PROBABILITA’
Molti degli avvenimenti della vita
d'ogni giorno dipendono da fattori
non prevedibili. Frasi come può
darsi che domani piova - è
difficile che sia estratto il biglietto
della lotteria che ho acquistato
ieri - è probabile che di
domenica ci sia molta folla al
cinema, sono frasi ricorrenti
nelle conversazioni di tutti, che
esprimono l'incertezza di fronte a
fatti su cui possiamo influire solo
parzialmente, dipendendo gli
stessi in buona parte dal caso.
La maggior parte dei fenomeni, può manifestarsi in vari
modi, ma è quasi sempre impossibile stabilire a
priori quale di essi si presenterà ciascuna volta. Pensiamo
al papà in attesa davanti alla sala parto, prima che
l'ecografia permettesse di conoscere in anticipo il sesso
del nascituro o allo scommettitore che ascolta alla radio i
risultati delle partite. In alcuni casi i vari eventi si
presentano tutti con la stessa probabilità, nel senso
intuitivo del termine. Pensiamo al lancio di una moneta, in
cui non vi sono elementi per dare all'esito "testa" una
maggiore o minore probabilità rispetto all'esito "croce".
Altre volte, valutati i pro ed i contro, crediamo di poter
assegnare a qualcuno di essi un grado di fiducia
maggiore, come fa un pescatore prima di decidere dove
lanciare la lenza.
Ci sono vari tipi di probabilità
Abbiamo detto che un evento è casuale quando non è controllabile o
programmabile.
Ci sono però diversi tipi di probabilità; aiutiamoci con alcuni esempi:
•Probabilità statistica
Qual è la probabilità che un lavoratore abbia un infortunio sul lavoro?
Difficile rispondere. Certamente dipende dal lavoro che fa. Questo tipo
di probabilità, che chiameremo probabilità statistica, si misura sulla
base di osservazioni statistiche cioè sulla frequenza con cui si registrano
determinati fenomeni
•Probabilità soggettiva
C’è la finale di Champions League fra Il Real Madrid e il Manchester; chi
vincerà la famosa Coppa dei Campioni?
Il risultato della partita dipende da numerosissimi fattori: le formazioni
delle squadre, la condizione atletica, il modulo di gioco, lo stato del
terreno, l’arbitraggio, le espulsioni, i falli da rigore ecc.
Anche qui la risposta è difficile. Una previsione del risultato finale
dipende più da “percezioni” che da fattori oggettivi. Questa probabilità è
di tipo soggettivo, dipende cioè “da come noi consideriamo la forza
delle squadre”
•Probabilità matematica (concetto classico di
probabilità)
Se lancio un dado che probabilità ci sono che esca il
numero 6 ?
Questo è un evento casuale che non dipende dalla
statistica (ogni lancio è diverso dagli altri e non ci
sono modi specifici di lanciare per avere il 6) e inoltre
non è soggettivo.
La probabilità di questo evento si può misurare in
modo oggettivo. È la probabilità matematica nel
senso classico.
•Un evento può essere:
• certo se si verifica sempre
• impossibile se non si verifica mai
• aleatorio se non si è certi che si verifichi
I matematici, dunque, studiando gli avvenimenti il cui verificarsi è legato al caso,
hanno creato un ramo della matematica, il calcolo delle probabilità, che, pur non
riuscendo a far prevedere con certezza ciò che avverrà, riduce il livello di incertezza
portandolo in certi casi a limiti molto bassi
Calcolare le probabilità non significa "prevedere il futuro", ma trovare come
distribuire un maggiore o minore grado di fiducia tra i vari possibili modi in
cui si potrà presentare un certo fenomeno aleatorio.
CONCETTO DI PROBABILITÀ
Un fenomeno casuale, o aleatorio, è un fenomeno osservabile,
ma non prevedibile.
La probabilità di un evento aleatorio è il rapporto tra il numero di casi
favorevoli ad esso e quello di tutti i casi possibili, purché essi abbiano la
stessa probabilità di verificarsi.
p
n dei risultati favorevoli al realizzars i di eventi
n dei risultati possibili
Come si può esprimere la probabilità:
numero, rapporto, percentuale
La probabilità di un evento si può esprimere:
a) come frazione, ad esempio 3/4
b) come numero decimale, ad esempio 3/4 = 3 :
4 = 0,75
c) come percentuale, ad esempio 0,75 = 75%
Nota. Per trasformare un rapporto in una
percentuale si divide il numeratore per il
denominatore e si moltiplica il risultato per 100.
Bisogna sottolineare che la probabilità è una “quantificazione”
delle possibilità che un evento avvenga.
La probabilità di un evento A, detta P(A),
rappresenta una misura di quanto ci si aspetta che
si verifichi l’evento A.
Tutti i vari eventi, a meno di trucchi, hanno la stessa probabilità di
verificarsi. Indicando con p la probabilità si ha pertanto:
•L'uscita di testa nel lancio di una moneta rappresenta uno dei due
possibili esiti con p = 1/2,
•L'uscita di una certa faccia nel lancio di un dado ha un caso
favorevole sui sei possibili e quindi p = 1/6,
•L'estrazione dell'asso di picche da un mazzo di carte da poker ha
un caso favorevole su 32, con p = 1/32,
•L'uscita del rosso alla roulette ha 18 su 37 probabilità di verificarsi,
e quindi p = 18/37.
Tiro il dado quali sono le
possibilità che esca un
numero?
EVENTI
POSSIBILI
1,2,3,4,5,6
1
p
6
La misura della probabilità di un evento può variare da un minimo
di 0 (nessun caso favorevole) come ad esempio l'uscita del 91 al
Lotto (0 su 90), fino ad un massimo di 1 (tutti i casi favorevoli),
come ad esempio pescare una pesciolino rosso da una vasca che
contiene solo pesci rossi (n su n). Diremo, nel primo caso, che
l'evento è impossibile e nel secondo caso che l'evento è certo.
In tutti gli altri casi, gli eventi, che chiameremo aleatori hanno una
probabilità 0 < p < 1, tanto più vicina a zero quanto più è difficile
che l'evento accada e tanto più vicina ad 1, quanto più è facile che
accada.
0
evento impossibile
1
evento certo
oCalcola la probabilità che abbiamo di ottenere testa nel
lancio di una moneta.
•Calcola la probabilità che nella partita MilanRoma il Milan vinca
Un sacchetto contiene sette confetti di cui tre sono al
cioccolato e quatto alle mandorle. Quale probabilità
abbiamo di estrarre al primo tentativo, un confetto al
cioccolato? Se il confetto estratto è proprio al cioccolato
e lo mangiamo, quale probabilità abbiamo di estrarre
successivamente ancora un confetto al cioccolato?
Problema Evento
possibile
Evento
favorevole
T; C
T
1
2
vince
1
2
vince, pede, pareggia
C , C C M M
1
2, 3
1
2
Probabilità
C , C
1
2 ,C3
3
5
LA COMBINAZIONE DEGLI EVENTI
Di due esperimenti aleatori può capitare di dover valutare la probabilità
che si verifichino insieme o in alternativa.
Eventi compatibili o incompatibili
Due eventi si dicono compatibili quando il verificarsi
dell'uno non esclude il verificarsi anche dell'altro. Ad
esempio l'evento "rosso" è compatibile con l'evento "pari"
alla roulette, poiché fra i numeri rossi ce ne sono di pari e
di dispari e quindi rosso e pari è un evento possibile.
Sono incompatibili invece gli eventi in cui il verificarsi di uno
dei due esclude il verificarsi dell'altro, come ad esempio nel
lancio di due dadi considerare l'evento "escono due facce uguali"
e l'evento "la somma è dispari". Gli eventi incompatibili non
vanno confusi con quelli opposti. In questo caso deve verificarsi
necessariamente l'uno o l'altro dei due eventi, mentre per gli
eventi incompatibili può darsi che non si verifichi né l'uno né
l'altro.
Operazioni con gli Eventi
A
B
Da un mazzo carte da
poker cerco la probabilità
che esca una carta di
fiori o una carta di cuori
GLI EVENTI
SONO
INCOMPATIBILI
La probabilità dell’evento unione di due eventi incompatibili è la somma
delle probabilità dei singoli eventi.
Siano A e B due eventi distinti, tra di loro incompatibili (il verificarsi
dell'uno esclude il verificarsi dell'altro); la probabilità che si verifichi
l'evento A oppure l'evento B è data da P(A oppure B) = P(A) + P(B).
p( A)
12 1
48 4
p( B)
12 1
48 4
1 1 2 1
4 4 4 2
Ad esempio, prima di lanciare un dado vogliamo calcolare quali siano le
probabilità che esca un 4 oppure un 5.
I due eventi incompatibili A e B sono "esce 4" ed "esce 5".
Si ha P(4)=1/6 e P(5)=1/6; dunque: P(4 oppure 5)=(1/6)+(1/6)=2/6=1/3.
Calcoliamo la probabilità che, lanciando un dado venga un numero pari,
cioè la probabilità che esca 2 oppure 4 oppure 6. Sono eventi che non
possono capitare insieme: succede o l’uno o l’altro, perché tirando un dado
viene fuori una sola faccia. Quando abbiamo a che fare con eventi di
questo tipo, e cioè eventi incompatibili, dobbiamo sommare la probabilità
dei singoli eventi. Quindi, dato che ogni numero pari ha 1/6 di probabilità
ed i numeri pari sono 3, la probabilità che esca un numero pari è 3/6 = 1/2
= 50%.
Operazioni con gli Eventi
A
B
Da un mazzo carte da poker cerco la
probabilità che esca un asso o una
carta di cuori
GLI EVENTI
SONO
COMPATIBILI
Se i due eventi sono compatibili, la probabilità dell'evento (A or B) è
uguale alla somma delle probabilità di A e di B meno la probabilità che
si verifichino entrambi.
p(A or B) = p(A) + p(B)- p(A et B) (con A, B
compatibili)
Un’urna contiene venti palline numerate da 1 a 20. Calcola la
probabilità dell’evento C = “La pallina estratta ha un numero
multiplo di 2 oppure ha un numero multiplo di 5”.
Gli eventi "multiplo di 2" e "multiplo di 5" sono compatibili, infatti
10 e 20 sono multipli sia di 2 sia di 5.
p(multiplo di 2) = 10/20
p(multiplo di 5) = 4/20
p(multiplo di 2 e di 5) = 2/20
p(multiplo di 2 e di 5) = 10/20 + 4/20 - 2/20 = 12/20 = 3/5
Eventi dipendenti ed indipendenti.
Immaginiamo due eventi:
A: "Il primo estratto sulla ruota di Genova è il 65."
B: "A L'Aquila la temperatura notturna è scesa sotto lo
zero."
E' del tutto evidente che la temperatura notturna a
L'Aquila è assolutamente indipendente dal numero
estratto sulla ruota di Genova e viceversa. I due
eventi sono quindi indipendenti fra loro. Non sempre
le cose sono così chiare. Sono molti i fenomeni privi di
collegamenti logici, che si rivelano connessi in qualche
misura. Ne sono esempio molte statistiche mediche
che mettono in relazione alcuni tipi di alimenti con il
rischio d'infarto o il fumo di sigarette con il rischio di
tumore ai polmoni. Le compagnie di assicurazione
hanno evidentemente stabilito un nesso tra la
residenza dell'automobilista e il rischio di provocare
incidenti, se hanno fissato premi più costosi per i
cittadini di alcune zone rispetto a quelli di altre.
Probabilità composta di eventi
indipendenti/dipendenti
Due eventi casuali A e B sono indipendenti se la probabilità
del verificarsi dell'evento A non dipende dal fatto che l'evento
B si sia verificato o no, e viceversa , la probabilità
dell’evento (A et B) è uguale al prodotto delle
probabilità di A e B:
p(A et B) = p(A) · p(B) (con A, B indipendenti)
Esempio 1. Abbiamo due mazzi di carte da 40. Estraendo
una carta da ciascun mazzo, consideriamo i due eventi
indipendenti:
E1 = "La carta estratta dal primo mazzo è un asso"
E2 = "La carta estratta dal secondo mazzo è una carta di
fiori"
Qual è la probabilità che si verifichino entrambi?
p(E1) = 4/40
p(E1) = 10/40
p(E1 et E2) = 4/40 · 10/40 = 40/400 = 1/10
Un evento casuale A è dipendente da un altro evento B se la
probabilità dell'evento A dipende dal fatto che l'evento B si sia
verificato o meno.
Esempio 1. Abbiamo un mazzo di carte da 40. Estraendo due
carte in successione, senza rimettere la prima carta estratta nel
mazzo, i due eventi:
E1 = "La prima carta estratta è un asso"
E2 = "La seconda carta estratta è un asso"
sono dipendenti. Per la precisione la probabilità di E2 dipende dal
verificarsi o meno di E1.
Infatti:
a) la probabilità di E1 è 4/40
b) la probabilità di E2, se la prima carta era un asso, è 3/39
c) la probabilità di E2, se la prima carta non era un asso, è 4/39
Se i due eventi sono dipendenti, cioè il verificarsi dell’uno influisce
sulla probabilità dell’altro, si può applicare la stessa regola, purché
con p(B) si intenda la probabilità di B nell’ipotesi che A si sia
verificato.
p(A et B) = p(A) · p(B|A) (con A, B dipendenti)
Esempio 1. Un'urna contiene 2 palline bianche e 3 palline rosse. Si
estraggono due palline dall'urna in due estrazioni successive senza
reintrodurre la prima pallina estratta nell'urna.
Calcolare la probabilità che le due palline estratte siano entrambe
bianche.
La probabilità che la prima pallina sia bianca è 2/5.
La probabilità che la seconda pallina sia bianca, a condizione che la
prima pallina sia bianca, è 1/4.
La probabilità di avere due palline bianche è:
p(due bianche) = 2/5 · 1/4 = 2/20 = 1/10
Operazioni con gli Eventi
Da un sacchetto di 6 palline;
quattro sono bianche e due sono
nere. Calcola la probabilità che
alla prima estrazione e anche alla
seconda esca una pallina bianca.
(estrazione con rimessa)
La probabilità
di ogni
estrazione è:
4
6
2
6
prima estrazione
4
6
2
6
E1 bianca
4
6
2
6
Seconda estrazione
con rimessa
E2 bianca
E E1 E2 p( E1 ) p( E2 )
4 4 4
p( E )
6 6 9
Operazioni con gli Eventi
Da un sacchetto di 6 palline;
quattro sono bianche e due sono
nere. Calcola la probabilità che
alla prima estrazione e anche alla
seconda esca una pallina bianca.
(estrazione senza rimessa)
La probabilità
di ogni
estrazione è:
4
6
2
6
prima estrazione
3
5
E1 bianca
2
5
4
5
1
5
Seconda estrazione
senza rimessa
E2 bianca
E E1 E2 p(E1 ) p( E2 \ E1 )
E2 condiziona to da E1
4 3 2
p( E )
6 5 5
Si lancino contemporaneamente due
monete. Qual è la probabilità che esca
testa su entrambe?
Occorre un grafo ad albero. Troviamo i
quattro casi possibili:
{TT, TC, CT, CC}. L'evento TT è uno dei
quattro, quindi p=1/4.
I grafi ad albero sono molto utili nello studio della probabilità.
In esso ogni nodo ha lo stesso numero di rami e ciascun
ramo ha lo stesso "peso" (inteso in questo caso come
probabilità) degli altri.
Ovviamente il calcolo delle probabilità va al di là dei pochi
concetti che sono stati illustrati e sarebbe errato pensare
che esso riguarda lo studio dei soli giochi.
Applicazione della
Probabilità alla Genetica
30
Ogni carattere ereditario è determinato da una coppia di geni
trasmessi da ciascun genitore.
Nei casi più comuni ciascun gene può presentarsi in due forme
diverse che si indicano con una stessa lettera maiuscola e
minuscola, ad esempio, A, a.
Per esempio prendiamo il carattere”colore degli occhi” e
indichiamo con “A” il gene responsabile del colore scuro e con “a”
il gene responsabile del colore chiaro.
31
Ciascun genitore trasmette un gene con probabilità 1/2.
Essendo frequente il fenomeno per cui il gene recessivo
“a” non manifesti il proprio carattere in presenza di “A”,
coloro che possiedono i due geni AA e Aa hanno occhi
scuri,
quelli con la coppia aa hanno occhi chiari.
32
Tabelle
Completa le due tabelle e indica i caratteri che
possono avere i figli
Aa
Aa
A
aa
A
a
a
Aa
aa
a
Aa
aa
Aa
a
A
a
AA
A
aa
a
a
A
33
Grafo ad albero
padre
½
1/2
A
a
madre
a
a
Aa
a a
Aa aa
aa
Il grafo si riferisce al primo esempio della scheda precedente: la
trasmissione “colore degli occhi” può essere rappresentata anche così. Gli
eventi elementari possibili sono: Aa, Aa, aa, aa,
la probabilità per ciascun evento elementare di 1/21/2=1/4
la probabilità 1/2 che un figlio abbia occhi scuri (Aa)
la probabilità 1/2 occhi chiari(aa).
34
L’anemia mediterranea è una malattia ereditaria portata da un
gene recessivo a, che non si manifesta quando il gene
recessivo a è accompagnato dal gene dominante A ( si parla
in questo caso di portatore sano).
a) Nella popolazione di un paese, costituita da 5.000
persone, il 4% è ammalato: quante sono le persone
ammalate?
b) Da due genitori di tipo (A;A),(A;a) può nascere un figlio
ammalato? Perché?
c) Con quale probabilità può nascere un portatore sano?
d) Scrivi le varie combinazioni genetiche derivate da due
genitori (A;a), e calcola la probabilità che nasca:
I) Un figlio ammalato
II) Un figlio portatore sano
III) Un figlio sano
35
NASCITA DI DUE FIGLI MASCHI
