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Metodi Statistici per l’Ingegneria - A.A. 2010/11 appello scritto del 5/7/11
Traccia di soluzione degli esercizi
Esercizio 1
Lo spazio campionario dell’esperimento descritto é per hp equiprobabile, quindi le probabilità degli eventi A, B e C si
calcolano come il rapporto fra il numero di eventi elementari che li compongono e la cardinalità di . Quindi P(A)=1/3,
P(B)=5/12, P(C)=3/4 .
Per def n eventi in un insieme S sono indipendenti se e solo se la probabilità dell’intersezione e’ uguale al prodotto delle
probabilità dei singoli eventi, per ogni sottoinsieme di S (o in forma equivalente, la probabilità di un evento coincide con
la sua probabilità condizionata dal secondo evento). Quindi per |S|=2, essendo P(AB)=1/12, P(AC)=1/3,
P(CB)=1/3, si constata che nessuna coppia di eventi e’ indipendente, ne’ quindi lo sono tutti e tre.
Esercizio 2
Si verifica un errore se il messaggio e’ 1 ma 2+N e’ < 0.5, o se il messaggio e’ 0 ma N-2 > 0.5. La probabilità di errore
e’ quindi P(N<-1.5)~ 0.067 nel primo caso e P(N>2.5)~0.006 nel secondo.
Essendo i due eventi disgiunti, la probabilità di errore e’ ~0.073.
Esercizio 3
Calcoliamo la distribuzione di U=min{X,Y} .
P(U ≤ t) = P(X≤ t  Y≤ t) = 1 – P(X>t  Y>t) che possiamo calcolare poiche’ la densità congiunta di X e Y e’ il
prodotto delle marginali. Nello specifico, P(X>t  Y>t) =


 f
t
t
XY
( x, y )xy =


t

e x x  e y y
t
da cui
segue P(U ≤ t)= 1- e-2t quindi un’esponenziale di parametro 2.
Con un ragionamento simile abbiamo che P(V ≤ t) = P(X≤ t  Y≤ t) = (1- e-t)2. Quindi V ha densità nulla per t<0 e
pari a 2e-t - 2e-2t altrimenti.
Per il punto b), osserviamo che X+Y = U+V, quindi VAR[X+Y] = VAR[U+V] da cui, per l’indipendenza, segue che
VAR[X] + VAR[Y] = VAR[U] +VAR[V] - 2COV[U,V] che permette di calcolare COV[U,V] = ½ (VAR[X] +
VAR[Y] - VAR[U] - VAR[V]) dove l’unico termine da calcolare e’ VAR[V] che possiamo ottenere calcolando E[V] e
E[V2] data la densità di V sopra determinata.
Esercizio 4
Per il quesito a) basta integrare la densità nell’intervallo indicato.
Per il quesito b) si pone l’integrale nel suddetto intervallo pari a 0.99, e si risolve in .
Esercizio 5
Il peso del campione di 900 candele S900 e’ una VA data dalla somma delle 900 VA Xi.
Per il teorema del limite centrale, S900/900 e’ distribuita come una normale di parametri  e 2/900.
Quindi facendo gli opportuni calcoli P(S900< 53800) ~0.048.