Parabola
Attività di recupero (conoscenze di base)
Obiettivi
Saper riconoscere la funzione che esprime la conica.
Saper tracciare il grafico di una parabola.
Saper determinare gli elementi caratterizzanti una parabola.
Saper individuare la posizione di una retta rispetto ad una parabola.
Sapere individuare l’equazione della retta tangente ad una parabola.
Prerequisiti
Risoluzione di sistemi.
Risoluzione di equazione di secondo grado.
Simmetria rispetto ad una retta.
Elementi di base del piano cartesiano ( punti e rette ).
Formula dell’equazione della retta passante per un punto.
*************************
La curva chiamata PARABOLA si rappresenta con la seguente funzione matematica
y = ax 2 + bx + c
(1)
Osserva
a) l’equazione è di primo grado rispetto a y
b) l’equazione è di secondo grado rispetto a x ( a non DEVE mai annullarsi ,
altrimenti la funzione esprime una retta)
Esercizio
Ricavare y e riconoscere le equazioni di una parabola:
y − x + x2 + 4 = 0
y + ( x − 2) 2 = 0
x − y + x2 = 2
y+ x+2=0
yx 2 = 2
x2 + 4x − y = 0
Il grafico di una parabola ha questo andamento
V
Concavità
verso il
basso
a<0
V è il vertice
Concavità
verso l’alto
a>0
V è il vertice
V
Un punto particolarmente importante è il vertice V che divide la parabola in due parti
simmetriche ed è il punto con ordinata minore (minimo) per la prima parabola e con
ordinata maggiore (massimo) per la seconda parabola.
Per trovare le coordinate del vertice si può utilizzare la seguente formula:
xV = −
b
2a
yV si ottiene sostituendo xV nell’ equazione (1)
Esercizio
Completare lo schema
a
b
c
xV
yV
y = x2 − x − 3
y = −x2 + 3
y=
x2
−x
2
Il vertice è un solo elemento e non è sufficiente per poter tracciare la curva , infatti ci
sono infinite parabole aventi uno stesso vertice.
Ci servono altri punti che possono essere calcolati intersecando la parabola con gli
assi cartesiani:
con l’asse y
y = ax 2 + bx + c
x = 0
e con l’asse x
y = ax 2 + bx + c
y = 0
c’è sempre un punto soluzione
(0,c)
da cui ax 2 + bx + c = 0 che come è noto
con ∆ > 0 ha due soluzioni → due punti su asse x
con ∆ = 0 ha una soluzione → un punto su asse x
con ∆ < 0 non ha soluzione → non ha punti su asse x
Esercizio
Trovare il vertice e le intersezioni con asse y ed asse x e tracciare il grafico delle
seguenti parabole
vertice
intersezioni con asse y
intersezioni con asse x
xV
y = ax + bx + c
x = 0
y = ax 2 + bx + c
y = 0
2
y = x2 −
yV
1
x
4
y = 6x2 − x +1
y = −6 x 2 + 4 x
ATTENZIONE Il metodo visto non è sufficiente per tracciare la parabola di
equazione y = x 2 + 4 perché fornisce un solo punto (il vertice), occorre quindi
individuare altri punti: assegnare un valore a scelta alla x, per esempio x = 2, e
cercare la corrispondente ordinata (sostituendo tale valore nell’equazione della
parabola) e ripetere l’operazione con un ulteriore valore di x a scelta per esempio x =
-3 . In questo modo si troveranno tre punti della parabola e la si potrà tracciare.
Esistono altri elementi importanti e fondamentali che concorrono a definire in modo
univoco una parabola , questi elementi sono un punto chiamato FUOCO ed una retta
chiamata DIRETTRICE . La parabola NON passa per il fuoco e NON tocca la
direttrice, ma è costituita da punti equidistanti dal fuoco e dalla direttrice:
l’espressione matematica di questa proprietà ci permette di pervenire alla forma
canonica inizialmente indicata con (1).
Le coordinate del fuoco sono xF = −
b
2a
e yF =
1− ∆
4a
N.B. il fuoco ha la stessa ascissa del vertice.
L’equazione della direttrice è y = −
1+ ∆
(retta parallela all’asse x)
4a
N.B. la direttrice è perpendicolare alla retta VF di equazione x = −
b
( retta parallela
2a
all’asse y) che è l’asse della parabola .
Esercizio
Delle parabole sopra riportate individuare il fuoco, la direttrice e l’asse e riportare tali
elementi sui grafici corrispondenti.
Se scambio x con y la parabola cambia “orientamento” e diventa ad asse orizzontale
(a>0 concavità verso destra , con a<0 concavità verso sinistra)
L’equazione è: x = ay 2 + by + c .
Le coordinate del vertice sono (xV , yV ) :
yV = −
b
2a
xV è ottenuto sostituendo nell’equazione della parabola yV .
L’equazione dell’asse è y = −
b
(retta parallela all’asse x ).
2a
Le coordinate del fuoco sono (x F , y F ) con
xF =
1− ∆
b
e yF = − .
4a
2a
L’equazione della direttrice è x = −
1+ ∆
(retta parallela all’asse y).
4a
Esercizio
Individuare vertice, asse, fuoco, direttrice e grafico delle seguenti parabole .
x = y2 − 9
x = − y2 + 5y − 6
x = y 2 − 8 x + 16
x = − y2 + 4 y
Posizioni reciproche tra retta e parabola:
∆>0
due ⋅ soluzioni
parabola
→ eq. di secondo grado: ∆ = 0
retta
una ⋅ soluzione
∆<0
zero ⋅ soluzioni
retta ⋅ sec ante
→
retta ⋅ tan gente
retta ⋅ esterna
Esercizio
Stabilire con i calcoli la posizione della retta rispetto alla parabola sotto indicata:
1)
y = x+2
y = 3x 2 − 5 x + 2
;
2)
y = x+3
y = − x2 + 7 x − 6
;
3)
x − 2y −3 = 0
x = − y2 − 2 y + 3
y=x
;
4)
y = x2 + 4
Il caso più significativo è quello del ∆ = 0 , cioè della tangenza, perché permette di
determinare l’equazione di una retta tangente ad una parabola.
ESEMPIO
Determinare l’equazione della retta passante per l’origine tangente alla parabola di
equazione y = x 2 − 2 x + 1
y = x 2 − 2x + 1
y = mx
mx = x 2 − 2 x + 1
2
∆ = (m + 2 ) − 4 = 0
e si ottengono le due rette
y=0
x 2 − (m + 2)x + 1 = 0
m 2 + 4m = 0
y = −4 x
m1 = 0
m2 = −4
Esercizio
Determinare le rette (se esistono) passanti per i punti indicati e tangenti alle parabole
associate :
P( x0 , y 0 )
y − y0 = m( x − x0 ) (formula da ricordare)
P (0,1) retta per P
y − 1 = m( x − 0) da cui
y = mx + 1
parabola
y = −x2 + 2x
y = x2 + 4x +1
P (−2,0)
3
P ,2
2
y = − x2 + 6x − 5
Determinazione dell’equazione della parabola
Finora l’equazione della parabola era nota, talvolta è da determinare, cioè occorre
individuare i valori di a,b,c dell’equazione.
Sono necessarie tre condizioni perché tre sono le incognite.
Vediamo due casi in particolare:
a) la parabola, con asse parallelo all’asse y, passa per tre punti dati
A( x A , y A ) , B( xB , y B ) , C ( xC , yC ) ( per esempio A(1,1), B(-2,0), C(0,1)) :
si determinano tre equazioni in a,b,c sostituendo le coordinate dei vari
punti nell’equazione generica della parabola y = ax 2 + bx + c
1
a
=
−
6
y A = ax A + bx A + c
1 = a (+ 1)2 + b(+ 1) + c
1
2
2
y B = axB + bxB + c cioè 0 = a (− 2 ) + b(− 2 ) + c la soluzione è b =
6
2
2
1 = a (0 ) + b(0 ) + c
yC = axC + bxB + c
c = 1
1
1
e la corrispondente parabola è y = − x 2 + x + 1 .
6
6
2
Esercizio :
Determinare le equazioni delle parabole con asse parallelo all’asse y passanti per i
punti :
1) A(1,0) B(4,3) C(0,3);
2) A(0,-1) B(1,2) C(-2,5);
3) A(1,0) B(3,10) C(0,-2).
b) la parabola, con asse parallelo all’asse y, ha vertice noto V ( xV , yV ) e passa per
un altro punto dato P( xP , yP ) ( per esempio V(1/3,2/3) e P(0,1)) :
si considera la formula dell’ascissa del vertice ( -b/2a) e si ottiene un’equazione ,
le altre due si ricavano sostituendo le coordinate di V e di P come già visto al
punto a).
b
xV = − 2a
2
yV = axV + bxV + c
2
y P = axP + bxP + c
cioè
b
1
3 = − 2a
2
2
1
1
= a + b + c
3
3
3
2
1 = a (0 ) + b(0 ) + c
la soluzione è
a = 3
b = −2
c = 1
e la corrispondente parabola è y = 3x 2 − 2 x + 1 .
Esercizio:
Determinare le equazioni delle parabole con asse parallelo all’asse y di vertice V e
passanti per P :
27
P(0,3) ;
8
1
2) V 3, P(0,2) ;
2
3 49
V
P(1,−12) .
3) ,−
2 4
1) V 1,
