1 Soluzione degli esercizi.

1
Soluzione degli esercizi.
1.1
Esercizio 1.
1. Il numero di casi favorevoli è pari a 3, il numero di casi possibili 6, per cui
la probabilità dell’evento "numero dispari" è pari a 12
2. Lo spazio campionario è costituito dai seguenti eventi elementari !
f(T T ) ; (T C) ; (CT ) ; (CC)g : Per cui la probabilità dell’evento è pari a
3
4
3. In un mazzo di carte vi sono 4 assi, un dieci di cuori e un due di picche.Indichiamo con
A : asso
B : dieci di cuori
C : due di picche
Per la proprietà di sub-additività, si ha che la
P (fAg [ fBg [ fCg) = P fAg + P fBg + fCg =
6
3
=
52
26
4. E’ su¢ ciente disporre gli eventi su una matrice all’interno della quale
troviamo le somme che scaturiscono dal lancio dei due dadi :
Eventi 1
2
3
4
5
6
1
(2) (3) (4) (5)
(6)
(7)
2
(3) (4) (5) (6)
(7)
(8)
3
(4) (5) (6) (7)
(8)
(9)
4
(5) (6) (7) (8)
(9)
(10)
5
(6) (7) (8) (9)
(10) (11)
6
(7) (8) (9) (10) (11) (12)
Per cui la P (somma = 7) =
5. Con lo stesso criterio, si trova che P (esca al più la somma 7) =
1.2
6
36
21
36
= 16 :
=
7
12
Esercizio 2
a Nel caso in cui la carta sia rimessa nel mazzo, la probabilità di estrarre un
asso nel secondo tentativo è indipendente da quella di estrarla nel primo.
Si indichi con A1 l’evento "asso al primo tentativo" e con A2 l’evento "asso
al secondo tentativo". La funzione di probabilità congiunta si fattorizza
nel prodotto delle probabilità marginali. In sostanza si ha che
P f(A1 ) \ (A2 )g = P (A1 ) P (A2 ) =
4
52
4
52
=
1
169
b Se la carta non è rimessa nel mazzo, la probabilità della seconda estrazione è
in‡uenzata in questo modo:
P f(A1 ) \ (A2 )g = P (A1 ) P (A2 j A1 ) =
1
4
52
3
51
=
1
221
1.3
Esercizio 3.
Si indichi con A l’evento "pallina rossa", con B l’evento "pallina bianca" e con
C l’evento "pallina blu".
1. Il calcolo è immediato: P (A) =
2. P (Ac ) = 1
P (A) =
6
15
=
2
5
3
5
3. P ((A) [ (B)) = P (A) + P (B) = 23 , in quanto gli eventi sono incompatibili.
1.4
Esercizio 4.
a Se le palline vengono rimesse nell’urna, si segue lo stesso ragionamento dell’esercizio
n.2, punto a). Quindi
P f(A) \ (B) \ (C)g = P (A) P (B) P (C) =
6 4 5
8
=
15 15 15
25
b Nel secondo caso,
P f(A) \ (B) \ (C)g = P (A) P (B j A) P (C j A; B) =
6
4
5
4
=
=
15 14 13
91
1.5
Esercizio 5.
1. La risposta è: 5! = 5 4 3 2 1 = 120: Infatti la prima posizione
può essere occupata da ciascuna delle 5 palline, quindi ci sono 5 modi di
riempire il primo posto. La seconda posizione potrà essere occupata in 4
modi...e così via!!!
2. Il primo posto può essere riempito in 10 modi, il secondo in nove,...,sino
al quarto, che potrà essere riempito in 7 modi. Dunque la soluzione è
10 9 8 7 = n(n 1):::(n r + 1) = 5040:
3. Le donne possono occupare i posti pari. Il numero di ordinamenti è pari
a 4!: Stessa cosa dicasi per gli uomini, il cui ordinamento viene e¤ettuato
in corrispondenza a quello delle donne. La soluzione è quindi:4! 5!
1.6
Esercizio 6.
1. Risolvere il problema vuol dire trovare il numero di ordinamenti di 10
oggetti, di cui 4 o 6 siano uguali fra loro. In altri termini, dobbiamo
trovare il numero di scelte di 4 oggetti fra 10. La soluzioni si ha nel
binomio di Newton nr ; quindi nel nostro caso 10
4 = 210
2. Il ragazzo può decidere di fare la somma con 5,4,3,2,1 monete. Quindi
l’insieme di scelta diventa
5
5
5
5
5
+
+
+
+
5
4
3
2
1
2
= 31
1.7
Esercizio 7.
a La probabiltà a priori di scegliere il vaso Vi , P (Vi ), è pari a 1/5. La probabilità
i
: Per
di estrarre un serpente velenoso S, dato l’i-esimo vaso, è pari a 50
il teorema delle probabilità totali, la Probabilità di estrarre un serpente
velenoso è pari a
P (S) =
5
X
i=1
P (S j Vi )P (Vi ) =
3
10
Per il secondo punto si applica il teorema di Bayes e si ottiene
P (Vi j S) =
i
P (S j Vi )P (Vi )
=
5
P
15
P (S j Vi )P (Vi )
i=1
b
1.8
Esercizio 8.
a.1 Le scelte possibili sono
n+r 1
r
=
97
8
a.2 Le scelte possibili sono 908
a.3 Si hanno
90
8
= scelte possibili, in quanto non si tiene conto dell’ordine
a.4 Le scelte possibili sono 90 89 ::: 83
b.1
2
1
8
5
12
5
b.2
10
3
. Infatti ...
. Il risultato va visto come estrazione da un’urna senza riposizione
e senza tener conto dell’ordine
3