Distribuzioni di probabilità

Distribuzioni di probabilità
DSF
CdS SFA
Distribuzioni di probabilità
Distribuzione di probabilità
In alcuni casi è possibile costruire uno schema teorico con cui superare la necessità di calcolare la
probabilità di un evento mediante la sola semplice numerazione dei numerare casi favorevoli e dei casi
possibili. In tali situazioni è possibile esprimere la probabilità direttamente mediante una funzione.
Distribuzione Binomiale
Un'urna contiene elementi indistinti per forma e dimensione di cui n di colore nero ed b di colore
bianco.

n
Sia N il numero totale degli elementi :
b
N=nb
La distribuzione binomiale risolve il problema di calcolare la probabilità di ottenere x elementi neri in n
estrazioni con reimmissione. Dai dati si ottiene facilmente:
•
•
la probabilità di ottenere in una estrazione un elemento nero:
n
p=
N
la probabilità di non ottenere in una estrazione un elemento nero o di ottenere un elemento
bianco:
b N−K
K
q= =
=1− =1− p
N
N
N
Lo schema binomiale è caratteristico dei casi in cui lo spazio degli eventi è suddiviso dicotomicamente in
due parti un evento E ed il suo complementare E In questo caso la probabilità p E che si verifichi
l'evento E è data p E=1− p E
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Distribuzioni di probabilità
Nel caso dell'esempio si ha:
q=
b N−n
n
=
=1− =1− p
N
N
N
In tale schema è possibile dare la probabilità che in k estrazioni- con re immissione - si verifichi x volte
l'estrazione di una elemento nero 'è data da:

Pk,x , p=

k x
k−x
k x k−x
⋅ p⋅1− p = ⋅ p⋅q
x
x
15.5.2 Distribuzione ipergeometrica
Lo schema ipergeometrico differisce dallo schema binomiale per la non restituzione degli elementi
estratti.
Siano:
•
N gli elementi indistinti per forma e dimensione ma differenti nel colore
•
K gli elementi di colore nero
•
H=N-K gli elementi di colore bianco

N=HK
H
K
La distribuzione ipergeometrica risolve il problema di calcolare la probabilità di ottenere “r“
elementi neri in “n” estrazioni senza immissione. La formula della distribuzione di probabilità
è data da:
pr=
  
 
K ⋅ N−K
r
n−r
N
n
La distribuzione ipergeometrica è caratterizzata dalle seguenti caratteristiche di media e varianza:
⋅(N−n)⋅K⋅(N −K)
n⋅K
2 n
=
; σ = N2⋅(N −1)
N
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16.5.3 Distribuzione di Poisson
La distribuzione di Poisson, nota come distribuzione degli eventi rari, si presenta come caso particolare
della distribuzione binomiale. Fornisce la probabilità che si verifichino x eventi con probabilità p in n
prove quando n è molto grande e p è molto piccola. Indicando con x il numero degli eventi e posto
λ=np , la funzione di distribuzione di probabilità di Poisson è data da:
x
p (x)=
−λ
λ e
x!
La media e la varianza della distribuzione sono uguali e sono:
 = ;  2=
La distribuzione di probabilità di Poisson è utile, inoltre, per il calcolo del numero di eventi che si
verificano in un dato intervallo di tempo (di spazio) sapendo che mediamente se ne verifica un numero λ.
15.5.4 Distribuzione Normale o di Gauss
Si definisce variabile casuale normale o gaussiana una variabile continua che può variare in tutto
l'insieme dei reali ℝ con assegnati media e varianza:  e  2 .
La sua densità di probabilità è data da:
− x −2
1
2
⋅e
  2
In tale schema la probabilità che la variabile normale sia compresa tra due valori
px=
2
− x−m2
x 1 ,x 2 è data da:
x2
1
px 1x x 2=
⋅∫x1 e 2
  2
espressione che non può essere calcolata facilmente e per la quale esistono tavole che riportano i suoi
valori.
2
Tre di questi valori sono di seguito elencati:
Px −x x =0,683
•
Px −2 x x2 =0,955
•
Px−3 xx 3 =0,997
•
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Distribuzioni
Binomiale
1. In un'urna sono contenute 6 palline di cui 3 bianche e le rimanenti nere. Calcolare la
probabilità che venga estratta una pallina nera in 2 estrazioni.
2. In un'urna sono contenute 16 palline di cui 6 bianche e le rimanenti nere. Calcolare
che in 4 estrazioni con restituzione si ottengono 2 palline nere.
3. Si lancia 10 volte una moneta calcolare la probabilità che almeno 2 volte esca testa.
4. Assumendo che la probabilita’ che nasca un maschio sia 1/2, trovate la probabilità che
in una famiglia con 4 figli ci sia
•
•
almeno un maschio;
almeno un maschio e una femmina.
5. Consideriamo ora 4000 famiglie con 4 figli. Quante ci si aspetterebbe che abbiano
almeno un maschio e una femmina? Se il 20% dei bulloni prodotti da una certa
macchina e’ difettoso, determinate la probabilità che, su 4 bulloni scelti a caso
•
uno sia difettoso;
•
zero siano difettosi;3.
•
al massimo 2 siano difettosi.
6. Trovare la media e lo scarto quadratico medio della distribuzione dei bulloni difettosi
su un totale di 400 bulloni
Ipergeometrica
7. In un'urna sono contenute 16 palline di cui 6 bianche e le rimanenti nere. Calcolare la
probabilità che in 5 estrazioni senza reimmissione si ottengono 2 palline nere.
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Poisson
8. In un incrocio si verificano 2 incidenti ogni 250 transiti. Con quale la probabilità si
possono verificare 4 incidenti in 1000 transiti?
9. Una sostanza radioattiva emette particelle secondo un processo di Poisson. Se la
probabilità di non emissione in un intervallo di 1 secondo e’ pari a 0.165, trovate il
numero atteso di emissioni per secondo la probabilità di non emissione in un intervallo
di 2 secondi la probabilità di non più di 2 emissioni in un intervallo di 4 secondi
10. In un lungo manoscritto, si e’ scoperto che solo il 13.5% delle pagine contengono errori
tipografici. Se assumiamo che il numero di errori per pagina e’ una variabile aleatoria
con una distribuzione di Poisson, trovate la % di pagine che hanno esattamente 1
errore.
11. Tra le 2 e le 4 del pomeriggio, in media, al minuto, il numero di chiamate telefoniche
che arrivano ad un certo centralino e’ 2.5. Trovate la probabilità che, in un minuto, ci
siano:
•
zero chiamate
•
due chiamate
•
quattro o meno
•
piu’ di sei chiamate telefoniche
Normale
12. Si effettua una misura della velocità di un aereo in fase di decollo. Secondo i calcoli
aeronautici il decollo avviene ad una velocità di 250 Km/h con lo scarto quadrato
medio di 20 Km/h. Si effettuano 120 misure Allora cvi aspettiamo che:
a) almeno 10 misure ricadono oltre i 310 Km/h
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b) almeno 10 misure ricadono entro i 310 Km/h
c) non più di 1 ricada oltre 310 Km/h
d) esattamente 1 ricada oltre 310 Km/h
e) Nessuna delle precedenti risposte
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