Statistica Matematica

STATISTICA II - STATISTICA MATEMATICA
SOLUZIONI DELLA PROVA SCRITTA DEL 20/11/2006
Esercizio 1
Applicando la definizione classica di probabilità al lancio di due dadi regolari, si ottiene che
(1.1) la probabilità che esca almeno un 5 è pari a 11/36 = 0.31;
(1.2) la probabilità che la somma dei punteggi dei due dadi sia pari a 5 è 4/36 = 0.11;
(1.3) i due eventi probabilizzati nei punti (1.1) e (1.2) non sono indipendenti (sono incompatibili).
Esercizio 2
Sia X la v.c. che rappresenta il numero di pagine prive di errori in un campione bernoulliano di 500
pagine e si supponga che la probabilità che una pagina non contenga errori sia pari a 0.99.
(2.1) X ha distribuzione Binomiale con parametri 500 e 0.99.
(2.2) Y = 500 – X ha distribuzione Binomiale con parametri 500 e 0.01.
(2.3) Y  N(5,4.95) e P(Y3)  (-0.9) = 0.1841; o meglio ancora, impiegando la distribuzione di
Poisson, P(Y3)  0.265.
Esercizio 3
Sia X una v.c. di Poisson con parametro .
n
(3.1)
La funzione di verosimiglianza
 xi
L( ; x1 ,..., x n )  e  n  i 1
n
x !
i
è massima in
i 1
(3.2)
(3.3)
corrispondenza della media campionaria. Lo stimatore di massima verosimiglianza per 
risulta T = X/2 e la stima corrispondente è pari a t = 80.
L’informazione di Fisher si può ottenere da nI() = Var[d(logL)/d] = n/.
Lo stimatore T è corretto ed efficiente per  dato che E(T) =  e la relativa varianza
Var(T) = Var(X) / (4n) =  / (4n) risulta pari al rapporto tra ’()2 = 1/4 e nI().
X n 
Una quantità pivotale asintotica per  è data da
che ha distribuzione limite
Xn n
xn
160
 160  2.58
n
40
confidenza approssimato con livello 1 = 0.99: ]154.84, 165.16[.
Normale standard. Dalla formula xn  z1 / 2
deriva l’intervallo di
Esercizio 4
Siano X1,…,Xn v.c. indipendenti con distribuzione N(,2).
X 
 Tn 1 rappresenta una quantità pivotale per  e produce l’intervallo di confidenza
(4.1)
S2 /n
al livello 1 = 0.9
(4.2)
(4.3)
IC1- () =
x  t
n 1;1 / 2
s 2 / n , x  t n1;1 / 2 s 2 / n

= 34 
2.015(42/6) = 34  5.33 = (28.67,39.33).
Poiché 35  IC1- (), si accetta l’ipotesi H0 :  = 35 al livello di significatività  = 0.1 e
si accetta la medesima ipotesi al livello  = 0.03 inferiore al precedente.
Posto 2 = 36, il test più potente al livello =0.025 è costituito dal test di Neyman-Pearson,
che accetta H0 :  = 35 contro H1 :  = 40, in quanto la media campionaria pari a 34 non
supera il livello critico c = 0 + z1-(2/n) = 35 + 1.966 = 39.8.
 = P(Xi /n < c |  = 40) = P(Z<-0.08) = (-0.08) = 0.4681.