7) GLI STIMATORI
Def : una statistica è una qualunque funzione
T = f ( X1,…,Xn ) della v.c. ( X1,…,Xn )
descritta dalla n-upla campionaria ( x1,…,xn )
Def : uno stimatore è una statistica Tn le cui
determinazioni servono a fornire delle stime del
parametro ignoto della v.c. X in cui sono state
effettuate le n prove.
Es.: Sia E un evento di probabilità sconosciuta
. Per stimare questa prob. vengono effettuate
n=2 prove bernoulliane che forniscono i valori
x1 e x2.
Allora la v.c. (X1 + X2) è una statistica, mentre
la v.c. :
1
X 2 ( X1 X 2 )
2
è uno stimatore in quanto si pensa che le sue
determinazioni diano stime di
7.1) Stimatore per la
media
In generale, se X è una v.c. con legge ignota,
viene assunto come stimatore per la media
=E(X) della X, la v.c.:
1 n
Xn Xi ,
n i 1
dove (X1,…,Xn) è la v.c. descritta dalla
n-upla (x1,…,xn).
7.2) Stimatore per la
varianza
Si assume in generale come stimatore per la
varianza 2 = VAR(X) la v.c.:
n
1
S n2 ( X i X n )2 ,
n i 1
7.3) Proprietà
Vediamo ora quali sono le proprietà che un
generico stimatore Tn = f ( X1,…,Xn ) per un
parametro incognito della v.c. X deve
possedere perché le sue stime siano affidabili.
1) CORRETTEZZA
Si dice che lo stimatore Tn = f ( X1,…,Xn )
è “corretto” o “non distorto” per il
parametro se la media di Tn coincide con
qualunque sia il suo valore compreso
nello spazio parametrico .
Cioè: E( Tn ) =
.
La stima fornita da uno stimatore corretto può
dirsi “corretta in media”.
Se non vale la relazione vista sopra allora lo
stimatore è detto “distorto”, e la sua
distorsione rispetto a viene misurata dalla
quantità:
n [ E( Tn ) ].
Se però al crescere di n il valore di n
tende a 0, allora Tn viene detto stimatore
“asintoticamente corretto”
Dimostriamo che lo stimatore proposto per
la media è “corretto”:
1 n
Xn Xi ,
n i 1
1 n
1 n
E( X n ) E X i E( X i )
n i 1 n i 1
Poiché le marginali X1,…,Xn di ( X1,…,Xn )
sono identiche alla v.c. X, risulta:
1 n
1 n
E( X n ) E( X i )
n i 1
n i 1
Per cui lo stimatore
media
Xn
è corretto per la
Si può dimostrare invece che lo stimatore
proposto per la varianza non è “corretto”.
Lo stimatore corretto è il seguente:
n
1
2
S n2
(
X
X
)
,
i
n
n 1 i 1
Siccome si può sempre scrivere:
n
n
1
n 2
2
2
Sn
( Xi Xn )
S ,
n 1 n i 1
n 1
segue che:
E
2
Sn
n
2
E Sn
n 1
2
quindi lo stimatore Sn2 è asintoticamente
corretto per 2 in quanto:
per n
E Sn2 2
2) CONSISTENZA
Questa proprietà indica la capacità di Tn di
fornire stime migliori per al crescere della
numerosità campionaria.
Uno stimatore si dice “consistente” per se:
lim PTn 1
n
Se lo stimatore è corretto o asintoticamente
corretto, un modo per verificarne la consistenza
è quello di osservare il valore 2n:
n2
E Tn
2
Se per n si verifica che 2n 0 allora
lo stimatore Tn è detto “consistente”
3) EFFICIENZA
Questa proprietà viene introdotta per poter
scegliere tra più stimatori corretti e
consistenti
Esistono diversi criteri per effettuare la
scelta; il più usato è quelle che si basa sul
criterio della varianza: fra più stimatori
corretti e consistenti per viene preferito
quello con la varianza minore (cioè il “più
efficiente”).
Se la v.c. è normale (cioè una v.c.
simmetrica) (=> media mediana x0.5)
si hanno a disposizione due stimatori
idonei: lo stimatore Media campionaria e
lo stimatore Mediana campionaria X0.5.
Per tali stimatori si ha:
Var( X n )
2
Var( X 0.5 )
n
2
2 n
1.57
2
n
Ora: qual è il “minimo” valore che può
assumere la varianza di uno stimatore?
Posto che la v.c. di partenza soddisfi ad
opportune condizioni, il minimo soddisfa alla
disuguaglianza di Fréchet-Rao-Cramér:
1
Var( Tn )
nI ( )
dove I() è chiamata “informazione di Fisher”
ed ha la seguente struttura:
d
I ( ) E log ( X ;
d
)
2
cioè è la media del quadrato della derivata
rispetto a del logaritmo della legge che
governa la v.c. di cui è il parametro ignoto. È
immediato osservare che tale minimo dipende
esclusivamente dalla legge della v.c. in cui sono
state effettuate le prove e dalla numerosità
campionaria n ma non dalla natura dello
stimatore.
