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La probabilità matematica
In generale parliamo di eventi probabili o improbabili quando non siamo sicuri se si verificheranno.
DEFINIZIONE. Un evento (E) si dice casuale, o aleatorio, quando il suo verificarsi dipende
unicamente dal caso.
DEFINIZIONE. Un evento si dice:
• certo quando è possibile stabilire con assoluta certezza il suo verificarsi;
• impossibile quando non potrà mai realizzarsi;
• incerto negli altri casi.
La probabilità
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La probabilità matematica
Definiamo in termini matematici la probabilità dell’evento E: << esce il numero 5 >>.
ESEMPI
 Consideriamo il lancio di un dado. Poiché i possibili esiti del lancio sono 1, 2, 3, 4, 5, 6, e uno solo è il
caso favorevole diremo che la probabilità dell’evento è
1.
6
 Se consideriamo lo stesso evento nell’estrazione di un numero della tombola, dobbiamo considerare
1 .
90
90 possibili esiti e uno solo favorevole; in questo caso la probabilità è
 Calcoliamo la probabilità dello stesso evento nell’estrazione di una carta da un mazzo di 40 carte. Il
numero complessivo di esiti è 40, mentre quello di esiti favorevoli è 4 (uno per ogni seme) quindi la
probabilità dell’evento è
La probabilità
4
40
oppure, semplificando la frazione,
1
10
.
2
La probabilità matematica
In generale:
DEFINIZIONE. La probabilità p(E) di un evento E è data dal rapporto fra il numero f di casi
favorevoli all’evento e il numero complessivo n dei casi possibili. In simboli:
f
p (E ) =
n
PROPRIETÀ. La probabilità di un evento certo è sempre uguale a 1.
PROPRIETÀ. La probabilità di un evento impossibile è sempre uguale a 0.
PROPRIETÀ. La probabilità di un evento casuale è sempre un numero compreso fra 0 e 1. In
simboli:
0 £ p (E ) £ 1
La probabilità
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Il teorema della probabilità totale (eventi incompatibili)
DEFINIZIONE. Due eventi E1 e E2 si dicono incompatibili quando il verificarsi del primo esclude il
verificarsi del secondo ovvero i due eventi non si possono verificare contemporaneamente.
TEOREMA. La probabilità di due o più eventi incompatibili è uguale alla somma delle probabilità
di ciascun evento. In simboli:
pt = p1 + p2 + ... + pn
ESEMPIO
Mettiamo in un sacchetto una pallina rossa, tre palline nere e due palline verdi e
calcoliamo la probabilità di estrarre una pallina rossa o una pallina nera.
Probabilità di estrarre
una pallina rossa
1
pr =
6
Probabilità di estrarre
una pallina nera
3 1
pn = =
6 2
1 1 4 2
pt = pr + pn = + = =
6 2 6 3
La probabilità
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Il teorema della probabilità totale (eventi compatibili)
DEFINIZIONE. Due eventi E1 e E2 si dicono compatibili quando il verificarsi del primo non esclude
il verificarsi del secondo ovvero è possibile che i due eventi si verifichino contemporaneamente.
ESEMPIO
Calcoliamo la probabilità che nell’estrazione di una carta da un mazzo di 40 carte essa sia una
figura (Ef) oppure una carta di denari (Ed) .
In questo caso i due eventi sono compatibili
perché bisogna conteggiare anche l’evento che la
carta estratta sia una figura di denari
pc =
3
40
I casi favorevoli ai singoli eventi sono:
12 per Ef (3 per ogni segno), pertanto
12 3
pf =
=
40 10
10 per Ed (le dieci carte di denari nel mazzo), pertanto
10 1
pd =
=
40 4
La probabilità
Continua
5
Il teorema della probabilità totale (eventi compatibili)
I casi favorevoli all’evento totale (Et <<esce una figura o una carta di denari>>) sono 19 (le dodici
figure + le altre sette carte di denari), quindi:
19
pt =
40
In questo caso la probabilità totale pt è uguale alla
somma delle probabilità dei due eventi (pf + pd)
diminuita della probabilità dell’evento comune ai
due eventi (pc).
cioè:
3 1 3 19
pt = pf + pd - pc = + =
10 4 40 40
In generale:
TEOREMA. La probabilità di due eventi compatibili è uguale alla somma delle probabilità di
ciascun evento diminuita della probabilità dell’evento comune ai due eventi. In simboli:
pt = p1 + p2 - pc
La probabilità
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Il teorema della probabilità totale (eventi complementari)
DEFINIZIONE. Due eventi E1 e E2 si dicono complementari quando il verificarsi del primo esclude
il verificarsi del secondo ma sicuramente uno dei due eventi si verificherà.
ESEMPIO
Vogliamo calcolare la relazione tra la probabilità con cui, da un mazzo di 40 carte, venga estratta
una figura (Ef) e la probabilità con cui venga estratta una carta contrassegnata da un numero (En).
La loro somma è
La probabilità
p (E f ) =
12 3
=
40 10
p (E n ) =
28 7
=
40 10
3 7
p (E f ) + p (E n ) = + = 1
10 10
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Il teorema della probabilità totale (eventi complementari)
In generale:
REGOLA. La somma delle probabilità di due eventi complementari è sempre uguale a 1. In simboli:
p(E1) + p(E2 ) = 1
Dalla regola precedentemente definita è facile dedurre il seguente:
TEOREMA (DELLA PROBABILITÀ CONTRARIA). Se p è la probabilità di un evento E1, allora la
probabilità del suo evento complementare E2 è data dalla formula
p(E2 ) = 1- p(E1)
La probabilità
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La probabilità composta
DEFINIZIONE. Un evento E si dice composto se il suo verificarsi è legato al verificarsi
contemporaneo (o in successione) degli eventi E1, E2 … che lo compongono.
Consideriamo il lancio consecutivo di due monete e calcoliamo la probabilità che esca
contemporaneamente testa su entrambe le monete.
• se con il lancio della prima moneta esce testa,
con la seconda si può ottenere testa o croce:
(T; T)
e
(T; C)
• se con il lancio della prima moneta esce croce,
con la seconda si può ottenere testa o croce:
(C; T)
e
(C; C)
Complessivamente i casi possibili sono quattro:
(T; T)
La probabilità
(T; C)
(C; T)
(C; C)
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La probabilità composta
Consideriamo l’estrazione di due assi da un mazzo di 40 carte senza rimettere la carta estratta nel
mazzo:
• il numero complessivo di carte della prima estrazione (40) è diverso da quello della seconda (39);
• se alla prima estrazione è stato estratto un asso significa che nella seconda estrazione il numero
complessivo di assi è 3.
Rispetto all’esempio della diapositiva precedente, questo esempio presenta una differenza notevole:
 nel primo esempio l’esito del primo lancio non influenza quello del secondo;
 nel secondo esempio la seconda estrazione è dipendente dalla prima.
DEFINIZIONE.
 Due eventi composti si dicono indipendenti se il verificarsi di uno qualsiasi di essi non modifica
la probabilità del verificarsi dell’altro evento.
 Due eventi composti si dicono dipendenti se il verificarsi di uno qualsiasi di essi modifica la
probabilità del verificarsi dell’altro evento. La probabilità che si verifichi l’evento E2 nell’ipotesi
che l’evento E1 si sia già realizzato è detta probabilità condizionata ed è indicata con la
scrittura p(E2/E1).
La probabilità
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Eventi indipendenti
Consideriamo il lancio di una moneta e calcoliamo la probabilità che su due lanci esca entrambe le
volte testa.
Per ogni lancio esiste una probabilità su due che venga testa.
Per calcolare la probabilità che esca due volte testa
consecutivamente dobbiamo quindi calcolare quanti
sono nel complesso i casi possibili e quanti quelli
favorevoli.
() ( ) ( )
1 1 1
Nel nostro caso p E = p E1 × p E2 = × =
2 2 4
TEOREMA (DELLA PROBABILITÀ COMPOSTA).
La probabilità di un evento E, costituito da due eventi
indipendenti E1 ed E2, si ottiene effettuando il
prodotto delle probabilità di ciascun evento. In
simboli:
1
p(E1) =
2
1
p (E 2 ) =
2
1 lancio
2 lancio
Testa
Croce
Testa
Testa
Croce
Testa
Croce
Croce
p(E ) = p(E1) × p(E2 )
La probabilità
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Eventi dipendenti
Consideriamo un’urna contenente 15 palline rosse e 5 bianche e calcoliamo la probabilità di
ottenere, in due estrazioni consecutive, prima una pallina rossa poi una bianca:
15 3
p(E1) =
=
20 4
5
per l’evento E2 “estrazione di una pallina bianca” abbiamo p (E ) =
2
19
• per l’evento E1 “estrazione di una pallina rossa” abbiamo
•
In questo caso, la probabilità dell’evento composto E “viene estratta prima una pallina rossa poi una
bianca” è data dal prodotto
3 5 15
p(E ) = p(E1) × p(E2 / E1) = × =
4 19 76
TEOREMA (DELLA PROBABILITÀ COMPOSTA). La probabilità di un evento E, costituito da due
eventi dipendenti E1 ed E2, si ottiene moltiplicando la probabilità dell’evento E1 per la probabilità
condizionata dell’evento E2 (nell’ipotesi che il primo evento si sia verificato); in simboli:
p(E ) = p(E1) × p(E2 / E1)
La probabilità
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La probabilità frequentista
Si parla di probabilità frequentista nel caso in cui si ha a disposizione un numero molto grande di
osservazioni che avvengono sempre nelle stesse condizioni.
DEFINIZIONE. Sia n il numero di prove eseguite, tutte uguali e nelle medesime condizioni, ed f il
numero degli esiti favorevoli. La probabilità frequentista p(E) di un evento E è data dalla frequenza
relativa dell’evento, cioè dal rapporto tra f e n
f
p (E ) =
n
In generale:
TEOREMA (LEGGE DEI GRANDI NUMERI O LEGGE EMPIRICA DEL CASO). Se sottoponiamo
un evento casuale ad un numero elevato di prove, mantenendo sempre le condizioni iniziali,
otteniamo una frequenza che si avvicina molto alla probabilità teorica; aumentando il numero di
prove, la frequenza tende a coincidere sempre più con la probabilità teorica.
La probabilità
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La probabilità soggettiva
La probabilità soggettiva misura la fiducia che un individuo, basandosi su conoscenze e opinioni in
merito a una determinata situazione, ripone nell’avverarsi di un evento.
Si tratta di una scommessa la cui valutazione di esito dipende esclusivamente dal giudizio personale
di chi scommette.
Nel caso di una partita di calcio, ad esempio, un certo individuo può valutare la probabilità che si
verifichi l’evento della vittoria di una squadra sull’altra al 60%; giudica equo pagare € 60 per
riceverne in cambio 100 (guadagnandone così 40); un altro individuo potrebbe assegnare allo stesso
evento una probabilità diversa.
DEFINIZIONE. La probabilità soggettiva p(E) di un evento E è il rapporto tra il prezzo P che un
individuo è disposto a pagare e la somma S che vuole ricevere in caso si verifichi l’evento.
P
p (E ) =
S
La probabilità
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