1 Soluzione degli esercizi. 1.1 Esercizio 1. 1. Il numero di casi favorevoli è pari a 3, il numero di casi possibili 6, per cui la probabilità dell’evento "numero dispari" è pari a 12 2. Lo spazio campionario è costituito dai seguenti eventi elementari ! f(T T ) ; (T C) ; (CT ) ; (CC)g : Per cui la probabilità dell’evento è pari a 3 4 3. In un mazzo di carte vi sono 4 assi, un dieci di cuori e un due di picche.Indichiamo con A : asso B : dieci di cuori C : due di picche Per la proprietà di sub-additività, si ha che la P (fAg [ fBg [ fCg) = P fAg + P fBg + fCg = 6 3 = 52 26 4. E’ su¢ ciente disporre gli eventi su una matrice all’interno della quale troviamo le somme che scaturiscono dal lancio dei due dadi : Eventi 1 2 3 4 5 6 1 (2) (3) (4) (5) (6) (7) 2 (3) (4) (5) (6) (7) (8) 3 (4) (5) (6) (7) (8) (9) 4 (5) (6) (7) (8) (9) (10) 5 (6) (7) (8) (9) (10) (11) 6 (7) (8) (9) (10) (11) (12) Per cui la P (somma = 7) = 5. Con lo stesso criterio, si trova che P (esca al più la somma 7) = 1.2 6 36 21 36 = 16 : = 7 12 Esercizio 2 a Nel caso in cui la carta sia rimessa nel mazzo, la probabilità di estrarre un asso nel secondo tentativo è indipendente da quella di estrarla nel primo. Si indichi con A1 l’evento "asso al primo tentativo" e con A2 l’evento "asso al secondo tentativo". La funzione di probabilità congiunta si fattorizza nel prodotto delle probabilità marginali. In sostanza si ha che P f(A1 ) \ (A2 )g = P (A1 ) P (A2 ) = 4 52 4 52 = 1 169 b Se la carta non è rimessa nel mazzo, la probabilità della seconda estrazione è in‡uenzata in questo modo: P f(A1 ) \ (A2 )g = P (A1 ) P (A2 j A1 ) = 1 4 52 3 51 = 1 221 1.3 Esercizio 3. Si indichi con A l’evento "pallina rossa", con B l’evento "pallina bianca" e con C l’evento "pallina blu". 1. Il calcolo è immediato: P (A) = 2. P (Ac ) = 1 P (A) = 6 15 = 2 5 3 5 3. P ((A) [ (B)) = P (A) + P (B) = 23 , in quanto gli eventi sono incompatibili. 1.4 Esercizio 4. a Se le palline vengono rimesse nell’urna, si segue lo stesso ragionamento dell’esercizio n.2, punto a). Quindi P f(A) \ (B) \ (C)g = P (A) P (B) P (C) = 6 4 5 8 = 15 15 15 25 b Nel secondo caso, P f(A) \ (B) \ (C)g = P (A) P (B j A) P (C j A; B) = 6 4 5 4 = = 15 14 13 91 1.5 Esercizio 5. 1. La risposta è: 5! = 5 4 3 2 1 = 120: Infatti la prima posizione può essere occupata da ciascuna delle 5 palline, quindi ci sono 5 modi di riempire il primo posto. La seconda posizione potrà essere occupata in 4 modi...e così via!!! 2. Il primo posto può essere riempito in 10 modi, il secondo in nove,...,sino al quarto, che potrà essere riempito in 7 modi. Dunque la soluzione è 10 9 8 7 = n(n 1):::(n r + 1) = 5040: 3. Le donne possono occupare i posti pari. Il numero di ordinamenti è pari a 4!: Stessa cosa dicasi per gli uomini, il cui ordinamento viene e¤ettuato in corrispondenza a quello delle donne. La soluzione è quindi:4! 5! 1.6 Esercizio 6. 1. Risolvere il problema vuol dire trovare il numero di ordinamenti di 10 oggetti, di cui 4 o 6 siano uguali fra loro. In altri termini, dobbiamo trovare il numero di scelte di 4 oggetti fra 10. La soluzioni si ha nel binomio di Newton nr ; quindi nel nostro caso 10 4 = 210 2. Il ragazzo può decidere di fare la somma con 5,4,3,2,1 monete. Quindi l’insieme di scelta diventa 5 5 5 5 5 + + + + 5 4 3 2 1 2 = 31 1.7 Esercizio 7. a La probabiltà a priori di scegliere il vaso Vi , P (Vi ), è pari a 1/5. La probabilità i : Per di estrarre un serpente velenoso S, dato l’i-esimo vaso, è pari a 50 il teorema delle probabilità totali, la Probabilità di estrarre un serpente velenoso è pari a P (S) = 5 X i=1 P (S j Vi )P (Vi ) = 3 10 Per il secondo punto si applica il teorema di Bayes e si ottiene P (Vi j S) = i P (S j Vi )P (Vi ) = 5 P 15 P (S j Vi )P (Vi ) i=1 b 1.8 Esercizio 8. a.1 Le scelte possibili sono n+r 1 r = 97 8 a.2 Le scelte possibili sono 908 a.3 Si hanno 90 8 = scelte possibili, in quanto non si tiene conto dell’ordine a.4 Le scelte possibili sono 90 89 ::: 83 b.1 2 1 8 5 12 5 b.2 10 3 . Infatti ... . Il risultato va visto come estrazione da un’urna senza riposizione e senza tener conto dell’ordine 3