esercizi 3

Variabili aleatorie
discrete e continue
Ottobre 2008
Marta Giorgetti
1
Variabili aleatorie discrete
►
Distribuzione uniforme: si pensi ad un’urna contenente N palline
numerate da 1 a N. L’esperimento aleatorio consiste nell’estrarre a
sorte una pallina. In questo modo si dà luogo ad una variabile
aleatoria le cui determinazioni sono i primi N numeri interi. La
probabilità associata a ciascuno di questi valori è 1/N.
DEF: si dice che una V.A. ha una distribuzione uniforme discreta se
la sua legge di probabilità è:
1

x

1
,
2
,...,
N
1
 se
p
(
x
)

p
(
x
,
N
)


I
(
x
)
N

X
{
1
,
2
,...,
N
}
N

0
altrove

Inoltre:
2
N
N

1
N

1
1
it
E
[
X
]

, var[
X
]

, m
(
t
)

e
X
2
12 i
N 2

1
►
Distribuzione di Bernoulli B(1,p): si pensi ad un esperimento i cui esiti
sono due eventi incompatibili A e B. Si pensi al lancio di una moneta,
dove A e B sono gli eventi “testa” e “croce”, oppure all’estrazione
casuale di una unità da una popolazione dicotomica, cioè da una
popolazione le cui unità sono raggruppate in due sole categorie, quali
“maschio” e “femmina”, “malato” e “sano”, ecc. La singola esecuzione
di questo esperimento va sotto il nome di prova bernoulliana. Si
associ il valore 1 all’evento A, designato, generalmente con il termine
“successo” e il valore 0 all’evento B, indicato con il termine
“insuccesso”. Sia p la probabilità di A e quindi 1-p la probabilità di B.
Vale allora la seguente definizione:
DEF: si dice che una V.A. ha una distribuzione di Bernoulli se la sua legge di
probabilità è:
Inoltre:
x
1
x

p
(1
p)
se
x

0
,
1x 1
x
p
(
x
,
p
)


p
(1
p)
I
(
x
)

X
{
0
,
1
}
0
altrove

con
0

p

1
e
1

p

q
t
E
[
X
]

p
, var[
X
]

pq
, m
(
t
)

pe

q
X
3
3)
Distribuzione di Binomiale B(n,p): si considerino n prove di Bernoulli
indipendenti; sia p la probabilità dell’evento successo. La variabile
aleatoria binomiale è definita come il numero dei successi in n prove
bernoulliane indipendenti. Si immagini per esempio il lancio di una
moneta 20 volte; indentificando in “testa” l’evento successo la cui
probabilità è 0,5, la VA binomiale sarà il numero dei risultati “testa”
nei 20 lanci.
DEF: si dice che una V.A. ha una distribuzione di Binomiale se la sua legge
di probabilità è:

n


x
n
x


p
(1
p)
se
x

0
,
1
,...,
n
n



x
n
x




p
(
x
,
n
,
p
)


p
(1
p)
I
(
x
)
x

X
{
0
,
1
,...,
n
}




x



0
altrove

con
0

p

1
e
1

p

q
Inoltre:
t
n
E
[
X
]

np
, var[
X
]

npq
, m
(
t
)

(
pe

q
)
X
4
►
Distribuzione Poisson:
DEF: si dice che una V.A. ha una distribuzione di Poisson con parametro
λ>0 se la sua legge di probabilità è:


p
(
x
,

)
e
x
!
x

X
x

0
,
1
,
2
...
Inoltre:

E
[
X
]

,


(
e

1
)
var[
X
]

, m
(
t
)

e
t
X
5
Variabili aleatorie continue quando lo spazio campionario Ω, su cui
sono definite, è continuo, è costituito cioè da un’infinità non numerabile di
eventi elementari.
►
Distribuzione uniforme:
DEF: si dice che una V.A. definita in un intervallo [a,b] ha una
distribuzione uniforme continua se la sua funzione di densità è
espressa da:
1
f
(
x
)
, 

a

x

b


X
b

a
Inoltre ha funzione di ripartizione data da:
x

a
F
(
x
)

I
(
x
)

I
(
x
)
X
[
a
,
b
]
(
b
,

)
b

a
e
2
tb
ta
a

b
(
a

b
)
(
e

e
)
E
[
X
]

, var[
X
]
, m
(
t
)

X
2
12 t
(
b

a
)
6
2)
Distribuzione esponenziale (negativa):
DEF: si dice che una V.A. ha una distribuzione esponenziale se la sua
funzione di densità è espressa da:




x
f
(
x
,
)

e
I
(x),

0
X
[
o
,

]
Inoltre ha funzione di ripartizione data da:




t


x
F
(
x
)

e
dt

(
1

e
)
I
(
x
),

0
X 
[
0
,

)
x
e
0




1
1
E
[
X
]

, var[
X
]

, m
(
t
)

X
2

t
7
3)
Distribuzione normale N(μ, σ2):
DEF: si dice che una V.A. ha distribuzione normale se la sua funzione
di densità è espressa da:







2


1
(x
)


f
(
x
,
,
)

exp
-2
dove




e

0
X


2
2


Inoltre ha funzione di ripartizione è data da:
e


2

1 
(t
-)

F
(
x
)

exp
- 2
dt
X



2

2 
x





2
2
t
E
[
X
]

, var[
X
]

, m
(
t
)

exp
t

)
X
2
2
8
3)
Distribuzione normale standard N(0,1):
DEF: si dice che una V.A. ha distribuzione normale standard se la sua
media vale 0 e la sua varianza vale 1, cioè se la sua funzione di
densità è espressa da:
2

1 x


f
(
x
,
,
)

exp
X


2 2




Inoltre ha funzione di ripartizione è data da:
2

1 (t)


(
x
)

exp
- 
dt
X



2 2



x

e
2
t
2
E
[
X
]

0
, var[
X
]

1
, m
(
t
)

e
X
9
ESERCIZIO 1: Una scatola contiene 5 palline di cui 3 bianche e 2 nere.
Estraggo a caso, con reimmissione, 3 palline. Quale è la probabilità di
pescarne 3 bianche? E due bianche ed una nera?
SOLUZIONE
Poniamo X=“numero di palline bianche estratte”.

3
X
~
binomiale
(
n

3
,

0
,
6
)
5
Quindi
Perciò

3

x 3

x


0
,
6
0
,
4
, 
0,1,2
x



p
(
x
)

P
(
X

x
)

x




0
,altrov

3
P
(
X

3
)

p
(
3
)

0
,
6

0
,
216
3
P
(
X

0
)

p
(
0
)

0
,
4

0
,
64
3

2


P
(
X

2
)

p
(
2
)

0
,
6
0
,
4

0
,
432


2


10
ESERCIZIO 2: Lancio 5 volte un dado regolare. Qual è la probabilità di
ottenere almeno una volta un punteggio pari?
SVOLGIMENTO
In ciascun lancio posso aver successo (punteggio pari) o insuccesso
(punteggio dispari) e i lanci sono indipendenti. Quindi il n.a. X=“numero di
successi in 5 lanci” ha distribuzione binomiale di parametri n=5, θ=0,5.
5
P
(
X

1
)

1

P
(
X

1
)

1

P
(
X

0
)

1

0
,
5

0
,
96
11
ESERCIZIO 3: Supponiamo che il numero giornaliero di richieste di intervento
d’urgenza per un certo servizio sia descritto da una n.a. X con distribuzione di
Poisson di parametro λ=5. Qual è la probabilità di ricevere più di una richiesta di
intervento?
SVOLGIMENTO
La funzione di probabilità di X è:


5
x
e
5
p
(
x
,
5
)

con
x

0
,
1
,
2
...
X
x
!
perciò si ha
P
(
X

1
)

1

P
(
X

1
)

1

[
P
(
X

0
)

P
(
x

1
)]


5
0 
5
1


e
5
e
5
1

p
(
0
)

p
(
1
)

1


1

0
,
04

0
,
96
 
0
! 1
!

12
ESEMPIO: Numeri ritardatari su una ruota del lotto. E’ convenzione comune
che se un numero non è uscito su una ruota per molte estrazioni la sua
probabilità di uscire a ogni estrazione successiva aumenti. Calcoliamo
questa probabilità. A ogni estrazione la probabilità che un numero venga
estratto è:
89

4 


  0,0556
p
90

5 



Si può modellizzare il tempo d’attesa di questo numero con una v.a.
geometrica X di parametro p che aspetta l’uscita della prima T nel lancio di
una moneta di trucco p. Calcoliamo la probabilità che T non sia uscita per
k-1 lanci, che corrisponde a X k 1 , cioè T esce al k-esimo lancio,
cioè X k 1:
k

1
P
[{
X

k

1
}

{
X

k

1
}]
pq
P
[
X

k

1
|
X

k

1
]



p
k

1
P
[
X

k

1
]
q
che è la probabilità che T esca alla prima estrazione.
13
Il ragionamento, sbagliato e inconsapevole, è invece il seguente.
La probabilità di k C di fila, cioè dell’evento
{
CCC
...
CC
...}è





k
k
P
[{
CCC
...
CC
...}]

q





k
(nel caso del lotto 0,9444k, che per k=100 è 0,9444100=0,0033). Allora
si è portati a giocare contro questo evento, quindi per il suo
complementare, che, nel caso k=100, è pari a 0,9967, ma questo
complementare non è {
.
CCC
...
CC
T
...}





k
14
ESERCIZIO 4: Una v.a. ha distribuzione uniforme sull’intervallo (-2,2).
Scrivete l’espressione della funzione di densità e la funzione di ripartizione
di X. Calcolare P(X>1).
SVOLGIMENTO
Nel nostro caso a=-2, b=2, quindi la funzione di densità è:
1

x

(

2
,2
)
 se
f(x
)
4


0 altrove

0
x
2

x2

E la funzione di ripartizione è:
F
(
x
)

2x2

X
4
1 x2


Infine calcoliamo P(X>1)=1-P(X ≤1)=1-F(1)=1-3/4=1/4.
15
ESERCIZIO 5: Vogliamo studiare il tempo d’attesa ad uno sportello bancario. So
che in media aspettiamo 4 minuti fra un cliente ed il successivo. Che modello
potremmo usare per descrivere il fenomeno? Quanto vale lo scarto quadratico
medio orario del tempo d’attesa?
SVOLGIMENTO
Fra quelli studiati, il modello adatto per descrivere questo fenomeno è
l’esponenziale negativa con parametro λ=1/4=0,25.
Abbiamo che Var(x)=1/λ2=1/0,0625 quindi


Var
(
X
)

1
/
0
,
0625

1
/
0
,
25

4
X
Questo vale in generale, cioè per una distribuzione esponenziale negativa
abbiamo che:
1
X X 

16
ESERCIZIO
6:
Sia
X
una
v.a.
con
la
seguente
funzione
di
densità
1
12

f
(
x
)

exp
(x
1
)
dove


x




X
8
2
2

Calcolare P(X>5) e P(|X|>4).
SVOLGIMENTO
Dalla funzione di densità deduciamo che X ha distribuzione normale con
media 1 e varianza pari a 4. Per calcolare le probabilità richieste
bisogna standardizzare X e poi utilizzare le tavole. Si ha che
X

1
5

1


P
(
X

5
)

P


P
(
Z

2
)

1

P
(
Z

2
)

1

0
,
977

0
,
22


2
2


Inoltre
Quindi
Perciò
P
(
X

|
4
|)

1

P
(|
X
|

4
)

1

P
(

4

X

4
)
P
(

4

X

4
)

P
(

2
,
5

Z

1
,
5
)

P
(
Z

1
,
5
)

P
(
Z


2
,
5
)

0
,
9332

(
1

P
(
Z

2
,
5
))

0
,
9332

1

0
,
993

0
,
92
P
(|
X
|

4
)

1

0
,
927

0
,
073
17
18
ESERCIZIO7: In un gioco si può vincere o perdere una somma aleatoria X
(vinco se X>0, perdo se X<0). Supponiamo che X sia una v.a. con
distribuzione normale standardizzata. Se gioco 5 volte e se gli esiti sono
tra loro indipendenti, con quale probabilità posso vincere almeno una
volta? E vincere esattamente due volte?
SVOLGIMENTO
X~N(0,1) quindi P(vincere)=P(X>0)=0,5; gioco 5 volte e le prove sono
indipendenti. Chiamo Yi il numero aleatorio pari a 1 se vinco l’i-esima giocata,
pari a 0 se perdo (i=1,2,3,4,5). Si ha che P(Yi=1)=P(vincita)=0,5, in altre
parole Yi è una bernoulliano da parametro θ=0,5. Gli sono Yi indipendenti.
Dunque il numero di vincite nelle 5 prove, che indichiamo con Y è dato da
5
Y  Yi
ed ha una distribuzione binomiale di parametri n=0,5 e
i1
θ=0,5.
Le probabilità cercate sono quindi
P(almeno una vincita)=P(Y≥1)=1-P(Y=0)=1-0,55=0,96875
e
5
5
P(esattamente due vincite)=P(Y=2)=  0,520,53=  0,55=0,3125
 2
 2
19