5^A - MATEMATICA
compito n°1 - 2016-17
1. Un triangolo rettangolo ABC ha cateti che misurano AB=1 m e AC =2 m .
Conduci per il vertice A una retta r non secante il triangolo e chiama H e K rispettivamente le
=x .
proiezioni dei vertici B e C sulla retta r. Poni CAK
a. Ricava le funzioni P x ed S x che esprimono rispettivamente il perimetro e l'area del
trapezio BHKC in funzione dell'angolo x.
b. Studia tali funzioni tenendo conto delle limitazioni geometriche e descrivendo i casi limite.
c. Determina per quali valori di x le funzioni assumono il valore massimo ed il valore minimo e
calcola tali valori.
2. Studia le seguenti funzioni:
y= 4 x 2−9 ;
x−1
∣x3
∣;
y=
y=3
x−1
−1 .
In particolare, determina per ognuna di esse il genere, il campo di esistenza (o dominio), le
eventuali simmetrie, il segno, le intersezioni con gli assi cartesiani, il grafico probabile, il
codominio (o immagine), la funzione inversa (specificando un intervallo in cui la funzione data
sia invertibile) e qualunque altra informazione utile.
5^A - Correzione compito n°1
C
1.
a. Per Pitagora: BC = 5 m .
B
Per i teoremi sui triangoli rettangoli:
x
CH =2 sen x , AK =2 cos x , BH =cos x ,
2m
1m
AH =sen x , quindi HK =sen x2 cos x .
x
P x=3 sen x3 cos x 5 .
H
K
A
1
1
5
A x= BH CK ⋅HK = 2 sen xcos x sen x2 cos x= sen x cos x1 .
2
2
2
b. Applicando la formula dell'angolo aggiunto:
P x=3 2 sen x/ 4 5 .
3√2+√5
P (x)
3+√5
Si tratta di una funzione goniometrica, ed
esattamente di una sinusoide di ampiezza
A P =3 3 , periodo T P =2 , traslata di
un vettore vP ≡−/ 4 , 5 .
9/4
S (x)
1
Applicando la formula di duplicazione:
p/2
p/4
S x=5/ 4 sen 2 x1 .
Si tratta ancora di una sinusoide di ampiezza AS =5/ 4 , periodo T S = , traslata di un vettore
vS ≡0 , 1 . Entrambe le funzioni hanno come dominio naturale l'insieme ℝ , ma sono
sottoposte alla limitazione geometrica 0≤x≤/ 2 .
In tale intervallo, entrambe hanno segno strettamente positivo, come possiamo vedere dal grafico, e
come è naturale che sia, trattandosi di un perimetro e di un'area di un poligono.
Entrambi i grafici sono simmetrici rispetto alla retta di equazione x=/ 4 , ma non è semplicissimo dimostrarlo
C
analiticamente (le equazioni rimangono invariate applicando la
trasformazione x ' =2⋅/ 4− x ).
Nei casi limite x=0 e x=/ 2 , il trapezio
degenera nel triangolo rettangolo ABC, con
x=p/2
B
x=0
perimetro P=3 5 ed area S =1 .
Tali valori sono in accordo con quelli assunti dalle
funzioni P x ed S x nei casi limite.
A≡H
C≡K
B≡H
A≡K
c. Entrambe le funzioni assumono valore minimo in corrispondenza dei casi limite x=0 e
2
x=/ 2 , ed abbiamo P min=3 5 m , S min=1 m .
Entrambe le funzioni assumono valore massimo quando il seno assume valore unitario:
x/ 4=/2 ⇒ x max =/ 4 ; 2 x=/ 2 ⇒ x max =/ 4 .
2
Quindi P max =3 2 5 m , S max =9/ 4 m .
2.
a.
2
y= 4 x −9 . dom : rad ≥0 ⇒ x≤−3/2 ∨ x≥3/ 2 .
f −x= f x ∀ x∈dom f ⇒ funzione pari .
{
f x0 ⇒ x−3/ 2 ∨ x3/ 2
f x=0 ⇒ x=±3/ 2
.
f x0 ⇒ ∅
Int. asse x : ±3/ 2 , 0 . Int. asse y : ∅ . Imm : y≥0 .
E' invertibile per x≥3/ 2 (o per x≤3/ 2 ); nel primo
intervallo, la funzione inversa è: x=1/2 y 29 .
Elevando al quadrato, l'equazione diventa:
{
x2 y2
− =1
.
9/ 4 9
y≥0
Si tratta quindi di due archi di iperbole di asintoti y=±2 x .
b.
x−1
∣x3
∣.
y=
{
dom : den≠0 ⇒ x≠−3 .
f x0 ⇒ ∀ x≠−3 ∧ x≠1
f x=0 ⇒ x=1
.
f x0 ⇒ ∅
y=1
Int. asse x : 1 , 0 . Int. asse y : 0 ,1/3 .
Imm : y≥0 . Si tratta di una funzione
omografica (iperbole equilatera avente gli
x=-3
asintoti paralleli agli assi cartesiani) composta
con il valore assoluto. E' invertibile per: x−3 ∨ x≥1 (o per −3 x≤1 ); nel primo caso, la
funzione inversa è: x=3 y1/1− y .
c.
y=3 x−1−1 . dom : ∀ x∈ℝ . Funzione esponenziale con base
maggiore di 1 traslata di un vettore v ≡1 ,−1 .
f ≥0 ⇒ 3 x−1≥1 ⇒ x−1≥0 ⇒ x≥1 .
Int. asse x : 1 , 0 . Int. asse y : 0 ,−2/3 . Imm : y−1 .
E' invertibile, ed ha funzione inversa:
y1=3
x−1
⇒ x−1=log 3 y1 ⇒ x=log 3 y11 .
y=-1
