La probabilità dell’evento: (A e B)
Esempio : Si lancia un dado, l’evento “ esce un numero primo e esce un numero dispari” come si rappresenta?
Che probabilità ha di verificarsi?
Svolgimento: A: “esce un numero primo” ={2,3,5} B:”esce un numero dispari”={1,3,5}
U
3
A 2
4
5
1
B
Con la definizione classica P(A e B) =
6
Esiste un teorema che ci permette di calcolare la probabilità dell’evento “Intersezione” (A e B) ?
Si dice probabilità condizionata di A dato B, la probabilità che si verifichi l’evento
A : “esce un numero primo”, sapendo che si è già verificato l’evento B:” è uscito un numero dispari”.
Se si è verificato l’evento B, o se si suppone che si sia verificato B, il nuovo insieme universo è B
La probabilità dell’evento A, condizionata al verificarsi di B è P(A|B) = 2/3.
Per ottenere P (A e B), bisogna moltiplicare la probabilità di verificarsi dell’evento B, P(B)=1/2 e P(A|B)=2/3
P(A e B) = P(B)*P(A|B) nel nostro caso: P(A e B ) =
TEOREMA DELLA PROBABILITA’ COMPOSTA o TEOREMA DEL PRODOTTO LOGICO DI EVENTI:
P(A e B) = P(B)*P(A|B) = P(A)*P(B|A)
oppure
P(A e B) = P(B)*P(A) se i due eventi sono indipendenti
EVENTI INDIPENDENTI
Due eventi A ed B, si dicono indipendenti quando il verificarsi di uno non influenza la probabilità del verificarsi
dell’altro: P(A)=P(A|B) e in modo simmetrico P(B)=P(B|A)
Esempio1. A:” lancio un dado ed esce 2” ; B:” lancio una moneta ed esce testa” sono eventi indipendenti
Esempio2. A:” Estraggo da un’ urna con 100 palline numerate il numero 3”, metto la pallina estratta nell’urna e
rimescolo poi B: “ estraggo dalla stessa urna il numero 4”, i due eventi sono indipendenti. Sapere che è uscito il
tre non modifica la probabilità di uscita del 4 alla seconda estrazione.
Esempio3. A:” Estraggo da un’ urna con 100 palline numerate il 3”, non metto la pallina estratta nell’urna, poi
B: “ estraggo dalla stessa urna il numero 4”. I due eventi non sono indipendenti poiché dopo la prima estrazione
è cambiata la composizione dell’urna e quindi la probabilità di estrarre il numero 4.
Due eventi incompatibili NON sono indipendenti perché il verificarsi di un evento rende uguale a zero la
probabilità di verificarsi dell’altro.
ESEMPIO. A: “lancio un dado ed esce un numero pari”; B=”lancio un dado ed esce un numero dispari”, i due
eventi hanno entrambi probabilità ½, ma sono incompatibili, se si verifica A non si può verificare B , cioè
P(B|A)=0 mentre P(B)=1/2 !!!!!!!!!!!!
L’ESEMPIO DELL’URNA con le 100 palline numerate da 1 a 100, e con due estrazione senza reimbussolamento
della pallina estratta, ci fa capire che ci sono eventi che non sono equiprobabili di cui si deve calcolare la
probabilità composta.
In questi casi , la rappresentazione insiemistica non è conveniente, ma è preferibile usare i diagrammi ad
albero dove le probabilità condizionate si ricavano facilmente.
DIAGRAMMI AD ALBERO
Con il diagramma ad albero si possono rappresentare tutti i casi possibili e anche calcolare facilmente le
probabilità di eventi che possono NON essere equiprobabili
Esempio: Rappresentare l’evento A:” una coppia con tre figli, ha tre femmine”e calcolare la probabilità di A.
Ecco il diagramma ad albero che descrive la situazione:
Analizzando il diagramma troviamo : 8 casi possibili, tutti
equiprobabili, ed un caso favorevole
U={MMM , MMF , MFM , MFF , FMM , FMF , FFM , FFF}
Se accanto ai rami si indica anche la probabilità che
porta all’evento che interessa,si puo’ applicare il
teorema del prodotto logico:
P(A)=1/8=0.125=12,5%
P(FFF)= ½*½*½= 1/8 =0,125= 12,5%
Applicando prima il teorema del prodotto logico poi il teorema della somma logica, si possono
ottenere facilmente le probabilità di vari eventi relativi a una coppia di genitori con tre figli
P(almeno due femmine) = 1/8 + 1/8+1/8= 3/8 =
3.75=37.5% ( ottenuta considerando la parte in
neretto del diagramma)
P(avere un solo maschio)= 1/8 + 1/8+1/8=
3/8=0.375=37.5%
P( avere almeno un maschio)= 1/8+1/8 + 1/8+1/8
+ 1/8+1/8 + 1/8= 7/8=0.875=87.5%
NOTA BENE : “ avere almeno un figlio maschio “ è
l’evento contrario a “ avere tre figlie “.
P(avere almeno un figlio maschio)=1-P(avere tre
figlie)
= 1-1/8= 7/8
Riassumendo:
Nei diagrammi ad albero:
muovendosi lungo un ramo si applica il teorema del
prodotto logico di eventi ( le probabilità sui rami
si moltiplicano) ;
muovendosi orizzontalmente si applica il teorema
della somma logica di eventi incompatibili ( le
probabilità si sommano).
ESEMPIO. Da un’ urna con 6 palline bianche e 4 nere se ne estraggono due , una dopo l’altra, senza
reimbussolamento, gli eventi non sono equiprobabili.
Rappresentare la situazione con un grafo e calcolare le varie probabilità, ad esempio : “ la prima pallina estratta è
nera e la seconda pallina è nera” oppure “ la prima pallina estratta è nera e la seconda estratta è bianca”,
“ la seconda pallina è nera “ ecc
Teor. Prodotto logico di eventi
P(B1 e B2)=6/10*5/9= 5/15
P(B1 e N2)=6/10*4/9=4/15
P(N1 e B2)=4/10*6/9=4/15
P(N1 e N2)=4/10*3/9=2/15
Con il teor. somma logica di
eventi si può calcolare:
P(la seconda pallina estratta è
bianca)= 5/15+4/15= 9/15= 3/5
=0,60=60%
