Esercizio 1 - statistica@unimib

Esercizio 1
Un’urna contiene 6 palline rosse e due nere. Vengono estratte a caso due palline senza reimmissione.
a) Costruire la variabile aleatoria X=’’numero di palline rosse estratte’’
b) Determinare la funzione di probabilità di X
c) Quante palline rosse vi aspettate di estrarre?
d) Calcolare la varianza di X
e) Determinare la funzione di ripartizione di X.
Soluzione
X=”numero di palline rosse estratte”
1)
Le estrazioni avvengono con reimmissione


r , n)(
r , r )(n, r ), (n, n)
a)   (


 1  2 3  4 
X 1   1 X  2   2 X  3   1 X  4   0
Il condominio di X è dato da RX  0,1,2
b) La funzione di probabilità di X è data da una funzione  :     definita da (x)  PX  x e
gode delle seguenti proprietà

 ( x)  0

 ( x)  0 tranne al più per un' infinità numerabile di valori (cioè tranne per x  R X )
   ( x)    ( x) 1
 x
xR X
21 2
 (0)  PX  0  P 4  

8 7 56
6 2 2 6 24
 (1)  PX  1  P1   P 3  


8 7 8 7 56
5 6 30
 (2)  PX  2  P 2  

7 8 56
Quindi
se x  0
2 / 56
24 / 56
se x  1

 (x)  
se x  2
30 / 56
0
altrove
 2
 24 
 30 
c) E ( X )   x ( x)  (0)   (1)   (2)   1,53
xR X
 56 
 56 
 56 
d)
Var (X )  E ( X 2 )  E ( X ) 2   x 2 ( x)  E( X ) 2 
xRX
 2
 24 
 30 
 (0) 2    (1) 2    (2) 2    2,57  (1,53) 2  0,2291
 56 
 56 
 56 
e) La funzione di ripartizione di X è data da
(t )    ( x)
x t
0
2

 56
(t )  
 26
 56
1

per t  0
per 0  t  1
per 1  t  2
per t  2
Esercizio 2
Si lanciano due dadi regolari a 4 facce e si considerano le variabili aleatorie X=”somma dei risultati “ ed
Y=”massimo tra i due risultati”
a) si determini la funzione di probabilità di X
b) si determini la funzione di probabilità di Y
c) si calcolino il valore atteso di X e il valore atteso di Y
d) si calcoli P{X<4}
e) Si dica se X e Y sono indipendenti.
f) Si determini la funzione di ripartizione di Y
Soluzione
  (i, j )i  1,..4; j  1,...4 card(  )=16 ;  è uno spazio di probabilità uniforme P{  i }=1/16 per
ogni i=1,…16
Per visualizzare tutti gli elementi di  si può utilizzare la seguente tabella:
1
2
3
4
1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4)
2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4)
3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4)
4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4)
a)
Determiniamo i valori assunti da X
A partire dalla tabella precedente:
1 2 3 4
1 2 3 4 5
2 3 4 5 6
3 4 5 6 7
4 5 6 7 8
RX  2,3,4,5,6,7,8
1 / 16 se x  2
2/16 se x  3

3/16 se x  4

4/16 se x  5
 (x)  
3/16 se x  6
2/16 se x  7

1/16 se x  8
0
altrove

b)
Determiniamo i valori assunti da Y. A partire dalla tabella iniziale:
1
2
3
4
1
1
2
3
4
2
2
2
3
4
3
3
3
3
4
4
4
4
4
4
RY  1,2,3,4
1 / 16
3/16

 ( y )  5/16
7/16

0
se y  1
se y  2
se y  3
se y  4
altrove
c)
80
5
xR X
16
50
E (Y )   y ( y) 
 3.125
yRY
16
d)
P{X<4}=3/16=0.1875
e)
P{X=2,Y=2}=P{(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)}=4/16
P{X=2}=1/16
P{Y=2}=3/16
4/16=P{Y=2}  P{X=2}P{Y=2}=3/16
f)
La funzione di ripartizione di Y è data da
 (t )    ( y )
E ( X )   x ( x) 
y t
0
1

16
 4
 (t )  
16
9
16

1
per t  1
per 1  t  2
per 2  t  3
per 3  t  4
per t  4
Esercizio 3
a) Determinare la costante c affinché la funzione
se x  -2
c
1
  c se x  0

 ( x)   2
c
se x  2
2
0
altrove

sia una funzione di probabilità
b) Sia X la variabile aleatoria con funzione di probabilità p(x) (determinata al punto a)). Determinare la
funzione di probabilità di Y= X 2
Soluzione
a)  :     è una funzione di probabilità se gode delle seguenti proprietà

 ( x)  0

 ( x)  0 tranne al più per un' infinità numerabile di valori (cioè tranne per x  R X )
   ( x)    ( x) 1
 x
xR X
Quindi deve essere
1
1
1
c   c  c 1  c 
2
2
5
b)
Y= X 2 . Determiniamo il condominio di Y : RY  0,4
 Y (4)  P {Y=4}=P{ X 2 =4}=P {X=-2}+P{X=2}=p(-2)+p(2)=1/5+1/10=3/10
Y (0)  P{Y=0}=P{ X 2 =0}=P{X=0}=7/10
se y  0
7 /10
 Y ( y)  
se y  4
3/10
Esercizio 4
Data la funzione di ripartizione della v.a. X
per t  1
0
0.2
per 1  t  2

(t )  
per 2  t  3
0.7
1
per t  3
determinare la funzione di probabilità di X
Soluzione
 (1)   (1)  0.2
 (2)   (2)   (1)  0.5
 (3)   (3)   (2)  0.3
 ( x)  0 per x  1,2,3
Esercizio 5
Sia X una variabile aleatoria con funzione di densità di probabilità definita da
1
1 x  3

 ( x)   ax
0
altrove
a) determinare la costante a
b) determinare la funzione di ripartizione di X
c) calcolare E(X), Var(X)
d) calcolare P{X>2}
e) Sia Y una variabile aleatoria indipendente da X con E(Y)=1 Var(Y)=1/3. Determinare
E(X-2Y), Var(X-2Y)
Soluzione
a) Una funzione  :    è una funzione di densità di probabilità se e solo se
  0 ,  integrabile su  e  (x)  1 . Dobbiamo quindi determinare a tale che
3
1
1
dx  1  ha ln x  1  a = ln 3

ax
a
1
3
1
t
1
1
1
1
ln t
b) (t )    ( x)dx  dx  ln x  (ln t  ln 1)  ln t 
a
a
a
ln 3

1 ax
1
Quindi
se t  1
0
 ln t

 (t )  
se 1  t  3
ln
3

se t  3
1
c)
t
t
2
1
2
 2  
3
3 1
 1

 1.82
E(X)= 
  x ( x)  1 x
ln 3x
ln 3 ln 3
 ln 3 
3
4
1 3 21
1 3
1
E ( X )   x  ( x)dx 
x2 =
1 x dx 
1 xdx 
ln 3
x
ln 3
2 ln 3 1 ln 3
2


2
2
Var(X)= E ( X 2 )  E ( X ) 2 
4  2 

  0.32
ln 3  ln 3 
3
1
ln x
ln 2
d) P{X>2}= 
=0.37
dx 
1
ln 3x
ln 3 2
ln 3
e)
E(X-2Y)=E(X)-2E(Y)=1.82-2=-0.18
Var(X-2Y)=Var(X)+4Var(Y)-4Cov(X,Y)
Poiché X e Y sono indipendenti si ha
4ln 3  1 4
Var(X-2Y)=Var(X)+4Var(Y)=
  1.65
ln 32 3
3
2