Geometria analitica - Problema N

Geometria analitica - Problema N.3
Problema N.3
Scrivere l’equazione della parabola Γ con asse parallelo all’asse delle ordinate avente il fuoco nel
3

punto F 1;−  e il vertice in V (1;−2 ) ; dette A e B le intersezioni della curva con la retta y = − x :
 2
a) determinare le tangenti in A e B alla parabola;
b) determinare un punto C sull’asse delle x in modo che l’area del triangolo ABC sia uguale a
4 3;
c) scritta l’equazione della parabola Γ1 passante per A , B e D (− 4;0 ), determinare sull’arco AB di
Γ1 il punto P per cui l’area del triangolo ABP è massima e determinare il valore massimo
dell’area.
Risoluzione del problema.
Determiniamo l’equazione di Γ utilizzando la funzione parabfv() costruita nell’unità didattica sulla
parabola e assegniamo l’espressione trovata alla funzione f :
Per il calcolo delle coordinate di A e B utilizziamo il comando SOLVE della calcolatrice; definiamo
poi le liste a e b contenenti le coordinate dei due punti:
Rappresentiamo graficamente la situazione.
In Y=EDITOR definiamo le due funzioni:
scegliamo una finestra adatta:
ed ecco il grafico:
Risoluzione di a).
Scriviamo l’equazione del fascio di rette generiche per A e imponiamo la condizione di tangenza:
Analogamente procediamo per B:
Risoluzione di b).
Un punto generico C dell’asse delle x ha coordinate (q;0) ; calcoliamo l’area del triangolo ABC e
imponiamo che sia uguale a 4 3 :
I punti C1 (4;0 ) e C 2 (− 4;0 ) soddisfano pertanto le condizioni richieste da b).
Risoluzione di c).
L’equazione di Γ1 si ottiene molto facilmente con la funzione parab3p():
Diamo un’occhiata alla situazione del problema (il triangolo APB è segnato in rosso):
Definita la lista con le coordinate di P, determiniamo l’espressione della funzione che fornisce
l’area al variare dell’ascissa di P:
e rappresentiamola graficamente per − 3 ≤ x ≤ 3 :
È immediato constatare che l’area massima
12 3
si ottiene per q = 0 , ossia con il punto P
13
sull’asse delle x:
Il lettore può provare a generalizzare il risultato ad ogni parabola del fascio avente A e B come
punti base.