Formula di Taylor con resto di Lagrange

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RESTO NELLA FORMA DI LAGRANGE
NELLA FORMULA DI TAYLOR
APPUNTI PER LE LEZIONI DEL CORSO DI
ANALISI MATEMATICA I (L–Z)
CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA
AEROSPAZIALE
DANIELE ANDREUCCI
DIP. SCIENZE DI BASE E APPLICATE PER L’INGEGNERIA
UNIVERSITÀ LA SAPIENZA
VIA A.SCARPA 16, 00161 ROMA, ITALY
1. Resto di Lagrange
Definizione 1.1. Sia f : (a, b) → R derivabile n volte; il polinomio di
Taylor di ordine n di f in x0 ∈ (a, b) è
Tn [f ](x) =
n
X
f (k) (x0 )
(x − x0 )k .
k!
k=0
(1.1)
Definiamo anche il resto di Taylor di ordine n come
En [f ](x) = f (x) − Tn [f ](x) ,
x ∈ (a, b) .
(1.2)
La dipendenza di Tn [f ] e di En [f ] da x0 verrà sottintesa.
Osservazione 1.2. Segue subito dalla (1.1) che
Tn [f ]′ (x) = Tn−1 [f ′ ](x) .
Teorema 1.3. Sia f ∈ C n+1 ((a, b)). Allora per ogni x, x0 ∈ (a, b)
esiste un punto ξ nell’intervallo di estremi x e x0 tale che
En [f ](x) =
f (n+1) (ξ)
(x − x0 )n+1 .
(n + 1)!
(1.3)
Dimostrazione. Procediamo per induzione.
A) Caso n = 0. In questo caso la tesi diventa
f (x) − f (x0 ) = f ′ (ξ)(x − x0 ) ,
che segue dal Teorema di Lagrange della media per le derivate, per ogni
funzione derivabile f .
1
B) Passo d’induzione. Supponiamo che valga la (1.3) per ogni funzione
in C n+1 ((a, b)).
Sia f ∈ C n+2 ((a, b)). Scriviamo, usando l’Osservazione 1.2,
En+1 [f ](x) =
=
=
Zx
x0
Zx
x0
Zx
x0
′
En+1 [f ] (t) dt =
Zx
[f ′ (t) − Tn+1 [f ]′ (t)] dt
x0
[f ′ (t) − Tn [f ′ ](t)] dt
(f ′ )(n+1) (ξt )
(t − x0 )n+1 dt .
(n + 1)!
Si è usata l’ipotesi d’induzione (1.3) applicata a f ′ che risulta di classe
C n+1 ((a, b)) se f ∈ C n+2 ((a, b)).
Supponiamo per definitezza x > x0 ; il caso x < x0 è analogo, e richiede
solo di distinguere tra i casi n pari e n dispari, che determinano il segno
della potenza (t − x0 )n+1 nell’integrale sopra.
Quindi si ha se x > x0
min f
[x0 ,x]
(n+2)
Zx
x0
Zx
(t − x0 )n+1
(t − x0 )n+1
dt ≤ En+1 [f ](x) ≤ max f (n+2)
dt ,
[x0 ,x]
(n + 1)!
(n
+
1)!
x
0
ossia
min f (n+2) ≤
[x0 ,x]
En+1 [f ](x)
(x−x0 )n+2
(n+2)!
≤ max f (n+2) .
[x0 ,x]
Per il Teorema di Bolzano dei valori intermedi, e per l’ipotesi f (n+2) ∈
C ((a, b)), esiste uno ξ ∈ [x0 , x] tale che
En+1 [f ](x)
= f (n+2) (ξ) ,
(x−x0 )n+2
(n+2)!
ossia la tesi.
Esercizio 1.4. La dimostrazione sopra non esclude che possa essere
ξ = x o ξ = x0 . Si mostri che un’analisi più attenta della stessa
dimostrazione in realtà prova che ξ appartiene all’intervallo aperto di
estremi x e x0 .
2
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