Università degli Studi di Firenze
Facoltà di Scienze Politiche “Cesare Alfieri”
Variabili casuali discrete
Luciano Matrone
Aprile 2008
Variabile casuale Uniforme discreta
Dato il numero intero N si definisce variabile casuale Uniforme discreta di parametro N quella
che assume come valori gli N numeri interi da 1 a N ciascuno con la stessa probabilità.
Variabile casuale Uniforme
{1,2,3 , N }
X ~U N :
Pr X = x =
1
N
Determiniamo ora valore atteso e varianza di questa variabile. Iniziamo con il valore atteso
N
1 1
E X = ∑ m =
N N
m =1
N
∑m
m =1
che, tenendo conto di quanto dimostrato in appendice circa la somma dei primi N numeri interi,
diventa
E X =
1 N N 1 N 1
=
N
2
2
Per determinare la varianza ricordiamo che essa si può esprimere come valore atteso dei quadrati
meno il quadrato del valore atteso, cioè
2
var X =E X 2 −[ E X ]
Calcoliamo ora E X 2
N
1 1
E X = ∑ m
=
N N
m=1
2
2
N
∑ m2
m =1
che, tenendo conto di quanto dimostrato in appendice circa la somma dei quadrati dei primi N
numeri interi, diventa
E X 2=
1
N
[
]
1
1
N N 12 N 1 = N 12 N 1
6
6
che sostituita nella espressione della varianza insieme a quella del valore atteso ci permette di
scrivere
L.Matrone, Variabili casuali discrete
2
[
]
2
N 1
N 12
1
1
var X = N 12 N 1−
= N 12 N 1−
=
6
2
6
4
1
1
1
1
4 N 2−3 N −3
= N 1
2 N 1− N 1 = N 1
=
2
3
2
2
6
1
N 2−1
= N 1 N −1=
12
12
[
]
[
]
ed in conclusione quindi
N 2−1
var X =
12
L.Matrone, Variabili casuali discrete
3
Variabile casuale di Bernoulli
La variabile di Bernoulli costituisce un modello probabilistico idoneo a rappresentare quei
fenomeni che si manifestano attraverso due sole determinazioni, per esempio il genere: femmina,
maschio; il possesso di una laurea: laureato, non laureato; o più in generale il possesso o meno di
un determinato attributo.
Lo schema concettuale è quello di un'urna contenente palline tutte uguali di
struttura(grandezza,materiale,temperatura,superficie ecc.) di due colori diversi, per esempio bianco
e nero,
e l'esperimento consiste nell'estrarre dall'urna una pallina.
A seconda di quale delle due determinazioni (colore della pallina) è quella di interesse prevalente
nella indagine si associa ad essa la denominazione di successo. In definitiva si immagina un
esperimento casuale a due soli possibili risultati:
successo≡S e non successo o insuccesso≡
S
La variabile casuale di Bernoulli B si costruisce nel modo seguente:
insuccesso
si associa
0
successo
si associa
1
La funzione di probabilità associata sarà così definita:
{
Pr B=0=Pr
S =1−Pr S =1−
Pr B=1= Pr S =
⇔
P B=x = x 1−1− x
x=0,1
I valori che la variabile può assumere e la legge di probabilità associata possiamo indicarli come
segue
Variabile casuale di Bernoulli
X ~B :
{0,1 }
Pr X = x =x 1−1−x
Determiniamo ora il valore atteso e la varianza di X
E X =0⋅1−1⋅=
var X =0−2⋅1−1−2⋅=2⋅1−1−2⋅=⋅1−⋅[1−]=⋅1−
L.Matrone, Variabili casuali discrete
4
Variabile casuale Binomiale
Supponiamo di disporre di un numero finito n di urne bernoulliane tutte con la stessa probabilità
di successo
..............
U1
U2
U3
...............
Un
e quindi, come detto nel paragrafo precedente, ciascuna urna U i è descrivibile mediante una v.c. di
Bernoulli Bi ~B
{
Bi =
0
1
P r Bi =0=1−
P r Bi =1=
∀ i=1,2 ,n
L'esperimento consiste nell'estrarre da ciascuna urna una pallina; lo spazio dei risultati di una tale
S ottenuti nelle singole estrazioni,
prova è costituito dalle 2n successioni di n risultati elementari S o
e S seguendo lo schema costruttivo
ovvero delle successioni di 0 e 1 associati rispettivamente a S
della bernoulliana.
La v.c. Binomiale si costruisce associando a ciascuna successione il numero di successi in essa
contenuti ovvero la somma dei valori 0 e 1 associati a ciascuna estrazione.
Per esempio se n=5 uno dei possibili risultati della prova è la successione
S , S , S , S , S
numero successi=3
1,0 ,0 ,1,1
numero successi=10011=3
Con la definizione posta di v.c. Binomiale è evidente che essa può assumere solo i valori interi
da 0 (nessun successo nelle n prove) a n (tutti successi nelle n prove).
Per costruire la funzione di distribuzione di probabilità di questa v.c. bisognerà tener presente
che:
a) le singole estrazioni sono identicamente distribuite e stocasticamente indipendenti, ovvero la
probabilità che in una delle estrazioni si verifichi un successo è sempre qualunque risultato si
sia ottenuto in una qualunque delle altre estrazioni;
b) successioni diverse possono contenere lo stesso numero di successi.
In base alla considerazione a) la probabilità di ottenere una determinata successione contenente h
successi 0≤h≤n è data da h 1−n −h :infatti tale probabilità, tendo conto dell'indipendenza
delle singole estrazioni e del fatto che in ciascuna estrazione la probabilità di successo è , sarà
L.Matrone, Variabili casuali discrete
5
data dal prodotto di h fattori pari a e da n−h fattori uguali a 1− . Così per esempio la
probabilità della successione indicata prima si calcolerà, tenendo conto che ciascuna urna è descritta
da una berboulliana, nel modo seguente.
Pr [ 1,0 ,0 ,1 ,1 ]=Pr [ B1=1∩ B2=0∩ B3 =0∩ B4=1∩ B5=1 ]=
=Pr B1=1⋅Pr B 2=0⋅Pr B 3=0⋅Pr B 4=1⋅Pr B 5=1=
=⋅1−⋅1−⋅⋅=3 1−2
Per meglio mettere in evidenza il senso della b) osserviamo che in n=5 estrazioni le successioni
contenenti esattamente 3 successi sono in numero di 10: esse sono evidenziate di seguito:
1,1,1 ,0 ,0≡1
1,0,0 ,1 ,1≡6
1,1,0 ,1 ,0≡2
0,1,1 ,1 ,0≡7
1,1,0 ,0 ,1≡3
0,1,0 ,1 ,1≡8
1,0,1 ,1 ,0≡ 4
0,0 ,1,1 ,1≡9
1,0,1 ,0 ,1≡5
0,1,1 ,0 ,1≡10
tali successioni hanno tutte probabilità 3 1−2 e poiché solo una di esse si può verificare come
risultato della prova, sono cioè incompatibili i ∩ j=∅ ∀ i≠ j i , j=1,2 ,10 , la probabilità
che si verifichi una di esse, ovvero lo loro disgiunzione, è data dalla somma delle loro probabilità:
3
2
10⋅ 1− . Formalmente si scrive
Pr 3 successi in 5 prove =Pr 1∪ 2∪ 3∪ ∪10=
=Pr 1Pr 2 Pr 3⋯⋯Pr 10=10⋅3 1−2
In generale per determinare la probabilità che in n estrazioni si ottengano h successi sarà
dapprima necessario contare quante sono le successioni contenenti h successi e poi moltiplicare tale
numero per il fattore h 1−n −h che è la probabilità del verificarsi di una qualunque delle suddette
successioni. Il calcolo combinatorio ci fornisce le regole per determinare il numero di successioni
richiesto, esso è dato dall'espressione
n!
n =
h!n−h!
h
che va sotto il nome di coefficiente binomiale e che rappresenta il numero di combinazioni senza
ripetizione di n oggetti presi ad h a h (per una trattazione estesa degli argomenti fondamentali del
calcolo combinatorio si veda L.Vannucci P.L.Visani, Metodi matematici e applicazioni economicofinanziarie, vol. 1, Ed. Pitagora, Bologna.).
Nell'espressione precedente n! , h! ed n−h ! si leggono rispettivamente n fattoriale, h fattoriale
L.Matrone, Variabili casuali discrete
6
ed (n-h) fattoriale. In generale, dato un numero intero non negativo k, si definisce fattoriale di k o k
fattoriale il prodotto dei primi k numeri interi
k !=k⋅k −1⋅k −2⋯2⋅1
con la convenzione
0!=1
A questo punto possiamo scrivere compiutamente la probabilità di ottenere nelle n prove
bernoulliane h successi
Pr h successi in n prove bernoulliane indipendenti = n h 1−n−h
h
e quindi descrivere completamente la v.c. Binomiale indicando i valori da essa assumibili e la sua
funzione di probabilità
Variabile casuale Binomiale
X ~Bin n , : {0,1 ,2 ,n}
h
n−h
Pr X =h= n 1−
h
0≤h≤n
Anche se è evidente da quanto detto, osserviamo che la funzione di distribuzione di probabilità
della v.c. Binomiale è univocamente individuata quando si fissano i parametri n (numero di prove) e
(probabilità di successo in ogni prova).
Per completare la definizione di questa v.c. resta da dimostrare che
n
n
∑ Pr X =h=∑ nh h 1−n−h=1
h =0
h =0
la quale deriva direttamente dallo sviluppo della potenza n−ma di un binomio
n
n
1=[ 1−] =∑ n h 1−n−h
h=0 h
A questo punto sembra opportuno mettere in evidenza che l'esperimento indicato per costruire la
v.c. Binomiale è equivalente, in termini di eventi generati e probabilità associate, a quello di estrarre
da una sola urna bernoulliana n palline avendo l'accortezza di rimettere nell'urna la pallina estratta
dopo ogni estrazione: estrazioni con reintroduzione.
Come si è visto all'inizio il numero di successi nelle n prove si può determinare come la somma
dei risultati in ciascuna prova e quindi, tenendo conto che ciascuna estrazione è descritta da una
bernoulliana di parametro , si potrà scrivere
L.Matrone, Variabili casuali discrete
7
n
X =B1 B2⋯Bn =∑ Bi
i=1
ovvero essa è la somma di n v.c. di Bernoulli indipendenti ed identicamente distribuite.
Da questa osservazione e dalle proprietà del valore atteso e della varianza ed omettendo per
semplicità l'indicazione dei parametri n e , si possono derivare il valore atteso e la varianza della
Binomiale
[ ]
[∑ ] ∑
var X =var
n
n
n
i=1
i =1
i=1
∑ B i =∑ E Bi =∑ =n
E X =E
n
Bi =
i=1
n
i =1
n
n
var Bi ∑ ∑ cov Bi B j
i =1 j=1
j ≠i
per l'indipendenza e conseguente incorrelazione fra Bi e B j , cioè cov B i B j =0
var X =var
[ ]
n
n
i=1
i =1
∀ i ≠ j , si ha
∑ B i =∑ 1−=n 1−
Determinano ora la moda della Binomiale che è, ricordiamolo ancora, una variabile discreta e
quindi la sua moda va ricercata fra gli n1 valori 0,1,2 , ,n−1, n che può assumere, cioè
bisognerà individuare quel valore, diciamolo M 0 , per il quale si ha
Pr X = M 0 ≥Pr X =M 0i
Pr X = M 0 ≥Pr X =M 0− j
i=1,2 ,
j=1,2 ,
per almeno un valore di i e di j per i quali valga la stretta disuguaglianza.
Consideriamo a tale scopo la successione delle probabilità
Pr X =0 , Pr X =1 , Pr X =2 , Pr X =n−1 , Pr X =n
e cerchiamo di stabilire la relazione di disuguaglianza fra due suoi termini successivi. Per fare ciò
costruiamo il rapporto
R k =
Pr X =k
Pr X =k −1
k ∈1,2 , , n−1, n
e vediamo per quali valori di k esso si mantiene non inferiore ad 1, in altre parole cerchiamo quel o
quei valori di k ,se esistono, per i quali si possa scrivere
L.Matrone, Variabili casuali discrete
8
Pr X =k − j≤≤Pr X =k −1≤Pr X =k
Pr X =k ≥Pr X =k1≥≥Pr X =k i
per qualche valore di i e di j che ci permetterà di affermare che i k così determinati sono tutti mode
della nostra variabile e che saranno mode anche tutti quei valori minori o maggiori di k per i quali
vale il segno di uguaglianza.
Esplicitiamo ora R k
n 1−
k
R k =
k −1n 1−
k
k −1
=
n!
k !n−k !
n−k 1
=
=
=
n−k1
n!
k
1−
1−
k −1!n−k 1!
n−k
n1−k 1− k −1− k 1−k [n1−k −k k ]
n1−k
=
=1
1−k
1−k
1−k
e quindi
R k =1
n1 −k
≥1
1− k
⇔
n1−k
≥0 ⇔n1−k ≥0
1−k
ed in definitiva
R k ≥1 cioè Pr X =k ≥Pr X =k −1
⇔
k≤n1
che dimostra che esiste un unico numero reale n1 che suddivide la successione dei valori
assumibili dalla binomiale in due successioni quella costituita dai valori non superiori ad esso e per
i quali la successione delle probabilità è non decrescente e quella dei valori superiori ad esso per i
quali la successione delle probabilità è non crescente.
A questo punto dobbiamo distinguere due casi a seconda che n1 sia un numero intero o meno
e quindi che sia o meno un valore assumibile dalla Binomiale.
a) Se n1 è un numero intero allora esso è un valore assumibile dalla Binomiale per il
quale si ha, tenendo conto di quanto visto per il rapporto R k ,
R [ n1]=1
⇔
Pr [ X =n1]=Pr [ X =n1−1]
e quindi la successione delle probabilità sarà così ordinata
L.Matrone, Variabili casuali discrete
9
Pr X =0Pr X =1Pr [ X =n1−1]=Pr [ X =n1]
Pr [ X =n1−1 ]= Pr [ X =n1] Pr X =n
che mette in evidenza che la funzione di probabilità della Binomiale assume il massimo nei
due punti
M 1=[ n1−1 ]=n −1− e M 2=n1=n
che rappresentano altrettante mode: la distribuzione è bimodale.
Osserviamo ora che poiché il valore atteso della binomiale è n si ha
M 1=[ n1−1 ]=n −1−≤n ≤n =n1=M 2
che ci permette di concludere che il valore atteso della Binomiale è compreso fra i due valori
modali.
b) Se n1 non è un numero intero allora esso non è un valore assumibile dalla binomiale.
Se indichiamo con 〚c〛 il massimo intero contenuto nel numero reale c allora
M 0=〚n1〛
è un numero intero tale che la successione delle probabilità viene così ordinata
Pr X =0Pr X =1Pr X =M 0−1Pr X =M 0
Pr X = M 0 Pr X =M 01Pr X =n
dalla quale si può concludere che la variabile ha una sola moda data da M 0 .
Anche in questo caso cerchiamo di stabilire la posizione della moda rispetto alla media. Per
fare ciò osserviamo innanzitutto che dato un qualunque numero reale 0 su può scrivere
=〚〛 con 0≤1
ed inoltre che per un qualunque numero intero positivo m si ha
〚m〛=〚〚〛m〛=〚〚〛m 〛=〚〛m
Si può ora scrivere
L.Matrone, Variabili casuali discrete
10
n=〚n 〛
n1 =n =〚n 〛
0≤1
01
e ponendo
=
02
si ha
M 0=〚n1〛=〚〚n 〛〛
Per stabilire la posizione della moda rispetto alla media bisognerà analizzare le due
situazioni individuate dal fatto che sia maggiore o minore di 1.
●
01
⇔
1−
M 0=〚〚n 〛〛=〚n 〛n
la moda è minore della media
●
1≤=12
⇔
1−≤2− 0≤1
M 0=〚〚n 〛〛=〚〚n 〛1〛=〚n 〛1n
la moda è maggiore della media
L.Matrone, Variabili casuali discrete
11
Variabile casuale Binomiale relativa
Con una semplice trasformazione della Binomiale Y ~Bin n , si ottiene la v.c. Binomiale
relativa X ~Binr n ,
X=
Y
n
che descrive la proporzione di successi in n prove bernoulliane indipendenti, essa assume
ovviamente i valori
0
1
2
n
=0 ,
,
, , =1
n
n
n
n
con probabilità data da
Pr X =
h
= Pr Y =h = n h 1−n −h
n
h
in definitiva si può scrivere
Variabile casuale Binomiale relativa
X ~Binr n , :
{0n =0 , 1n
Pr X =
h
h
n−h
= n 1−
n
h
,
}
2
n
, , =1
n
n
0≤h≤n
Il valore atteso e la varianza di questa variabile si determinano facilmente ricordando che
E Y =n e var Y =n 1−
E [ X ]= E
var [ X ]=var
L.Matrone, Variabili casuali discrete
[]
Y
1
1
= E [ Y ]= n =
n
n
n
[]
1−
Y
1
1
= 2 var [ Y ]= 2 n 1−=
n
n
n
n
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Variabile casuale Ipergeometrica
Supponiamo di disporre di un'urna contenente N palline di cui b sono di un certo colore, per
esempio bianche, e le rimanenti r =N −b di un altro colore, per esempio rosse.
L'esperimento che effettuiamo consiste nell'estrarre da tale urna n palline senza reintrodurre la
pallina estratta dopo ciascuna estrazione: estrazione senza reintroduzione o in blocchi. Anche in
questo caso, come per le v.c. di Bernoulli e Binomiale, possiamo indicare uno dei due possibili
risultati, pallina bianca o pallina rossa, in ciascuna prova come successo≡S e l'altro come
non successo o insuccesso≡
S : assumeremo come successo l'estrazione di pallina bianca.
La v.c. Ipergeometrica è definita come il numero dei successi nelle n prove. Osserviamo subito
che questa variabile, come la binomiale, rappresenta il conteggio dei successi nelle n prove ma, a
differenza della binomiale nella quale la prova viene effettuata con reintroduzione, qui le prove
vengono effettuate senza reintroduzione.
Il fatto che le prove avvengano senza reintroduzione implica che:
a)
b)
la variabile non necessariamente assume valori da zero ad n ;
la probabilità di un successo cambia da estrazione ad estrazione: i risultati nelle singole
prove non sono indipendenti.
Con riferimento alla a) possiamo osservare che se indichiamo con x il numero dei successi nelle
n prove valgono le seguenti relazioni:
Se
Se
Se
Se
⇒ 0≤ x≤n
{b≥n
r ≥n
⇒ 0≤ x≤b
{bn
r ≥n
⇒ n−r ≤x ≤n
{b≥n
r n
⇒ n−r ≤x ≤b
{bn
r n
}
⇒ max 0, n−r ≤x ≤min b , n
la condizione finale mette in evidenza che non per tutte le composizioni dell'urna la variabile
casuale Ipergeometrica assume valori da zero ad n .
Supponiamo per il momento che si abbia b≥n e r ≥n ed indichiamo con S i il successo e con S i
il non successo alla i-ma estrazione. Diciamo A la seguente particolare successione delle n
estrazioni contenente x successi ed n− x insuccessi:
A={S 1 , S 2 , , S x , S x1 , S x2 , S n}
e calcoliamo la sua probabilità
L.Matrone, Variabili casuali discrete
13
Pr A= Pr S 1∩S 2∩∩S x ∩S x1∩S x2∩∩S n
che sarà data dal prodotto delle seguenti n probabilità
Pr S 1=
b
N
Pr S 2 ∣ S 1=
⋮
b−1
N −1
b− x−1
N − x −1
r
Pr S x1 ∣ S 1∩S 2∩∩S x =
N −x
⋮
Pr S x ∣ S 1∩S 2∩∩S x −1 =
Pr S n ∣ S 1∩S 2∩∩S x ∩S x1∩S x2∩∩S n−1=
r−n−1− x
N −n−1
ciascuna delle quali è stata determinata mediante il rapporto fra il numero di palline successo
(insuccesso) presenti nell'urna ad una certa estrazione ed il numero di palline rimaste nell'urna alla
medesima estrazione; ovvero come numero dei casi favorevoli diviso il numero dei casi possibili,
tenendo conto che le estrazioni sono effettuate senza reintroduzione.
In conclusione quindi
Pr A=
b− x−1
r − n−1−x
b b−1
r
⋅
⋯⋯
⋅
⋯⋯
N N −1
N − x −1 N − x
N −n−1
Osserviamo ora che, per la proprietà commutativa del prodotto, la precedente probabilità si potrà
anche scrivere
Pr A=
b− x−2 b− x−1
r−n−1− x
r
b
⋅
⋯⋯
⋅
⋯⋯
N N −1
N − x −1 N −x
N −n−1
che non è altro che la probabilità della successione di estrazioni
B={S 1 , S 2 , , S x , S x 1 , S x2 , S n }
che costituisce ancora una estrazione con x successi ed n− x insuccessi. Questa osservazione ci
induce a concludere che ciascun ordinamento degli n fattori del numeratore rappresenterà la
probabilità di una ben determinata successione di successi ed insuccessi ma sempre con la
caratteristica di contenere x successi ed n− x insuccessi. Il numero dei diversi allineamenti
contenenti x successi ed n− x insuccessi sarà dato, come nel caso della Binomiale, dal numero
delle combinazioni di n oggetti a x a x . Questi diversi allineamenti costituiscono un insieme di
eventi incompatibili e quindi la probabilità che si verifichi uno di essi è data dalla somma delle loro
L.Matrone, Variabili casuali discrete
14
probabilità. Poiché sono equiprobabili, tale probabilità sarà data dal prodotto del loro numero per la
probabilità di uno di essi. In definitiva quindi
Pr x successi in n prove bernoulliane senza reintroduzione = n Pr A
x
Indicando ora con X ~H N , b , n la nostra v.c. Ipergeometrica possiamo dire che essa assume,
nella nostra situazione ( b≥n e r ≥n ), valori interi da zero a n con una funzione di distribuzione di
probabilità data da
Pr X = x= n Pr A
x
Detti ora h e k due numeri interi positivi tali che k ≥h0 poniamo
D k , h=k⋅k −1⋅k −2⋅⋯k −h−1
che rappresenta il numero delle disposizioni semplici di k oggetti ad h ad h . Moltiplichiamo ora i
due membri dell'uguaglianza precedente per k −h! si avrà
D k , h⋅ k−h!=k⋅k −1⋅k −2⋅⋯k −h−1⋅k −h!=k!
che rappresenta il numero delle permutazioni semplici di k oggetti. Con queste notazioni possiamo
scrivere
Pr A=
Db , x⋅D r ,n− x
DN ,n
e quindi
D b , x⋅Dr , n−x
Db , x⋅Dr , n− x
n!
Pr H =x = n
=
=
D N ,n
x !n−x !
DN ,n
x
=
Db , x⋅b−x !⋅Dr , n− x⋅r −n−x !
N −n!
n!
=
x !n−x !
D N ,n⋅ N −n!
b− x !⋅r −n− x !
=
n!
b!⋅r !
N −n!
=
x !n−x ! N ! b−x !⋅r −n−x !
(1)
n−r x
Nn
b!
r!
b
x
x!⋅b−x ! n− x !⋅r −n− x !
=
=
N!
n!⋅ N −n !
L.Matrone, Variabili casuali discrete
15
che mette in evidenza il fatto che la probabilità calcolata è data dal rapporto fra numero dei casi
favorevoli e numero dei casi possibili; infatti il denominatore della frazione rappresenta il numero
delle possibili successioni (disposizioni semplici) di classe n che si possono formare con le N
palline contenute nell'urna mentre il numeratore rappresenta il prodotto fra il numero di
raggruppamenti (disposizioni semplici) di classe x che si possono formare con le b palline successo
ed il numero di raggruppamenti (disposizioni semplici) di classe n− x che si possono formare con
le r palline insuccesso e quindi in definitiva il numero di successioni contenenti x successi ed
n− x insuccessi.
Al fine di completare la definizione della funzione di distribuzione di probabilità bisognerà
dimostrare che
=1
∑
b
x
n
r
n− x
(2)
N
n
x =0
Una dimostrazione sintetica può essere effettuata come segue mentre una dimostrazione analitica
è presentata in appendice.
Osserviamo che il valore x è immagine dell'evento A x ≡ H =x costituito da tutte le successioni
che contengono x successi ed n−x insuccessi, tale evento ha probabilità data dalla (1). Questi
n1 eventi formano una partizione dello spazio campionario in quanto
Ai ∩ A j =∅
∀ i≠ j
i , j=0,1 ,2 , , n
A0 ∪ A1∪⋯∪ A n−1∪ An= I ≡{ Evento certo }
e di conseguenza
Pr A 0∪ A1∪⋯∪ A n−1
b
r
x n−x
∪ A =∑ Pr A =∑
Nn
n
n
x=0
n
x
x=0
ma d'altra parte si ha pure
Pr A 0∪ A1∪⋯∪ A n−1∪ An =Pr I =1
e quindi la (2).
Possiamo a questo punto rimuovere le condizioni poste inizialmente b≥n e r ≥n ponendo
=0 ∀ ∈ℕ
L.Matrone, Variabili casuali discrete
16
posizione che, con riferimento alla situazione che stiamo analizzando, verrebbe utilizzata quando si
tentasse di valutare la probabilità di ottenere nelle n estrazioni un numero di successi maggiore del
numero dei successi contenuti nell'urna: un tale evento è impossibile con probabilità pari a zero,
così come la nostra posizione ci induce a concludere.
In definitiva possiamo dire che la v.c. X è una Ipergeometrica di parametri N , b , n quando
assume valori e relative probabilità come indicato qui di seguito dove si è posto r =N −b
Variabile casuale Ipergeometrica
X ~H N , b , n
max 0, n−r ≤x ≤min b , n
b
r
x n− x
Pr X = x =
Nn
dove
n≤N e r= N −b
Come detto per la Binomiale anche la Ipergeometrica può essere rappresentata come somma di n
variabili casuali Bernoulliane Bi ~B
n
X =B1 B2⋯ Bn=∑ Bi
(3)
i =1
che in questo caso, però, non sono indipendenti poiché, come si è visto, la probabilità di successo, e
quindi di insuccesso, cambia da estrazione a estrazione a seconda di ciò che si è verificato nelle
estrazioni precedenti; resta la condizione che esse sono identicamente distribuite con probabilità di
successo =b / N : cioè la probabilità che alla i-ma estrazione si ottenga un successo qualunque
cosa si sia verificata nelle altre n−1 estrazioni è data da come qui di seguito mostreremo. A tale
scopo indichiamo quindi con Am una particolare successione di estrazioni nella quale alla i-ma
prova si è ottenuto un successo
Am ={ 1 , 2 , , i −1 , S , i , , n−1}
in quest'ultima ciascun j
j=1,2 , , n−1 può rappresentare sia un successo che un insuccesso.
Supponiamo ora che in Am vi siano h successi e k insuccessi, tenendo conto che un successo è
certamente presente, sarà ovviamente 1≤h≤n e 0≤k ≤n−1 . Utilizzando la proprietà commutativa
del prodotto e ricordando quanto visto circa il calcolo della probabilità di una particolare
successione di estrazioni, la probabilità di Am si potrà scrivere
L.Matrone, Variabili casuali discrete
17
Pr Am =Pr 1 , 2 , , i −1 , S , i , , n−1=
bb−1⋯ b−h1 r r −1⋯r −k 1
=
N N −1N −2⋯ N −n1
=
b
N
[
b−1⋯b−h1r r−1⋯r−k 1
=
N −1 N −2⋯ N −n1
]
=
b
N
[
b−1⋯b−1−h−11 r r −1⋯r−k 1
N −1 N −2⋯ N −1−n−11
]
nella quale l'espressione tra parentesi quadre rappresenta la probabilità di estrarre, in n−1 prove
senza reintroduzione, da un'urna contenente N −1 palline, di cui b−1 successi ed r insuccessi,
una determinata successione A*m contenente h−1 successi e k =n−1−h−1=n−h insuccessi.
Osserviamo ora che le successioni Am e A*m sono in corrispondenza biunivoca ed il loro numero è
dato da 2n−1 , pari cioè alle disposizioni con ripetizione di due oggetti S , S presi ad n−1 ad
n−1 ; si ha inoltre
A j ∩ Al =∅ ∀ j≠l
2
j , l=1,2 ,,2
n−1
n−1
A j ={alla i -ma prova nelle n estrazioni si è ottenuto un successo}={Bi =1}
j =1
e
j ,l=1,2 ,,2n −1
A*j ∩ A*l =∅ ∀ j≠l
2
n−1
A*j ={in n−1 estrazioni da un'urna contenente N −1 palline di cui b−1
j =1
successi si è ottenuto un qualunque numero di successi }={evento certo }=I
e di conseguenza
1=Pr I =Pr
∑
2
2
n−1
A
j=1
*
j
n−1
=
j=1
Pr A*j
ed ancora
Pr B i=1 =Pr
∑
2
2
n−1
j=1
Aj =
n−1
j =1
2
n −1
Pr A j =∑
j =1
b
b
Pr A*j =
N
N
n −1
2
b
∑ Pr A *j = N
j =1
e di conseguenza
Pr B i=0=1−
L.Matrone, Variabili casuali discrete
b N −b r
=
=
N
N
N
18
e ciò dimostra che ciascuna variabile Bi si distribuisce come una bernoulliana di parametro =b / N
Utilizzando questo risultato possiamo facilmente determinare il valore atteso della variabile
casuale ipergeometrica. Dalla (3) e dalle proprietà del valore atteso si ha
E X =E
[ ]
n
n
n
i=1
i=1
i=1
∑ Bi =∑ E Bi =∑ =n
Per determinare la varianza possiamo procedere come segue
var X =var
[∑ ] ∑
n
Bi =
i=1
n
i =1
n
n
n
n
n
n
var Bi ∑ ∑ cov B i B j =∑ 1−∑ ∑ cov Bi B j =
i =1 j=1
j ≠i
i =1
i=1 j =1
j≠i
n
=n 1−∑ ∑ cov B i B j
i =1 j =1
j ≠i
ora, poiché le v.c. bernoulliane Bi e B j non sono indipendenti, non si può affermare che cov B i B j
è uguale a zero e si dovrà quindi stabilire quanto essa vale. A tale scopo costruiamo la distribuzione
doppia di probabilità Bi , B j
Bj
Bi ∣
0
1
∣
---- ∣ ------------- ------------- ∣ ------------r r −1
r
b
r
0 ∣
⋅
⋅
∣
=1−
N N −1
N N −1
N
b
r
b b−1
b
1 ∣
⋅
⋅
∣
=
N N −1
N N −1
N
---- ∣ ------------- ------------- ∣ ------------r
b
∣
=1−
=
∣
1
N
N
e quindi si avrà
r r −1
r b
0−E Bi 1− E B j
N N −1
N N −1
b r
b b−1
1−E Bi 0−E B j
1−E Bi 1− E B j
=
N N −1
N N −1
r−1
r
=−−1−
−1−
N −1
N −1
r
b−1
1−−
1−1−
=
N −1
N −1
r −1
r
r
b−1
=2 1−
−2 1−
−2 1−
1−2
=
N −1
N −1
N −1
N −1
1−
=
[ r−1−2 r1−b−1 ]
N −1
cov Bi B j = 0− E Bi 0− E B j
L.Matrone, Variabili casuali discrete
19
1−
[ r −−2 r b−1−b ]=
N −1
1−
1−
=
− r −bb−1 ]=
[
[−r bb−1 ]=
N −1
N −1
1−
1−
1−
b 1
=
− N b−1]=
N − −
=−
[
N −1
N −1
N N
N −1
cov Bi B j =
[
]
Possiamo a questo punto determinare la varianza della v.c. ipergeometrica:
n
n
var X =n 1−∑ ∑ cov Bi B j =n 1−nn−1
[
i=1 j=1
j≠i
=n 1− 1−
L.Matrone, Variabili casuali discrete
−1−
=
N −1
]
n−1
N −n
=n 1−
N −1
N −1
20
Variabile casuale Trinomiale
Si consideri un'urna contenente un certo numero di palline delle quali alcune sono di colore
bianco (W), altre di colore rosso (R) ed altre ancora di colore verde (G) e si ipotizzi che le singole
palline sono equiprobabili. Indichiamo con
p 1=Pr W
p 2= Pr R
p 3= Pr G =1− p 1 p 2
le probabilità di estrazione di una pallina di ciascuno dei tre colori.
L'esperimento consiste nell'estrarre, con reintroduzione, n palline dall'urna e di conseguenza il
risultato della prova è una successione casuale degli eventi elementari W, R e G. Un possibile
risultato di un tale esperimento, che denotiamo con A, è quello di seguito indicato
A≡WWW
⋯⋯W
RRR ⋯⋯ R
GG G ⋯⋯G
x 1 volte
x 3 =n − x 1 x 2 volte
x 2 volte
la cui probabilità, tenendo conto che le n sotto prove sono indipendenti in quanto le estrazioni
avvengono con reitroduzione, è data da
Pr A = p1 p2 p 3 = p 1 p 2 p3
x1
x2
x3
x1
x2
n− x 1 x 2
con x 1 x 2 x 3=n e p 1 p 2 p3=1 .
Cerchiamo ora di contare il numero di eventi (successioni casuali) nei quali il numero di palline
W, R e G è pari rispettivamente pari a x 1 , x 2 e x 3 . Per effettuare tale conteggio possiamo dapprima
contare il numero di successioni nelle quali si presentano x 1 palline W che è dato da
C n , x 1= n
x1
e poi contare il numero di successioni che si possono formare da ciascuna delle C n , x 1 contenenti
x 1 palline W che contengono x 2 palline R nelle n− x 1 posizioni rimanenti sotto il vincolo che
x 1 x 2≤n , tale numero è dato da
C n−x 1 , x 2 =
n−x 1
x2
in conclusione quindi il numero di eventi (successioni casuali) nei quali il numero di palline W, R e
G è pari rispettivamente pari a x 1 , x 2 e x 3 sarà dato da
[ x 1 , x 2 , x 3=n− x 1 x 2 ]= x 1 , x 2 =C n , x 1C n− x 1 , x 2 = n
x1
L.Matrone, Variabili casuali discrete
n− x 1
x2
21
e ciascuno di questi x 1 , x 2 eventi ha probabilità uguale a quella di A e poiché sono a due a due
incompatibili la probabilità che si verifichi uno di essi sarà data dalla somma delle probabilità che si
verifichi uno di essi, ovvero
x 1 , x 2
∑
j =1
x1
x2
n− x 1x 2
p1 p 2 p 3
n−x 1 x x n− x x
p1 p 2 p 3
x2
= n
x1
1
2
1
(4)
2
ovviamente sotto la condizione che x 1 x 2≤n . Osserviamo che scambiando i ruoli di x 1 e x 2 nei
coefficienti binomiali la precedente probabilità si scriverà
n
x2
n−x 2 x x n− x x
p1 p 2 p 3
x1
1
2
1
(5)
2
e si può facilmente dimostrare che la (4) e la (5) sono uguali come d'altronde il loro stesso senso ci
indica infatti rappresentano entrambe la probabilità di ottenere nelle n estrazioni x 2 palline R, x 1
palline W e n− x 1x 2 palline G.
Possiamo a questo punto definire la variabile casuale Trinomiale che è una discreta doppia nel
modo seguente
Variabile casuale Trinomiale
X 1 , X 2 ~Tr n , p 1 , p 2
{
0≤ x 1≤n
n− x 1≤x 2≤n
x 1 e x 2 numeri interi
x 1 , x 2 ; n , p1 , p2 =Pr X 1=x 1 , X 2= x 2 = n
x1
n−x 1 p x p x p n− x x
1
2
3
x2
1
2
1
2
dove
p3 =1− p1 p 2
ovvero in maniera del tutto equivalente
Variabile casuale Trinomiale
X 1 , X 2 ~Tr n , p 1 , p 2
{
0≤ x 2≤n
n− x 2≤ x 1≤n
x 1 e x 2 numeri interi
x 1 , x 2 ; n , p1 , p2 =Pr X 1=x 1 , X 2= x 2 = n
x2
x
x
n− x x
n−x 2
p1 p 2 p 3
x1
1
2
1
2
dove
p3 =1− p1 p 2
L.Matrone, Variabili casuali discrete
22
Bisogna ora dimostrare che la funzione di distribuzione di probabilità è ben definita cioè è
sempre non negativa e la somma dei suoi valori è uguale ad uno. La prima delle due condizioni è
soddisfatta in quanto i valori di sono probabilità; la seconda si può dimostrare come segue
n
n−x 1
∑ ∑
x 1 =0
x 2=0
n
x1
n
n−x 1 p x p x p n− x x =
1
2
3
x2
1
2
1
2
∑
x 1 =0
n− x1
n px
x1 1
1
p
∑ n−x
x
x2
2
1
n−x 1 −x 2
p3
=
2
x 2 =0
n
∑ xn p p p
x1
1
x 1 =0
n−x 1
2
3
= p 1 p 2 p3 n=1n =1
1
che è quello che si voleva dimostrare.
Determiniamo ora la funzione di distribuzione di probabilità della marginale X 1
n−x 1
X x 1 ; n , p 1=
1
∑
x 2=0
n
x1
n−x 1
x
n− x 1 x x n− x x
p1 p2 p3
= n p1
x1
x2
= n p p 2 p 3
x1
x1
1
n−x 1
1
2
1
2
= n p 1− p 1
x1
x1
1
1
∑ n−x x p
1
x2
2
n− x 1− x 2
p3
=
2
x2 =0
n− x 1
che mette in evidenza che X 1 si distribuisce come una variabile casuale Binomiale di parametri n e
p 1 : X 1~ Bin n , p1 .In maniera del tutto analoga si può dimostrare che X 2 ~Bin n , p2 e quindi si
avrà
E X 1 =n p 1
E X 2 =n p 2
var X 1 =n p 1 1− p 1
var X 2 =n p 2 1− p2
Costruiamo la funzione di distribuzione di probabilità della variabile condizionata X 2 / X 1= x 1
che per la definizione di distribuzione condizionata si otterrà come segue
X
2
/ X1
x 2=
x 1 , x 2
X x 1
1
=
n
x1
n− x 1 x x n− x x
p1 p2 p 3
x2
1
2
1
n p x 1− p n −x
1
1
x1
1
x2
n− x 1− x 2
1
2
=
p2 p3
n− x 1
n− x 1
=
=
n− x −x
x
x 2 p 2 p 3
p2 p 3
x2
1
2
2
x2
n− x 1− x 2
n−x 1 p 2 p 3
=
x 2 p 2 p 3 n −x
p2
p2 p 3
1
x2
p3
p 2 p 3
n−x 1 −x 2
l'espressione della funzione di distribuzione di probabilità appena ottenuta mette in evidenza che la
p2
variabile X 2 / X 1= x 1 si distribuisce come una Binomiale di parametri n− x 1 e
se si
p 2 p3
tiene conto del fatto che
L.Matrone, Variabili casuali discrete
23
p3
p2
=1−
p 2 p3
p 2 p 3
essa assume i valori 0,1 ,2 , ,n−x 1 e valore atteso E [ X 2 / X 1= x 1 ]=n−x 1
p2
p 2 p 3
In maniera analoga si può dimostrare che
X 1 / X 2= x 2~ Bin n− x 2 ,
p1
p 1 p 3
La funzione di distribuzione di probabilità della Trinomiale utilizzando i risultati ottenuti si potrà
scrivere
x 1 , x 2 = X x 1 X
1
2
/X 1
x
n−x
x 2= n p1 1− p1
x1
1
1
n−x 1
x2
x2
p2
p 2 p 3
p3
p 2 p 3
n− x 1−x 2
che utilizzeremo per determinare la covarianza fra le componenti X 1 e X 2 della nostra variabile
doppia. Cominciamo con il ricordare che
cov X 1 , X 2= E X 1 X 2 − E X 1 E X 2
e quindi cominciamo con il calcolare
n
E X 1 X 2 =
1
n
2
1
n−x 1
1
x 1=0
n−x 1
1
2
x 2 =0
n
∑x
1
x 1 =0
2
x 2 =0
∑∑x x
x 1 =0
=
n
∑ ∑ x x x , x =∑ ∑ x x
x 1=0
=
n−x 1
X1
1
1
[∑
n−x 1
1
x2
x 2=0
x 1 X
2
/X 1
x 2 =
x2 =0
n p x 1− p n− x n−x 1
1
1
x1
x2
n p x 1− p n− x
1
1
x1
1
2
p2
p 2 p3
n−x 1
x2
p2
p 2 p3
x2
p3
p2 p3
x2
p3
p2 p3
n− x 1− x 2
=
n− x 1− x 2
]
e tenendo conto che l'espressione in parentesi quadra è il valore atteso di [ X 2 / X 1=x 1 ] e che
p 2 p 3=1− p 1 la su indicata espressione si può scrivere
E [ X 2 / X 1= x 1 ]=n−x 1
p2
1− p 1
e di conseguenza si ha
L.Matrone, Variabili casuali discrete
24
n
E X 1 X 2 =
∑ x xn p
1
x1
1
n− x 1
1− p 1
n−x 1
1
x 1 =0
p2
=
1− p 1
n
= p2
∑ x xn p 1− p
n−1− x 1
x1
1
1
1
n− x 1
1
x 1=0
osservando che per x 1=0 e x 1=n i corrispondenti termini della somma sono nulli e esplicitando il
coefficiente binomiale
n−1
E X 1 X 2 = p 2
n!
p 1− p
∑ x x !n−
x !
x 1 =1
n−1−x 1
x1
1
1
1
1
n− x 1=
1
n−1
=n n−1 p 1 p 2
n−2!
p
∑ x −1!n−x
−1!
x 1 =1
1
x 1−1
1
1− p 1
n− x 1−1
1
ponendo ora t =x 1−1 si ha
x 1=1
⇔ t =0
x 1=n−1 ⇔ t =n−2
x 1=t 1
n− x 1−1=n−2−t
e sostituendo nella somma
n−2
E X 1 X 2 =n n−1 p 1 p 2
n−2!
p 1− p
∑ t !n−2−t
!
t
1
n −2 −t
1
=nn−1 p 1 p2 [ p 11− p 1]n−2=
t=0
=n n−1 p1 p 2
ed in conclusione
cov X 1 , X 2=E X 1 X 2− E X 1 E X 2=
=n n−1 p 1 p 2−np1 np 2=
=−n p 1 p2
L.Matrone, Variabili casuali discrete
25
Appendice
Somma dei primi N numeri interi
Consideriamo i numeri interi {1,2 ,3 , , N } ci riproponiamo di determinare la loro somma che
indicheremo con S . Ciò posto possiamo scrivere
S =123⋯ N
S =N N −1 N −2⋯1
e sommando membro a membro si ha
2S=N 1[ N −12 ]⋯ N 1
2S=N 1 N 1⋯ N 1
2S=N N 1
ed in definitiva
S=
N N 1
2
Somma dei numeri interi da h a k
Consideriamo due numeri interi hk vogliamo determinare la somma T dei numeri interi tra h e
k compresi gli estremi, cioè
T =hh1h2⋯k −1k
tenendo conto che si può scrivere k =hk −h e h=h−11 si avrà
T =[ h−11 ][h−111 ][ h−112 ]⋯[ h−11k −h−1−1]=
=[ h−11 ][h−12] [ h−13 ][ h−1k −h−1]=
=[ k −h−1] h−1[ 123⋯k −h−1 ]
Ricordando ora l'espressione trovata per la somma dei primi N numeri interi la possiamo
utilizzare per calcolare la somma dei primi [ k −h−1] che sarà data da
[k −h−1][ k−h−11 ] [ k −h−1 ][ k −h2 ]
2
=
2
e quindi T diventa
L.Matrone, Variabili casuali discrete
26
T =[ k −h−1 ] h−1
=[ k −h−1]
[ k −h−1][ k −h2 ]
2
[
=[ k −h−1] h−1
2h−2k −h2
2
[ k−h2 ]
2
]
=
ed in conclusione si ha
T=
[k −h−1 ][ k h ]
2
Somma dei quadrati dei primi N numeri interi
Consideriamo i numeri interi {1,2 ,3 , , N } ci riproponiamo di determinare la somma dei loro
quadrati che indicheremo con Q che si scriverà
N
Q=1 2 3 ⋯N = ∑ m2
2
2
2
2
m=1
Al fine di determinare Q procederemo utilizzando un artificio.
Si consideri la seguente successione
a m=m13−m 3
m=1,2 ,3 ,
e determiniamo la somma dei suoi primi N termini
N
N
N
N
N
S N = ∑ [ m1 −m ]= ∑ [ m −3m 3m1−m ]= ∑ [ 3m 3m1]=3 ∑ m 3 ∑ mN
3
m=1
3
3
m =1
2
3
2
m=1
2
m =1
m =1
Calcoliamo ora i valori di a m per m=1,2 ,3 , N e sommiamoli utilizzando lo schema che segue
m
a m=m13−m 3
1
23 −13
2
3 3 − 23
3
4 3 − 3 3
4
53 − 43
⋮
⋮
N
N 13 − N 3 =
=N 13−1=S N
L.Matrone, Variabili casuali discrete
27
e quindi si avrà
N
N
3 ∑ m 3 ∑ mN = N 13−1
2
m=1
m=1
e ricordando l'espressione della somma dei primi N numeri interi la precedente si scrive
N
3 ∑ m23
m=1
N N 1
N = N 13−1
2
dalla quale si ricava
N
N N 1
−N =
2
3
= N 33N 33N1−1− N N 1− N =
2
1
= [ 2N 36N 26N−3N 2−3N −2N ]=
2
1
1
= [ 2N 33N 2 N ]= N 2N22NN 1=
2
2
1
1
= N [ 2N N 1 N 1 ]= N N 1 2N1
2
2
3 ∑ m2= N 13−1−3
m=1
ed in conclusione
N
1
Q= ∑ m 2= N N 1 2N 1
6
m=1
L.Matrone, Variabili casuali discrete
28
La funzione di distribuzione di probabilità della Ipergeometrica è ben definita
Bisogna dimostrare in modo analitico che
bxn−r x=1
∑ Nn
n
x =0
ovvero che
n
r = N
∑ bxn−x
n
(A1)
x=0
nelle quali r =N −b .
La dimostrazione procederà in due fasi, una prima parte nella quale sarà determinata una identità
fra i coefficienti di due polinomi dello stesso grado ed una seconda nella quale, utilizzando il
risultato ottenuto, sarà dimostrato il nostro asserto.
Consideriamo i seguenti tre polinomi di grado b , N −b e N rispettivamente
b
P b z =∑ i z
i
i =0
N −b
P N −b z = ∑ j z
N
P N z =∑ k z k
j
j=0
k=0
e poniamo
N
Q N z =P b z ⋅P N−b z =∑ k z k
k=0
che è un polinomio di grado N come P N z e quindi per il principio di identità dei polinomi
P N z =Q N z
⇔
k = k
(A2)
∀ k =1,2 , , N
Con le definizioni poste si potrà scrivere
N
b
N −b
b
N −b
Q N z =∑ k z =P b z ⋅P N −b z =∑ i z ⋅∑ j z =∑ ∑ i j z i j
k
k=0
i
i=0
fissiamo ora un n tale che 0≤n≤N e poniamo i=0
j=0
j
(A3)
i =0 j =0
∀ ib e j =0
∀ jN −b ; i monomi di
grado n nell'ultima espressione in (A3), ovvero quelli che contengono la potenza z n , si otterranno
considerando le coppie di valori interi i e j per i quali i j=n e che possiamo evidenziare mediante
L.Matrone, Variabili casuali discrete
29
lo schema seguente
0
1
2
⋯ n
n n−1 n−2 ⋯ 0
n
n
n
⋯ n
i=
j=
i j=
e quindi i monomi di potenza n sono dati da
x n− x z n
con
x=0,1,2 ,n
e la loro somma costituirà il termine di potenza n del polinomio Q N z ed in definitiva sarà
n
n =∑ x n−x =n
(A4)
x=0
in ragione della (A2). Ciò conclude la prima fase della nostra dimostrazione.
Poniamo ora
b
b
∑ biz
P b z =∑ i z = 1 z =
b
i
i=0
i
i = b
i
⇒
j = N −b
j
⇒
k = N
k
i=0
N −b
N −b
P N −b z = ∑ j z j=1z
N −b
=
j=0
z
∑ N −b
j
j
j=0
N
N
P N z =∑ k z =1z =
k
N
k=0
∑ Nk z
k
k =0
⇒
nelle quali si è utilizzato il principio di identità dei polinomi; poiché vale la seguente identità
N
b
1z =1z ⋅ 1z
N −b
si può scrivere
P N z = Pb z ⋅P N −b z
e, tenendo conto del risultato in (A4), si avrà in definitiva
n
r = N
∑ bxn−x
n
x=0
che è quanto volevamo dimostrare.
L.Matrone, Variabili casuali discrete
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