STATISTICA ESERCITAZIONE 10 Dott. Giuseppe Pandolfo 26

STATISTICA ESERCITAZIONE 10
Dott. Giuseppe Pandolfo
26 gennaio 2015
Esercizio 1
Presso uno sportello bancomat 4 persone su 5 fanno operazione di versamento. Si supponga di
estrarre (con riposizione) in maniera sequenziale le persone che si sono presentate allo sportello.
a) Calcolare la probabilità che la seconda persona che ha versato sia estratta alla terza estrazione,
b) Qual è il numero medio di persone per ottenere i primi 2 versamenti?
Soluzione
La v.c. binomiale negativa Z esprime il numero di prove necessarie per ottenere i primi k successi
(con k > 1).
𝑍~𝐵𝑁 𝑘, 𝑝
La funzione di probabilità è definita come segue:
𝑃 𝑍=𝑧 =
𝑧−1
𝑘−1
𝑧−1 𝑘
𝑝 1−𝑝
𝑘−1
𝑧−𝑘
esprime la sequenza di k-1 successi nelle prime z-1 prove.
In questo caso z = 3, k =2 e p = 0,8.
𝑃 𝑍=3 =
3−1
0,82 1 − 0,8
2−1
3−2
=
2
0,82 0,21 = 0,256
1
b) Il numero medio di persone per ottenere i primi 2 versamenti nelle z=3 prove indipendenti è:
𝐸 𝑍 =𝑘
1
1
=2
≈ 2,5
𝑝
0,8
Esercizio 2
La probabilità che uno studente passi l’esame di statistica è ad ogni tentativo pari a 0.75. Quale
è la probabilità che uno studente passerà l’esame al quarto tentativo?
Soluzione
La variabile aleatoria che descrive il fenomeno è una variabile aleatoria X geometrica di
parametro p = 0,75 (probabilità di successo) con funzione di probabilità
𝑋~𝐺𝑒𝑜𝑚 𝑝
Definendo k il numero di successi e x il numero di prove la distribuzione di probabilità di questa
distribuzione è
𝑃 𝑋 = 𝑥 = 𝑝𝑘 ∙ 1 − 𝑝
𝑥−𝑘
In questo caso k = 1, per cui
𝑃 𝑋 = 𝑥 = 𝑝∙ 1−𝑝
𝑥−1
e allora
𝑃 𝑋 = 4 = 0,75 ∙ 1 − 0,75
4−1
= 0,75 ∙ 0,25
3
= 0,011
E la probabilità di superare l’esame al 6° tentativo, sapendo che almeno 4 tentativi hanno avuto
un esito negativo?
Soluzione
Per la proprietà dell’assenza di memoria della v.c. geometrica:
𝑃 𝑋 = 6|𝑋 ≥ 4 = 𝑃 𝑋 = 6 = 0,75 ∙ 1 − 0,75
6−1
= 0,75 ∙ 0,25
Qual è il numero medio di tentativi necessari per superare l’esame?
Soluzione
𝐸 𝑋 =
1
1
=
≈ 1,33
𝑝 0,75
5
= 0,0007
Esercizio 3
Un’urna contiene 100 palline di cui 41 rosse e 59 verdi. Sia X la variabile casuale che conta il
numero di palline rosse estratte senza reinserimento in un campione di ampiezza 12.
a) si individui la distribuzione della v.c. di interesse, specificandone i parametri,
b) si calcolino valore atteso,
c) calcolare la probabilità di estrarre 0 palline rosse nelle 12 estrazioni.
Soluzione
Siccome l’estrazione è in blocco, viene meno l’ipotesi di indipendenza e quindi il modello
probabilistico corretto per X è un modello ipergeometrico. La differenza con il modello binomiale
è che, in questo caso, la probabilità condizionata del verificarsi di un successo x si modifica in
funzione delle precedenti estrazioni.
a) La v.c. X ha distribuzione Ipergeometrica di parametri (n = 12, b = 41, H = 100);
𝑋~𝐼𝑃(𝑛, 𝑏, 𝐻)
Con n = numero di prove, b = numero casi favorevoli e H = numero di oggetti. La corrispondente
funzione di probabilità è:
𝑃 𝑋=𝑥 =
𝑏
𝑥
𝐻−𝑏
𝑛−𝑥
𝐻
𝑛
𝑏!
𝐻−𝑏 !
𝑥! 𝑏 − 𝑥 ! 𝑛 − 𝑥 ! 𝐻 − 𝑏 − 𝑛 + 𝑥 !
=
𝐻!
𝑛! 𝐻 − 𝑛 !
b) Il valore atteso è
𝐸 𝑋 =𝑛
𝑏
41
= 12
= 4,92
𝐻
100
c) Se X = 0
𝑃 𝑋 = 0|𝑏 = 41 =
41
0
100−41
12−0
100
12
=
59
12
100
12
= 0,001
Esercizio 4
L’ufficio reclami di una società di fornitura gas registra una telefonata ogni 4 minuti.
a) Qual è il numero medio di chiamate che l’ufficio riceverà in un’ora?
b) Qual è la probabilità di ricevere 3 chiamate in 8 minuti?
c) Qual è la probabilità di non ricevere chiamate nell’arco di 8 minuti?
Soluzione
Il modello probabilistico appropriato è in tal caso il modello di Poisson, infatti la distribuzione di
Poisson descrive il numero di successi/eventi in intervalli spaziali/temporali quando gli eventi si
verificano indipendentemente l’uno dall’altro e con uguale probabilità in ogni punto del tempo o
dello spazio.
𝑋~𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛(𝜆)
Con distribuzione di probabilità:
𝑒 −𝜆 𝜆𝑥
𝑃 𝑋=𝑥 =
𝑥!
Condizioni:
1. Eventi che si verificano su intervalli disgiunti sono indipendenti;
2. La probabilità che si verifichi un evento in un intervallo piccolo proporzionale alla
lunghezza dell’intervallo;
3. La probabilità che si verifichi più di un evento in un intervallo piccolo è trascurabile.
1
a) Siccome 𝐸 𝑋 = 𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 𝜆 avremo 𝜆 = 4 = 0,25. Dunque in 60 minuti si avranno in media
15 chiamate.
b) La probabilità di ricevere 3 chiamate in 8 minuti è data da:
8
𝜆 = 4 è il numero medio di chiamate in 8 minuti (proporzione rispetto all’unità temporale
iniziale, ovvero 4 minuti)
𝑃 𝑋=3 =
83
4 = 0,135 ∙ 8 = 0,18
3!
6
8
𝑒 −4
c) La probabilità di non ricevere nessuna telefonata è
𝑃 𝑋=0 =
8 80
𝑒− 4 4
0!
=
0,135 ∙ 1
= 0,135
1