Formulario di Statistica

Formulario Statistica – Silvio Moioli
●
P  A∪B=P  AP  B− P  A∩B
●
P  A∣B=
P  A∩ B
P  B
k
●
P  A=∑ P  A∣B k  P  B k  ,
B1,... B k partizione di A (Teorema delle probabilità totali)
i=1
●
Tabella del calcolo combinatorio:
estrazioni di r elementi di
classe n
Elementi non ordinati
Senza reintroduzione degli
elementi
Combinazioni semplici:
n!
C n ,r = n =
.
r
!

n−
r !
r
Con reintroduzione degli elementi
Combinazioni con ripetizioni:
nr − 1!
C *n ,r = nr − 1 =
.
r ! n− 1!
r
Disposizioni semplici:
Disposizioni con ripetizioni:
*
r
n!
D n , r=n .
D n , r=
.
n− r !
Elementi ordinati
Se n=r le disposizioni semplici
si dicono permutazioni:
P n=n ! .
P  A
●
(Teorema di Bayes)
P  A∣B=P  B∣A
P  B
●
Tabella delle variabili casuali discrete:
Distribuzione di
probabilità
p(x)
Funzione di
ripartizione
F(x)
Valore
atteso
E(X)
Varianza
Var(X)
1
k
[x]
k
k 1
2
 k − 1 k 1
4
0 se x0
1− p se 0≤ x1
1 se x≥1
p
p(1-p)
np
np(1-p)
U(k) (uniforme)
B(p) (bernoulliana)
Bin(n,p)
(binomiale)
IG(n,N,S)
(ipergeometrica)
P(λ) (di
Poisson)
{
1− p se x=0
p se x=1
 n  p x 1− p n− x
x
 S  N − S 
x n− x
N 
n
e− 
{
x
∑ pi
i=0
x
∑ pi
i=0
np ,
S
p=
N
np 1− p1−
p=
S
N
x
x

x!
∑ pi
λ
λ
1− p
p
1− p
p2
i=0
G(p) (geometrica)
p 1− p
Bin-(r,p)
(binomiale negativa)
 r x− 1  p r 1− p x
x
x
x
2
∑ pi
i=0
x
∑ pi
i=0
r
1− p
p
r
1− p
p2
n− 1

N− 1
●
Tabella delle variabili casuali continue:
Densità di probabilità
f(x)
R(0,1) (rettangolare)
 x=
N  ,  2
(normale)
1
e
2 
2
x
−
2
1 x− 


Exp- 
(esponenziale
negativa)
 e−  x
  r , 
(gamma)
 x r− 1
 e−  x 
 r 
1/2
1/12
  x (non
esiste
formulazione
analitica
semplice)
0
1

2
− x
1

1
2
∫ f t dt
r

r
2
1
1
 1 


1
2
 1 
2


1
1 2
− 2 [ 1 ]




x− 


1− e
x
0

f  x =
0 se x0
x se 0≤x 1
1 se x≥1

  e−  x x − 1
N k  ,   (n
ormale multipla)
Varianza
Var(X)
2
− 
1
 x=
e 2
 2 
Weib , 
(di Weibull)
Valore atteso
E(X)
{
{
1 se 0x1
0 altrimenti
N(0,1)=Z (normale standard)
●
Funzione di
ripartizione
F  X ≤x 
1− e−  x

1
k
1
 2 2∣∣2
???
1
T
−1
−  x−    x− 
2
e
Densità di probabilità di una variabile casuale
d -1
-1
f Y  y =∣ f X t  y  t  y ∣
dy
Y =t  X  :
●
Funzione di ripartizione di una variabile casuale Y =t  X  :
F X t − 1  y se t è monotona crescente
F Y  y=
1− F X t − 1  y se t è monotona decrescente
●
Covarianza:  XY = E  XY − X Y
●
Coefficiente di correlazione:
●
Condizione di indipendenza di due variabili casuali:
●
Somma di variabili casuali normali, indipendenti ed identicamente distribuite
{
 XY =
X 1 , X 2 , ... , X n iid N  ,  2  :
 XY
 X Y
n
 XY = XY =0
∑ X i~N n  , n  2
i=1