incompletezza di Gödel sono forse, con
la fisica quantistica, il tema culturale più analizzato
dell’ultimo secolo, anche da filosofi e artisti.
• Il linguaggio logico è la base, anche se spesso
implicita, di tutto il formalismo delle scienze
moderne e non solo della matematica: dalla fisica
alla computer science e alle scienze della vita.
La logica: nasce dal fatto che la ragione umana si
esprime attraverso il linguaggio. La logica è formale in
quanto la struttura della ragione si riflette in quella
della sintassi. Il ragionamento formale consiste nel
ragionare senza comprendere.
da «Michele è brindisino» e «Tutti i brindisini sono
pugliesi» deduco «Michele è pugliese», ed il
significato è chiaro ed evidente. Ma da «Michele è un
sarchiapone» e «Tutti i sarchiaponi sono
sesquipedali», posso dedurre formalmente «Michele
è sesquipedale», ma il significato è oscuro: la
deduzione è un fatto sintattico, relativo ad una forma
del tipo «a è un B», «tutti i B sono C», e dunque «a è
un C». La verità è invece un fatto semantico.
La logica aristotelica
• Proposizioni: <Soggetto è Predicato>, <Anna è alta>
• Sillogismo: <Qualche eroe è umano>, <Tutti gli
umani sono mortali> <Qualche eroe è mortale>,
ma <Qualche umano è ateniese>, <Qualche
ateniese è forte> ??
• Oggetto: filosofia naturale, come scienza delle
cause e degli universali. Conoscere la causa della
eclisse è scienza, conoscerne la data no.
• Limiti: individui, negativi e relazioni. Da <gli uomini
sono animali> non si poteva dedurre <La testa di un
uomo è la testa di un animale>. Paradossi dei
relativi, l’infinito. Il mentitore: «io sto mentendo»
La logica scolastica e il Rinascimento
• Nel medioevo si sviluppa una nuova forma della
logica aristotelica, il cui oggetto però non è la
natura ma i testi, la Bibbia e poi i commenti ai testi
sacri e aristotelici.
• In matematica il ruolo della tecnica e dell’infinito
• La fine del Medioevo e il Rinascimento iniziano la
crisi della logica aristotelica: da Leonardo a Galileo
la ‘logica’ della scienza diventa la matematica.
• Leibniz: la deduzione come calcolo, il calcolo come
deduzione: definire 2=1+1, 3=2+1, 4=3+1, 5=4+1,
etc. e poi, sostituendo gli uguali: 3+2=3+1+1=4+1=5
Una logica per la nuova scienza
• «I matematici non studiano gli oggetti, ma le
relazioni tra oggetti» (Poincarè). Per i greci gli interi
e le figure erano aggettivi, la misura era un numero,
mentre ora i numeri reali sono rapporti tra
grandezze, le curve come equazioni sono relazioni
tra variabili, la misura è relativa ad una unità
campione: la scienza moderna è fatta di relazioni.
• L’analisi in forma algebrica diventa il linguaggio
simbolico della scienza. Serve una logica di simboli,
che tratti le relazioni e l’infinito. L’infinito, le
relazioni e l’individuale, diventati essenziali in
matematica, lo sono anche nella nuova logica.
La logica di Frege
• Proposizioni: Predicato(t1, t2, ….. tn), per trattare gli
individui e le relazioni: regala(Anna, Michele, libro).
• Dimostrazione: una sequenza di formule ciascuna
delle quali o è già nota (assioma o teorema già
dimostrato) o si ricava dalle formule precedenti
mediante regole di inferenza sintattiche, ad
esempio da A e A B puoi inferire B.
• Oggetto: la matematica.
• Il formalismo matematico sostituirà l’idea di ‘verità’
con l’idea di ‘dimostrazione’, che appare ormai
come un ‘calcolo’ meccanico: non c’è nulla da capire
I numeri e i segni
• I Principia Mathematica di Russell e Whitehead.
• «Se ci vogliono 27 equazioni per provare che 1 è un
numero, quante ce ne vorranno per dimostrare un
vero teorema?» (Poincarè).
• I teoremi matematici come
‘compressione’ di teoremi
logici. E, nonostante il
teorema di incompletezza, la
matematica moderna si basa
su un approccio formale.
LA MATEMATICA,
IL COMPUTER
E GLI ALGORITMI
Il computer e le tecniche matematiche
Sino dal Rinascimento esistono professioni che si
fondano sulla conoscenza degli algoritmi, dai
ragionieri agli ingegneri. Ma oggi il computer può
eseguire ogni algoritmo meglio di noi.
D’altra parte la creazione di algoritmi e la capacità di
saperli applicare, combinare e generalizzare è una
abilità strettamente matematica e umana.
L’abilità matematica non è più allora la capacità di
eseguire gli algoritmi, ma la capacità di trovarli,
costruirli e applicarli a una rappresentazione formale,
sintattica del problema: l’informatica e la matematica
algoritmica diventano sempre più simili.
La rappresentazione
La rappresentazione iconica (analogica)
La rappresentazione sintattica (digitale)
CASA
𝐴 = 𝜋𝑟 2
Nessuna somiglianza, non è
Si basa sulla somiglianza,
analitica (la lettera C di CASA
è analitica (il camino nella
non corrisponde a nessuna
immagine della casa è la
parte di una casa), ha natura
immagine di un camino), è
linguistica, dipende da un
universale, ma ha difficoltà
particolare linguaggio, ma può
coi termini astratti, la verità,
rappresentare anche termini
la negazione, l’essere, etc.
astratti.
Talora si usano insieme i due tipi di
rappresentazione
Linguaggio e Calcolo
• Già Leibniz si accorse che la rappresentazione
sintattica aveva un altro grande vantaggio: era sia
un linguaggio di rappresentazione che un calcolo.
• Da un lato ogni individuo e ogni fatto del mondo da
rappresentare poteva essere rappresentato tramite
i simboli: la rappresentazione era universale.
• Dall’altro lato, il divenire e le deduzioni in tale
mondo potevano essere ‘simulate’ tramite la
manipolazione dei segni secondo regole: la
rappresentazione era un calcolo.
• I linguaggi formali: l’algebra, l’analisi, i linguaggi di
programmazione, la logica, gli algoritmi
Gli algoritmi
• La computer science si fonda sulla connessione tra
algoritmi e logica.
• Al-Khwarizmi è stato un matematico arabo vissuto a
Bagdad nella prima metà del IX secolo, celebre sia
per aver diffuso la manipolazione algebrica dei
problemi che per la diffusione delle cifre indo-arabe,
importanti non tanto perché posizionali o per la
presenza dello 0, ma perché il calcolo con esse si
faceva tramite procedure sintattiche: gli algoritmi.
• Le costruzioni geometriche o iconiche e i processi
meccanici non sono algoritmi: non esistono segni
senza algoritmi e non esistono algoritmi senza segni.
Algoritmi e Logica
• Storicamente erano state sempre profondamente
diverse: la logica era interna alla filosofia e alla
teologia, gli algoritmi erano invece molto pratici,
roba da bottegai, agrimensori e contabili.
• Nella matematica moderna invece diventano
sempre più simili. La sovrapposizione si delinea
all’inizio del XX secolo, quando si scopre che una
dimostrazione logica è solo un calcolo particolare e
che ogni calcolo è la dimostrazione di un certo
risultato. E che un calcolo fosse una dimostrazione
l’aveva già capito Leibniz nel Seicento.
Un calcolo è una dimostrazione
• Per esempio ‘dimostriamo’ che 4+3=7. Definiamo i
numeri: 2=1+1, 3=2+1, 4=3+1, 5=4+1, 6=5+1, 7=6+1,
etc. e usiamo come unica regola che «in una
espressione si possono sostituire espressioni
uguali». Allora 4+3 = 4+2+1 = 4+1+1+1 = 5+1+1 =
6+1 = 7.
• E nel contempo questa dimostrazione è anche un
algoritmo per effettuare la somma.
• Viceversa l’idea che ogni dimostrazione in fondo sia
una sorta di calcolo appare solo alla fine
dell’Ottocento, soprattutto con Gottlob Frege.
Una dimostrazione è un calcolo
• Per Frege «una dimostrazione è una sequenza di
frasi (formule) ciascuna delle quali o è già nota
(assioma o teorema già dimostrato) o si ricava dalle
frasi precedenti mediante regole di inferenza».
• La verifica della correttezza di una dimostrazione
logica è un fatto ‘meccanico’, non c’è bisogno di
‘capire’ nulla! «La matematica è logica travestita.»
• Una dimostrazione matematica è una sorta di
compressione di una dimostrazione logica molto più
lunga, ed occorre però ‘capire’ la dimostrazione.
• Tutta la teoria degli algoritmi e la stessa matematica
formale trattano i segni come numeri e viceversa.
Ma la riduzione alla manipolazione dei segni non è
stata solo una nuova fondazione per la matematica:
ha prodotto anche innovazioni tecnologiche e
culturali pervasive come il computer che calcola
manipolando segni.
• E questo è il quesito più basilare della filosofia della
matematica oggi: che rapporto c’è tra i segni e la
matematica? Abbiamo fatto un viaggio nel rapporto
tra i numeri, i segni e la ragione umana. I numeri
sono solo i segni con cui li indichiamo e con cui
calcoliamo? I segni sono solo numeri astratti, come
la x in algebra? I due mondi coincidono?
L’anima logico-matematica del computer
• Storicamente il computer nasce 70 anni fa dalla
collaborazione di ‘elettronici’ e i ‘logici-matematici’,
il corpo e l’anima del computer.
• L’elettronica ha subito cambiamenti epocali: dai
relais alle valvole, ai transistor, ai microchip sempre
più piccoli e potenti, tanto che questa evoluzione di
misura in ‘generazioni’
• L’anima logico-matematica invece è rimasta sempre
la stessa: lo schema della macchina universale di
Turing e l’architettura di von Neumann.
• La matematica è la più antica delle discipline ma
anche la più moderna…
Questa presentazione potete trovarla in rete nel sito:
www.dm.uniba.it/Members/borzacchini
nella cartella Orientamento Consapevole.
Nello stesso sito trovate un testo introduttivo di
storia e fondamenti della matematica e un corso
introduttivo alla logica matematica di slides e tutorials
Auguri!