Calcolo delle probabilità Il calcolo delle probabilità è la scienza che ha come oggetto l’analisi di situazioni di incertezza e delle relative scelte operative. L’ incertezza si può verificare per diversi motivi: carenza di informazioni su eventi passati e presenti; complessità di calcolo o del ragionamento richiesto per dedurre il risultato di interesse. studio di un fenomeno intrinsecamente incerto in quanto soggetto a scelte individuali non prevedibili. Il calcolo delle probabilità viene utilizzato in diverse situazioni: assicurazioni, statistica, nelle moderne teorie fisiche ecc. Uno dei padri della probabilità è sicuramente Nicolò Tartaglia (seconda metà del 1400), insieme a Paciolo e Girolamo Cardano hanno trattato il “problema della posta”: due giocatori A e B, si accordano che la posta in gioco sarà vinta da quello che per primo raggiungerà ad esempio 10 punti, la partita viene interrotta quando A ha 7 punti e B 4 punti. Come si suddivide la posta? Una prima risposta sarà di dividerla proporzionalmente ai numeri 7 e 4. Ma non è una risposta convincente in quanto A era in vantaggio rispetto B e quindi aveva più probabilità di vincere. Oppure suddividere proporzionalmente a 10-7 e 10-4, ma anche in questo modo non si ha una suddivisione equa. Bisogna assegnare ad ogni giocatore la probabilità che avevano di vincere la partita se il gioco continuava. Poiché nel continuare il gioco ogni giocatore ha la possibilità di due scelte o vince o perde la prossima partita, si può rappresentare tutta la partita con un grafo ad albero oppure con il triangolo di tartaglia e siccome la partita poteva continuare per altri (10-7)+(10-4)-1=8 partite basterà prendere per A come casi favorevoli la somma delle prime 6 cifre dell’ottava riga del triangolo di Tartaglia e per B le restanti tre cioè per A 1+8+28+56+70+56=219 per B 28+8+1=37 la somma totale è 219+37=256 quindi 𝑃(𝐴) = 219 256 37 e 𝑃(𝐵) = 256, la posta verrà suddivisa in base a tali probabilità. Esistono tre tipi di probabilità La probabilità classica, che è applicabile solo nella situazione in cui tutti i casi possibili hanno uguale probabilità cioè ugualmente probabili, calcola il rapporto tra il numero dei casi favorevoli all’evento stesso e il numero dei casi possibili cioè 𝑛° 𝑐𝑎𝑠𝑖 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑒𝑣𝑜𝑙𝑖 𝑃(𝐸) = 𝑛° 𝑐𝑎𝑠𝑖 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑖𝑏𝑖𝑙𝑖 1 ad esempio la probabilità che esca 3 su una faccia del dado è 𝑃("3 su una faccia") = 6. La probabilità frequentista o statistica calcola il rapporto tra il numero dei risultati positivi sul numero di prove effettuate, cioè è la frequenza relativa 𝑛𝐸 𝑃(𝐸) = 𝑛 dove n tende ad un valore infinitamente grande. La terza impostazione la probabilità soggettivista la dobbiamo ad un grande matematico italiano De Finetti che nei suoi studi soprattutto sul gioco d’azzardo chiarisce come la probabilità è il grado di fiducia che si assegna al verificarsi di un evento, cioè al rapporto 1 tra il prezzo P che una persona ritiene equo pagare e la vincita V che riceverà al verificarsi di E 𝑃 𝑃(𝐸) = 𝑉 Gli eventi Ricordiamo che per calcolare la probabilità dobbiamo stare in un determinato spazio campionario o universo degli eventi indicato con Ω, all’interno di tale spazio sono presenti gli eventi Ei sottoinsiemi di Ω. Un evento è un avvenimento, descritto da una proposizione, che può accadere oppure no. Si dicono eventi certi gli eventi che accadono con certezza. Si dicono eventi impossibili gli eventi che non possono mai verificarsi. Un evento si dice aleatorio se il suo verificarsi dipende dal caso. Esempio Nel lancio di un dado gli eventi elementari sono; E1=”esce il numero 1” E2=”esce il numero 2” … E6=”esce il numero 6” L’insieme universo degli eventi è Ω = 𝐸1 ∪ 𝐸2 ∪ 𝐸3 ∪ 𝐸4 ∪ 𝐸5 ∪ 𝐸6 La probabilità soddisfa le seguenti proprietà: 1) per ogni evento E si ha 𝑃(𝐸) ≥ 0 ; 2) per ogni evento E si ha 𝑃(𝐸) ≤ 1 ; 3) per l’evento impossibile ∅ si ha 𝑃(∅) = 0 ; 4) detto Ω l’evento certo si ha 𝑃(Ω) = 1 ; 5) Detto 𝐸1 ∪ 𝐸2 l’evento che si verifica se si verifica l’evento 𝐸1 oppure l’evento 𝐸2 cioè 𝐸1 ed 𝐸2 sono disgiunti o incompatibili si ha 𝑃(𝐸1 ∪ 𝐸2 ) = 𝑃(𝐸1 ) + 𝑃(𝐸2 ) 6) 𝑃(𝐸̅ ) = 1 − 𝑃(𝐸) dove 𝐸̅ è l’evento complementare di 𝐸 Definizione assiomatica della probabilità A questo punto possiamo definire, data una famiglia 𝔈 di insiemi Ei sottoinsiemi di Ω, la probabilità come una funzione a valori reale definita su tale famiglia di insiemi 𝔈, tale che 1) 𝑃(𝐸) ≥ 0, ∀ 𝐸 ∈ 𝔈 ; 2) 𝑃(Ω) = 1 3) 𝑃(𝐸1 ∪ 𝐸2 ) = 𝑃(𝐸1 ) + 𝑃(𝐸2 ), ∀ 𝐸1 , 𝐸2 ∈ 𝔈, 𝐸1 ∪ 𝐸2 ∈ 𝔈, 𝐸1 ∩ 𝐸2 = ∅ Prima di passare a definire le altre proprietà della probabilità dobbiamo ricordare il calcolo combinatorio 2 Calcolo combinatorio Definiamo disposizioni semplici di n oggetti distinti della classe k tutti i possibili oggetti raggruppati di k in k scelti in un insieme di n oggetti e si calcolano con 𝑛! 𝐷𝑛,𝑘 = 𝑛(𝑛 − 1)(𝑛 − 2) … (𝑛 − 𝑘 + 1) = (𝑛 − 𝑘)! Ricorda due sottoinsiemi differiscono anche per ordine! Esempio1 A un torneo di calcio regionale under 21 partecipano 15 squadre. Quante sono le possibili classifiche delle prime cinque squadre? In questo caso dobbiamo estrarre tutte le possibili classifiche su n oggetti di classe 5 cioè di 5 squadre 𝐷15,5 = 15 ∙ 14 ∙ 13 ∙ 12 ∙ 11 = 360360 Definiamo disposizioni semplici di n oggetti distinti raggruppati di n in n oggetti distinti cioè con k=n le permutazioni semplici 𝑃𝑛 = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ … (𝑛 − 1)𝑛 = 𝑛! Esempio2 Quanti tipi di anagrammi si possono ottenere con la parola CANTO Siccome stiamo cercando parole che differiscono solo dall’ordine delle lettere abbiamo una permutazione semplice di 5 elementi 𝑃5 = 5! = 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 120 Il numero delle combinazioni semplici di n oggetti distinti della classe k è indicato con 𝐶𝑛,𝑘 , corrisponde a tutti i possibili oggetti di k elementi presi a caso tra gli n oggetti e dove 𝑛 𝐷 𝑛! non importa l’ordine degli elementi k scelti e si calcola 𝐶𝑛,𝑘 = 𝑃𝑛,𝑘 = (𝑛−𝑘)!𝑘! = ( ) 𝑘 𝑘 𝑛 Il simbolo ( ) rappresenta la combinazione semplice di n oggetti di classe k e prende il 𝑘 nome di coefficiente binomiale poiché sono i coefficienti dello sviluppo del binomio 𝑛 𝑛 (𝑎 + 𝑏) = ∑ ( ) 𝑎𝑛−𝑘 𝑏 𝑘 𝑘 𝑛 𝑘=0 Detta formula del binomio di Newton e i coefficienti binomiali sono i numeri presenti nel triangolo di Tartaglia. Osservazioni sui coefficienti binomiali: 𝑛 𝑛 ( )=( ) 𝑘 𝑛−𝑘 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 0 Quindi si ha ( ) = ( ) = ( ) = 1 e ( ) = ( )=𝑛 0 𝑛 𝑛−1 1 0 Inoltre si può dimostrare che vale la seguente uguaglianza 𝑛 𝑛−1 𝑛−1 ( )=( )+( ) formula di Stifel 𝑘 𝑘 𝑘−1 Esempio3 In un gran premio di formula 1 F1 una casa automobilistica ha a disposizione cinque vetture da assegnare a due piloti. In quanti modi la scuderia può utilizzare le automobili? 5! 5∙4 5 𝐶5,2 = ( ) = = = 10 (5 − 2)! 2! 2 2! 3 Esempio4 Calcola il numero di terni che si possono fare al gioco del lotto 90 ∙ 89 ∙ 88 90 𝐶90,3 = ( ) = = 117480 3 3! Nel caso che introduciamo anche le ripetizioni degli oggetti allora si ha Disposizioni con ripetizione di n oggetti presi a k a k 𝐷′𝑛,𝑘 = 𝑛𝑘 Esempio5 Calcola la probabilità di realizzare un tredici al totocalcio giocando due colonne distinte Il numero dei casi possibili è uguale al numero delle disposizioni con ripetizione dei tre segni 1 X 2 presi a 13 a 13 cioè 𝐷′3,13 = 313 = 1594323 Se ora ci vogliamo calcolare la probabilità ricordiamo l’impostazione classica essendo gli eventi equiprobabili, il numero di casi favorevoli è 2 essendo 2 le colonne su tutte le disposizioni possibili 2 𝑝= ≅ 1,2 ∙ 10−4 1594323 Permutazioni con ripetizioni di n oggetti di cui h1 uguali tra loro, h2 uguali tra loro e distinti dai precedenti ecc. 𝑛! (ℎ ;ℎ … ) 𝑃𝑛 1 2 = ℎ1 ! ℎ2 ! … Esempio6 Calcola tutti i possibili anagrammi della parola MISSISSIPPI. Tale parola ha 11 lettere dove la M si ripete 1 volta, la I 4 volte, la S 4 volte e la P 2 volte. (1,4,4,2) 𝑷𝟏𝟏 = 𝟏𝟏! 𝟏! 𝟒! 𝟒! 𝟐! combinazioni con ripetizione di n oggetti presi a k a k 𝑛+𝑘−1 𝐶′𝑛,𝑘 = 𝐶 =𝑛+𝑘−1,𝑘 = ( ) 𝑘 Utilizziamo le combinazioni con ripetizione in tutti i problemi di distribuzione nei quali occorre formare gruppi con oggetti non distinguibili Esempio 7 Quali sono i casi favorevoli in cui lanciando 3 volte una moneta si hanno almeno 2 volte testa o due volte croce? Le possibilità sono TTT, TTC, TCC, CCC cioè 4 e sono le combinazioni con ripetizione di 2 elementi di classe 3 4! 4 𝐶′2,3 = 𝐶4,3 = ( ) = =4 3 1! 3! 4 La concezione classica di probabilità e calcolo delle probabilità di eventi La probabilità dell’evento unione Dati due eventi E1 ed E2 si definisce evento unione 𝐸1 ∪ 𝐸2 . Se i due eventi sono incompatibili se il verificarsi dell’uno esclude il verificarsi dell’altro e avremo Teorema della somma per eventi incompatibili 𝑃(𝐸1 ∪ 𝐸2 ) = 𝑃(𝐸1 ) + 𝑃(𝐸2 ) Se al contrario i due eventi sono compatibili Teorema della somma per eventi compatibili 𝑃(𝐸1 ∪ 𝐸2 ) = 𝑃(𝐸1 ) + 𝑃(𝐸2 ) − 𝑃(𝐸1 ∩ 𝐸2 ) Esempio1 Consideriamo un’urna in cui abbiamo inserito i numeri da 1 a 12 e consideriamo i due eventi: E1=”esce un numero dispari” oppure E2=”esce un numero pari” I numeri dispari sono 1,3,5,7,9,11 quindi 6 casi su 12 possibili, i numeri pari sono 2,4,6,8,10,12 quindi sempre 6 su 12. La probabilità dell’unione cioè che esca un numero pari o dispari essendo incompatibili si 6 6 ha 𝑃(𝐸1 ∪ 𝐸2 ) = 𝑃(𝐸1 ) + 𝑃(𝐸2 ) = 12 + 12 = 1 Esempio 2 Calcolare la probabilità che, estraendo un numero della tombola, questo sia divisibile per 2 o per 3. I casi possibili sono 90 e tutti equiprobabili in questo caso si deve calcolare la probabilità somma dei due eventi che risultano compatibili in quanto esiste l’evento intersezione dato dalla probabilità di estrarre numeri multipli di 2 e di 3 cioè di 6. I numeri multipli di 2 sono 45, multipli di 3 sono 30 e i multipli di 6 sono 15 quindi 45 30 15 60 𝑃(𝐸1 ∪ 𝐸2 ) = 𝑃(𝐸1 ) + 𝑃(𝐸2 ) − 𝑃(𝐸1 ∩ 𝐸2 ) = + − = = 0,67 90 90 90 90 Si poteva anche contare tutti i numeri multipli di 2 e di 3 insieme sono 60 su 90 e fare subito il calcolo finale! La probabilità dell’evento intersezione Se due eventi avvengono contemporaneamente cioè sono eventi legati dalla congiunzione e che lega i due eventi dall’operazione di intersezione. Si hanno 2 casi I due eventi sono indipendenti stocasticamente cioè il verificarsi dell’uno non influisce sull’altro allora 𝑃(𝐸1 ∩ 𝐸2 ) = 𝑃(𝐸1 ) ∙ 𝑃(𝐸2 ) I due evnti sono dipendenti in tal caso la probabilità diventa 𝑃(𝐸1 ∩ 𝐸2 ) = 𝑃(𝐸1 ) ∙ 𝑃(𝐸2 /𝐸1 ) Dove 𝑃(𝐸2 /𝐸1 ) è la probabilità condizionata cioè è la probabilità dell’evento 𝐸2 dopo il verificarsi dell’evento 𝐸1 Osservazione1 la seconda formula diventa uguale alla prima se 𝑃(𝐸2 /𝐸1 ) = 𝑃(𝐸2 ) questo è un altro modo di dire che gli eventi sono indipendenti. Osservazione2 poiché la seconda formula è simmetrica 𝑃(𝐸1 ∩ 𝐸2 ) = 𝑃(𝐸1 ) ∙ 𝑃(𝐸2 /𝐸1 ) = 𝑃(𝐸2 ) ∙ 𝑃(𝐸1 /𝐸2 ) 5 Si ricava la formula di Bayes 𝑃(𝐸1 /𝐸2 ) = 𝑃(𝐸1 ) ∙ 𝑃(𝐸2 /𝐸1 ) 𝑃(𝐸2 ) Evento contrario A volte pur dovendo calcolare la probabilità di un evento è molto più facile calcolare l’evento contrario che in insiemistica corrisponde al complementare di tale insieme e si ha tale formula 𝑃(𝐸̅ ) = 1 − 𝑃(𝐸) Esempi Esempio1 Una pallina è estratta da un’urna contenente 6 palline rosse, 4 bianche e 5 azzurre si calcoli la probabilità che la pallina non sia rossa. A questo punto dire non sia rossa è l’evento contrario di essere rossa e siccome calcolare quando la pallina è rossa è facile procediamo così: 𝑐𝑎𝑠𝑖 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑒𝑣𝑜𝑙𝑖 6 6 2 P(“la pallina è rossa”)=𝑐𝑎𝑠𝑖 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑖𝑏𝑖𝑙𝑖 𝑡𝑢𝑡𝑡𝑒 𝑙𝑒 𝑝𝑎𝑙𝑙𝑖𝑛𝑒 6+4+5 = 15 = 5 2 3 P(“la pallina non è rossa”)= 𝑃(𝐸̅ ) = 1 − 𝑃(𝐸) = 1 − 5 = 5 Esempio riassuntivo1 Si estragga a caso una carta da un mazzo di 52 carte e si determini la probabilità che: 1) Sia un asso 2) Un fante di cuori 3) Un tre di picche o un sei di fiori 4) Un cuori 5) Un seme diverso da cuori 6) Un dieci o un quadri 7) Né un quattro né un picche Risoluzione 1) Gli assi sono quattro ed essendo incompatibili si ha P(“una asso di cuori o di picche o di quadri o di fiori)=P(“asso di cuori”)+P(“asso 1 1 1 1 1 di picche”)+P(“asso di quadri”)+P(“asso di fiori”)=52 + 52 + 52 + 52 = 13 1 2) P(“un fante di cuori”)=52 1 3) P(“un tre di picche o un sei di fiori”)=P(“un tre di picche”)+P(“un sei di fiori”)= 52 + 1 52 1 = 26 13 1 4) P(“una carta di cuori”)=52 = 4 ricordando che le carte di cuori sono 13 1 3 5) P(“una carta diversa da cuori”)=1-P(“una carta di cuori”)=1 − 4 = 4 6) P(“un dieci o un quadri”)=P(“un dieci”)+P(“un quadri”)-P(“un dieci di 4 13 1 16 4 quadri”)=52 + 52 − 52 = 52 = 13 in questo caso gli eventi erano incompatibili 6 Esempio riassuntivo2 Due carte sono estratte da un mazzo di 52 carte ben mescolato e si calcoli la probabilità che esse siano entrambi assi quando: 1) La prima carta è rimessa nel mazzo 2) La prima carta non è rimessa nel mazzo Risoluzione 1) E1=la prima carta è un asso E2=la seconda carta è un asso i due eventi sono indipendenti in quanto la carta 4 viene rimessa nel mazzo 𝑃(𝐸2 /𝐸1 ) = 𝑃(𝐸2 ) = 52 4 4 1 𝑃(𝐸1 ∩ 𝐸2 ) = 𝑃(𝐸1 ) ∙ 𝑃(𝐸2 ) = 52 ∙ 52 = 169 2) In questo caso i due eventi sono dipendenti in quanto estraendo un asso nella seconda estrazione gli assi rimasti sono 3 4 3 1 𝑃(𝐸1 ∩ 𝐸2 ) = 𝑃(𝐸1 ) ∙ 𝑃(𝐸2 /𝐸1 ) = 52 ∙ 52 = 221 7