ALCUNE VARIABILI ALEATORIE CONTINUE

ALCUNE VARIABILI ALEATORIE
CONTINUE
●
Uniforme
●
Esponenziale
●
Normale
Distribuzioni derivate da quella normale
●
Chi quadro
●
t – Student
●
F – Fisher
1
Distribuzione Uniforme: U(a,b)
Densità di probabilità:
f U  x =
1
, a≤x≤b
b−a
0,
altrimenti
Valore atteso:
E[X] = (a + b) / 2
Varianza:
Var[X] = f(a,b)
2
Distribuzione Uniforme:
funzione di distribuzione cumulata
3
Distribuzione Esponenziale: Exp(λ)
Densità di probabilità:
f E  x=
 e− x ,
x0
0,
altrimenti
Valore atteso:
E[X] = 1 / λ
Varianza:
Var[X] = 1 / λ2
Legata al processo di Poisson a
tempo continuo:
tempo di primo arrivo nel
processo di Poisson P(λ)
4
Distribuzione Esponenziale:
funzione di distribuzione cumulata
5
Distribuzione Normale: N(μ,σ2)
Densità di probabilità:
Valore atteso:
E[X] = μ
1
f N  x =
e
 2 
− x−
2
2
2
Varianza:
Var[X] = σ2
Distribuzione Normale Standard: N(0,1)
E[X] = μ = 0, Var[X] = σ2 = 1
6
Distribuzione Normale: funzione densità
7
Distribuzione Normale:
funzione di distribuzione cumulata
8
Approssimazione della distribuzione binomiale
con la distr. normale
Distribuzione Binomiale(n,p), con n molto grande, p molto
piccolo ~
Poisson(np)
Ma se p non è piccolo (~ 0.5), e n è grande, posso usare
l'approssimazione normale
In questi casi:
Bin(n,p) ~ N (np, np(1-p))
Infatti, per p ~ 0.5, la densità della distribuzione binomiale assume
una forma simmetrica.
9
10
Distribuzione Chi Quadro: χ2(n)
n
X =∑i =1 Z i
2
con Zi~N(0,1) indipendenti
fattore di normalizzazione
Densità di probabilità:
Valore atteso:
E[X] = n
f   x=
c n xn / 2−1 e−x/ 2 ,
x0
0,
altrimenti
Varianza:
Var[X] = 2n
11
Distribuzione Chi Quadro: funzione densità
12
Per n grande, χ2(n) ~ N(n,2n)
13
Distribuzione t Student: T ~ t(n)
Z
T=
Y / n
con Z~N(0,1) e Y~χ2(n)
indipendenti
Densità di probabilità:
2 −n1
2
t
f T  x =cn 1 
n
,
x∈R
Valore atteso:
E[T] = 0, n > 1
non esiste, n = 1
Varianza:
Var[T] = n / (n-2)
14
Per n grande, t(n) ~ N(0,1)
n = 30
15
Per n grande, t(n) ~ N(0,1)
n = 100
16
Distribuzione F Fisher: X ~ F(m,n)
U/m
T=
V /n
con U~χ2(m) e V~χ2(n)
indipendenti
Densità di probabilità:
n
n n2 2 −1
n x −nm
f X  x =c n ,m   x 1
 2 ,
m
m
Valore atteso:
E[X] = f(n,m)
per n>2
x0
Varianza:
Var[X] = f(n,m)
per n>4
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X ~ F(m,2)
18
X ~ F(2,n)
19
X ~ F(3,n)
20
X ~ F(m,n), con n = m
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