formula formula -da detta

04/11/2015
Integrale indefinito
Funzione integrale
Definizione
Sia f una funzione integrabile secondo Riemann
nell’intervallo [a,b] e x∊[a,b], si definisce funzione integrale
di f, l’integrale definito:
F ( x)  a f (t )dt
x
1
04/11/2015
Teorema fondamentale del calcolo integrale
Sia f continua in [a,b], allora la funzione integrale
F ( x)  a f (t )dt è di classe C1([a,b]) (F ed F’ continue in
x
[a,b]) e si ha
F ( x)  f ( x) x  [a, b]
Dimostrazione
Scriviamo il rapporto incrementale di F(x):
F ( x  h)  F ( x ) 1

h
h

xh
a
 1h 
f (t )dt  a f (t )dt 
x
xh
x
f (t )dt

Teorema fondamentale del calcolo integrale
Per il Teorema della media integrale applicato ad f in
[x,x+h], xh   ( x, x  h) :
1
h

xh
x

f (t )dt  f ( x(h))
F ( x  h)  F ( x )
 f ( x(h))
h
Ed essendo f continua in [a,b] si ha la tesi:
Si è ottenuto
F ( x)  lim
h 0
F ( x  h)  F ( x )
 lim
f ( x(h))  f ( x)
h 0
h
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04/11/2015
Integrale indefinito
Osservazione
L’ipotesi di continuità per f è fondamentale per la
derivabilità di f.
Infatti se f è solo integrabile non si puo’ affermare che F è
derivabile.
Esempio
 1 x0
f ( x)  segn x  
 F ( x) | x |
 1 x  0
f(x) è integrabile ma non è continua, F(x) è continua ma
non è derivabile in x=0.
Integrale indefinito
Definizione
Una funzione F(x), derivabile in [a,b], si chiama primitiva
di f (x) se
F ( x)  f ( x)
x  [a, b]
Esempio
Una primitiva di f (x)= cos x è la funzione F(x)=sin x.
x3
2
Se f (x)= x  F ( x) 
3
3
04/11/2015
Integrale indefinito
Se F (x) è una primitiva di f (x) lo è anche F (x)+c
F ( x)  c   F ( x) 
Infatti
f ( x)
Definizione
La famiglia di tutte le primitive di una funzione f (x)
continua in [a,b] è detta integrale indefinito e si indica:
 f ( x)dx
 f ( x)dx  F ( x)  c
quindi
Integrale indefinito
Corollario del Teorema fondamentale del calcolo integrale
Sia f (x) una funzione continua su [a,b] e G (x) una
primitiva di f. Allora

b
a
f ( x)dx  G (b)  G (a)  G ( x)a  G ( x) a
b
b
Esempio


2
0

cos xdx sin x 0  sin 2  sin 0  1
2
2

2
1
x3
23 1 7
2
x dx 
  
31 3 3 3
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04/11/2015
Dimostrazione
Se G è una primitiva di f allora ∃c:
G ( x)  a f (t )dt  c
x
basta porre x=b e si ottiene

b
a
f (t )dt  G (b)  G (a).
Questo è il legame tra l’integrale definito
e l’ integrale indefinito
 f ( x)dx
 f ( x)dx
b
a

b
a
f ( x)dx
 f ( x)dx.
è un numero reale
è un insieme di funzioni
Integrale indefinito, proprietà
Dalle proprietà delle derivate si ottiene:
i)
  f ( x)  g ( x)dx   f ( x)dx   g ( x)dx,
ii )
 cf ( x)dx  c  f ( x)dx,
c  costante
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04/11/2015
Integrale indefinito
Integrali indefiniti immediati
x 1
 x dx    1  c

1
 x dx  ln x  c
1
  1,
 cos
x  0,

1
dx  arcsin x  c
1  x2

1
dx  arccos x  c
1  x2
x
x
 e dx  e  c,
 sin xdx   cos x  c,
2
x
1
1 x
2
dx  tgx  c
dx  arctgx  c
 cos xdx  sin x  c,
Integrali indefiniti immediati
Ricordando la derivata di funzione composta, si ha
 f ( g ( x)) g ( x)dx  f ( g ( x))  c
Esercizio
sin x
1
dx


 cos x
 cos x ( sin x)dx   ln cos x  c
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04/11/2015
Integrali indefiniti immediati
Esercizio
cos 3 x
  sin x cos x dx     sin x cos xdx 
c
3
2


x
dx   x1  x
1 x
2
2
2
 dx  (1  x )  c
1
2
2
1
2
1
1
1
dx  
dx  ln(arctgx)  c
(1  x )arctgx
(1  x ) arctgx
2
2
Integrazione per parti
Siano f e g due funzioni derivabili con derivata
continua, si ha
 f ( x) g ( x)dx  f ( x) g ( x)   f ( x) g ( x)dx
f(x) = fattore finito
g ( x)dx  fattore differenziale
L’ipotesi che le derivate di f e g siano continue assicura che
gli integrali siano ben definiti.
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Integrazione per parti
Dimostrazione
Consideriamo la formula di derivazione di un prodotto
 f ( x) g ( x) 
f ( x) g ( x)  f ( x) g ( x)
Integrando membro a membro si ha

 f ( x) g ( x) dx 
 f ( x) g ( x)dx   f ( x) g( x)dx
essendo f  g una primitiva della sua derivata
si ottiene la tesi
 f  g 
Integrazione per parti
Esercizio
Utilizzando il metodo di integrazione per parti calcolare
  x cos xdx  x sin x   sin xdx  x sin x  cos x  c
1
  ln xdx   1 ln xdx  x ln x   x  dx  x ln x  x  c
x
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04/11/2015
Integrazione per parti
  e x sin xdx  e x sin x   e x cos xdx 
e x sin x  e x cos x   e x sin xdx  
e x sin x  e x cos x e x sin x  cos x 

c
 e sin xdx 
2
2
x
  cos 2 xdx   cos x  cos xdx  cos x sin x   sin 2 xdx 
cos x sin x   1  cos 2 x dx  cos x sin x  x   cos 2 xdx 
cos x sin x  x
2
cos
xdx

c

2
Integrazione per sostituzione
È basato sulla regola di derivazione della funzione
composta.
Sia f continua e g una funzione derivabile con derivata
continua, si ha
 f ( x)dx
x g (t )
  f ( g (t )) g (t )dt
se x=g(t) allora dx=g’(t)dt è il differenziale di g(t).
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Integrazione per sostituzione
Se F(x) è una primitiva di f(x), ricordando la regola di
derivazione della funzione composta si ha
F  g  (t )  F ( g (t )) g (t ) 
f ( g (t )) g (t )
Cioè F  g (t ) è una primitiva di f ( g (t )) g (t )
Il risultato dell’integrazione per sostituzione è in funzione
di t. Per esprimerlo in funzione di x occorre che g(t) sia
1
invertibile, in tale caso basterà risostituire a t: t  g ( x).
Integrazione per sostituzione
Esercizio
Utilizzando il metodo di integrazione per sostituzione
calcolare
  e x dx con la sostituzione
x  t2, t  0
ex

dx
1  e2 x
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04/11/2015
Integrazione per sostituzione
Se l’integrale è definito:

b
a
f ( x)dx
e si effettua la sostituzione x=g(t), supponendo che
x  a  c  g 1 (a)
x  b  d  g 1 (b)
si ha

b
a
f ( x)dx  c f ( g (t )) g (t )dt
d
Integrazione per sostituzione
Esercizio
Calcolare

1
1
1  x 2 dx con la sostituzione x  sin t
11