Un elenco di integrali immediati (è sufficiente ricordare l`espressione

Integrazione Indefinita-1
Integrali immediati (è sufficiente ricordare l’espressione della derivata delle prime funzioni
elementari):
1) ∫ kdx = kx + c , essendo k un qualunque (fissato) numero reale;
α
∫ x dx =
2)
xα +1
+ c , se α è un qualunque numero reale, α ≠ −1 ; (è opportuno ricordare qual è
α +1
l’insieme di definizione della funzione xα );
3)
1
∫ x dx = ......... ;
4) ∫ sin xdx = .......... ;
5) ∫ cos xdx = ........... ;
1
6)
∫ cos
7)
∫ sin
2
1
2
dx = .............. ;
x
x
dx = .............. ;
8) ∫ e x dx = .......... ;
9) ∫ a x dx = ............. ;
1
10)
∫ 1+ x
11)
∫
2
dx = ............. ;
1
1 − x2
dx = .................... ;
12) ∫ Sh xdx = .................. ;
13) ∫ Ch xdx = ................... .
Un breve richiamo sulle funzioni iperboliche:
Per ogni x ∈ R , si pone
e x − e− x
(è detta funzione seno iperbolico)
Sh x =
2
e x + e− x
(è detta funzione coseno iperbolico).
Ch x =
2
La denominazione introdotta deriva dalla seguente proprietà, la cui verifica è immediata:
• Per ogni x ∈ R si ha Ch 2 x − Sh 2 x = 1 (e dunque qualunque sia x ∈ R il punto di coordinate
(Ch x,Sh x) appartiene al ramo della iperbole equilatera di equazione x 2 − y 2 = 1 contenuta nel
primo e quarto quadrante).
1
Integrazione Indefinita-1
Inoltre si verificano facilmente le seguenti ulteriori proprietà:
•
D Sh x = Ch x;
D Ch x = − Sh x .
Esercizio facoltativo:
i) Provare che la funzione Sh x è invertibile su tutto R e individuare la rappresentazione analitica
della funzione inversa; è denotata SettSh x (settore seno iperbolico);
ii) Provare che la funzione Ch x non è invertibile su tutto R , mentre è invertibile la sua restrizione
a R + ; individuare la rappresentazione analitica della funzione inversa della restrizione. Tale
funzione inversa è denotata SettCh x (settore coseno iperbolico).
iii) Calcolare la derivata delle funzioni SettSh x e SettCh x .
iv) Rappresesentare graficamente le funzioni Sh x e Ch x .
Integrali che si riconducono (immediatamente) ad integrali presenti nel precedente elenco,
utilizzando il teorema della derivazione della funzione composta e/o semplici artifici.
1
+1
1
1 ( x 3 + 2) 3
x 3 + 2dx = ∫ D( x 3 + 2) 3 x 3 + 2dx =
+ c = ..... ;
3
3 1 +1
3
1)
∫x
2)
∫ tg xdx = ∫ cos x dx = − ∫
3)
∫ x(3x
4)
∫ (3x
23
sin x
2
2
D cos x
dx = − log cos x + c ;
cos x
+ 1)3 dx = ........... ;
+ 1)3 dx = ........... ; (è sufficiente rappresentare il cubo del binomio)
⎧1
⎪ ∫ sin 2 xdx = ..................
5) ∫ sin x cos xdx = ⎨ 2
;
⎪ sin x( D sin x)dx = ..........
⎩∫
6)
∫ sin
7)
∫ sin
3
2
x cos xdx = ....... ;
xdx = ........... , (ricordare che sin 2 x =
1 − cos 2 x
1 + cos 2 x
, cos 2 x =
; seguono facilmente
2
2
dalle seguenti identità: cos 2 x = cos 2 x − sin 2 x e cos 2 x + sin 2 x = 1 );
⎛ 1 − cos 2 x ⎞
4
4
∫ sin xdx = ..., ( sin x = ... = ⎜⎝ 2 ⎟⎠ = .... );
2
8)
9)
∫ sin 2 x cos 3xdx = ...
∫ cos
, (ricordare che sin 2 x cos 3 x =
3
xdx = ... = ∫ (1 − sin 2 x) D sin xdx = .... ;
sin(2 + 3) x − sin(2 − 3) x
; rappresentazioni
2
analoghe sussistono anche per le funzioni sin α x sin β x e cos α x cos β x e tutte si deducono
facilmente dalle formule di addizione sin(α ± β ) x = ......... e cos(α ± β ) x = ......... .):
2
Integrazione Indefinita-1
Integrali delle funzioni razionali.
Osservazione: Gli esercizi che seguono mostrano che tutte le funzioni razionali (cioè le funzioni
che sono rapporto di due polinomi) hanno una primitiva (e quindi tutte) rappresentabili mediante
funzioni elementari:
Primo caso – Il grado del polinomio al numeratore è strettamente minore del grado del
polinomio al denominatore; (notare nell’elenco che segue, che alcuni avrebbero potuto trovar
posto nell’elenco precedente).
i)
Il grado del polinomio al denominatore è 1 (e quindi il numeratore ha grado 0).
3
3 D(2 x − 5)
3
dx = log 2 x − 5 + c ;
2x − 5
2
1)
∫ 2 x − 5 dx = 2 ∫
2)
∫ 7 − 5x dx = ........ ;
ii)
4
Il grado del polinomio al denominatore è 2 (e quindi il grado del numeratore è 0 oppure 1).
Si possono presentare varie situazioni che saranno evidenziate negli esercizi che seguono.
•
Il grado del numeratore 0 e il denominatore ha discriminante minore di 0 (o equivalentemente
ha due radici complesse e coniugate)
⎛ 3 ⎞
D⎜
x⎟
2 ⎠
5
5
1
5
1
5 2
⎝
dx = ∫
dx = ∫
dx =
dx = ....... ;
3) ∫ 2
3x + 2
2 3 x2 + 1
2 ⎛ 3 ⎞2
2 3 ∫ ⎛ 3 ⎞2
x ⎟ +1
x ⎟ +1
⎜
⎜
2
⎝ 2 ⎠
⎝ 2 ⎠
4)
∫ 2x
2
5
dx = 5∫
− x +1
=
1
(
)
2
2
⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞
2x − x + ⎜
⎟ −⎜
⎟ +1
⎝2 2⎠ ⎝2 2⎠
2
dx = 5∫
1
2
1 ⎞ 7
⎛
⎜ 2x −
⎟ +
2 2⎠ 8
⎝
dx =
40
1
dx = .....
2
∫
7 ⎛ 8⎡
⎞
1 ⎤
2x −
⎜
⎢
⎥ ⎟ +1
7
2
2
⎣
⎦⎠
⎝
(Commenti: intanto un facile calcolo che non è stato riportato mostra che il discriminante del
polinomio di secondo grado è minore di 0. Nella prima uguaglianza è stato aggiunta al
denominatore, e per non modificare la funzione è stata anche sottratta, una quantità che realizzi il
quadrato di un binomio; nel caso in esame è stato aggiunto α 2 in modo tale che 2α 2x = x , da cui
α=
1
2 2
).
3