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Se due eventi sono incompatibili E 1∩E 2=∅ allora
p E 1∪E 2 = p E 1  p E 2  altrimenti
p E 1∪E 2 = p E 1  p E 2 − p E 1∩E 2 
Probabilità composta
Due eventi sono indipendenti se P  E 1∩E 2 =P  E 1 ⋅P  E 2  .
In tal caso P  E 2 / E 1 =P  E 2 / E 1 
Probabilità condizionata
Dato uno spazio di probabilità, sia
F ∈F un evento tale che P  F 0 Dato un qualsiasi evento
P  E∩F 
E ∈F si chiama probabilità condizionata di E dato F il numero P  E∣F :=
e la si
PF 
interpreta come la probabilità che si verifichi E sapendo che si è verificato F.
Formula delle probabilità totali
n
Siano
F 1, F 2,  , F n ∈F tali che
evento E ∈F si ha:
∑ F k = e F h∩F k =∅ se h≠k e P  F k 0
allora per ogni
k =1
n
P  E =∑ P  E∣F k  P  F k 
k =1
Formula di Bayes
(Sotto le stesse ipotesi della formula delle probabilità totali, e in più P  E 0 )
Se un evento E può essere originato dalla causa H1 o dalla causa H2 tra loro incompatibili, la
probabilità che sia stato generato da H1 è
p  H 1 ⋅p  E∣H 1 
p  H 1∣E =
=
p  H 1 ⋅p  E∣H 1  p  H 2  p  E∣H 2 
probabilità che agisca H 1 e che in dipendenza di ciò si verifichi E
=
probabilità che si verifichi E non importa per quale causa
Variabili aleatorie
Densità
Sia X una variabile aleatoria. La funzione
Funzione di ripartizione
F X  x= ∑ p X  x k 
p X :=P  X = x si chiama si chiama densità discreta.
∀ x∈ℝ
k : x k ≤x
Tramite la funzione di ripartizione si può definire la densità come
Valore atteso (o media)
E  X :=∑ x k p X  x k 
k ∈I
Esiste solo se è finito, in particolare se
∑ ∣x k∣ p X  x k ∞
k ∈I
Proprietà del valore atteso
Il valore atteso è lineare.
1. Se P(X=c) = 1 allora E(X)=c
2. E  X = E  X 
3. E  g  X h X =E  g  X E h X 
p X  x k =F X  x k −F X  x k −1
Varianza
Presuppone l'esistenza della media.
È la media degli spostamenti dalla media elevati al quadrato, indica quindi quanto tende ad
allontanarsi una variabile aleatoria dalla propria media.
Var  X :=E  X −E  X 2 
La radice quadrata della varianza,  Var  X  , si chiama deviazione standard.
Proprietà della varianza
La varianza è quadratica.
1. Var  X = 2 Var  X 
2. Var  X =Var  X 
3. Var  X = E  X 2 − E  X 2
Disuguaglianza di Chebychev
Se X è una variabile aleatoria che ammette media e varianza, per ogni ε>0:
Var  X 
P ∣X −E  X ∣≤
2
Vettori aleatori
Vettori aleatori discreti
Un vettore aleatorio si dice discreto se tutte le sue componenti sono variabili aleatorie discrete
Densità
La funzione
p X  x :=P  X 1= x 1,  , X n =x n 
con x= x 1,  , x n 
Vettori aleatori assolutamente continui
Il vettore aleatorio X n-dimensionale definito su di uno spazio di probabilità è un vettore aleatorio
assolutamente continuo se esiste una funzione f X : ℝ n  ℝ + integrabile tale che la funzione di
ripartizione FX di X per ogni x=(x1, ..., xn) si può scrivere come
Varianza
Var [ X Y ]=Var [ X ]Var [Y ]2 Cov [ X ,Y ]
Covarianza
Se la varianza di X1 e X2 è finita: Cov  X 1, X 2 =E [ X 1−E  X 1  X 2−E  X 2 ]
Coefficiente di correlazione
Se Var  X 1  ,Var  X 2 0 si definisce coefficiente di correlazione
Cov  X 1, X 2 
 X1 , X2 =
 Var  X 1 Var  X 2 
Media campionaria
X 1 X n
= X n
n
Legge debole dei grandi numeri
X1, X2, ..., i.i.d
∃=E  X i ∞
∀ 0 lim P [∣X n −∣≤]=1
n ∞
∃ 2=Var  X i ∞
Legge dei grandi numeri
X1, X2, ..., i.i.d
P lim X n = =1
[
∃=E  X i 
]
n ∞
Teorema centrale del limite (o teorema del limite centrale)
Date n variabili aleatorie X1, ..., Xn con media  e varianza  2 finite
∀ x∈ℝ
∞
 n X n−
lim P
≤ x = x

n


Cioè, pur di prendere un numero elevato di variabili, la funzione di ripartizione
approssimabile con quella gaussiana standard.
Metodi pratici
Calcolo della probabilità nota la densità
b
P a X B=∫ f X  x dx
a
Calcolo della Funzione Di Ripartizione nota la densità
{
f 1  X  a x≤b
f 2  x b x≤c
Se f X  x= f 3  x cx≤d

0
altrove
{
0
x≤a
∫ f 1  x
a x≤b
x
a
b
x
a
b
∫ f 1  x∫ f 2  x
Allora F X  x=
b
∫
a
c
x
b
c
b x≤c
f 1  x∫ f 2  x∫ f 3  x c x≤d

Scelta Binomiale/Poisson
Si sceglie una distribuzione di poisson Poi(λ) se λ=np t.c. n grande e p piccolo.
Altrimenti è preferibile la binomiale Bi(n, p).
Correzione di continuità
Per il calcolo della probabilità di una binomiale approssimata con una gaussiana
S −E S  x0,5−E S 
P  S ≤ x=P S ≤x0,5=P
≤
 Var  S 
 Var S 
Oppure, più direttamente e in modo più completo


 n X n−

è
P k ≤S ≤r ≈

 
r0,5−E S 
k −0,5−E S 
−
 Var S 
 Var  S 

Uso della distribuzione esponenziale
X ~exp
P  X x=e− x
⇒
Se =2 , allora P  X 40=e−2⋅40 =e−80
Covarianza
Cov  X 1, X 2 =E  X 1 X 2 −E  X 1  E  X 2 
Cov=0 è una condizione necessaria (ma non sufficiente) per l'indipendenza di due variabili
aleatorie.
Densità marginali (discreto)
Tabella delle densità
Densità marginali (continuo)
Data la densità congiunta f X , Y  x , y , le densità marginali
f X  x e f Y  y sono:
b
f X  x=∫ f
X ,Y
dy Con a e b estremi di definizione su y
f Y  y=∫ f
X ,Y
dx Con a e b estremi di definizione su y
a
d
c
Calcolo della media nota la densità (continuo)
b
E  X =∫ x f X  x dx
con a e b estremi di definizione di x
a
Se, data una densità congiunta fX,Y, X è una funzione di variabili, lo sarà allo stesso modo anche x.
Es:
1
1
E
=∬
f
 x dx dy
con gli estremi di definizione di x e y per i due integrali
X Y
x y X , Y
ℝ


2