Logaritmo e funzione logaritmica
Nel §102 del cap. VI dell’Introductio analysin infinitorum – “De Quantitatibus exponentialibus et
Logarithmis” – Eulero definisce il logaritmo e la funzione logaritmica (illustra, come già per l’esponenziale, solo il caso della base a > 1 poiché ad esso si può rimandare facilmente anche il caso
0 < a < 1 ):
“Quemadmodum autem, dato numero a, ex quovis valore ipsius z reperiri potest valor ipsius y, ita
vicissim, dato valore quocunque affirmativo ipsius y, conveniens dabitur valor ipsius z, ut sit
a z = y ; iste autem valor ipsius z, quatenus tanquam Functio ipsius y spectatur, vocari solet L O G A R I T H M U S ipsius y. Supponit ergo doctrina Logarithmorum numerum certum constantem loco a
substituendum, qui propterea vocatur basis (in corsivo) Logarithmorum; qua assumta erit Logarithmus cujusque numeri y Exponens Potestatis a z , ita ut ipsa Potestas a z , aequalis sit numero illi y;
indicari autem Logarithmus numeri y solet hoc modo ly (per la chiarezza della lettura indicato in seguito Ly). Quod si ergo fuerit a z = y , erit z = Ly : ex quo intelligitur, basin Logarithmorum, etiamsi ab
arbitrio nostro pendeat, tamen esse debere numerum unitate majorem: hincque nonnisi numerorum affirmativorum Logarithmos realiter exhiberi posse.”
Nello stesso modo in cui, dato un numero a, per ogni valore di z si può trovare il valore di y, così,
reciprocamente, per un qualsiasi valore positivo di y, ci sarà un valore conveniente di z in modo che
sia a z = y ; questo valore di z, dal momento che si comporta come una funzione di y si suole chiamare logaritmo di quell’y. La dottrina (teoria) dei logaritmi, al posto di a mette una costante fissa,
detta base dei logaritmi, stabilita la quale il logaritmo di y sarà l’esponente della potenza a z in modo che quella potenza a z sia uguale a quel numero y; il logaritmo del numero y si suole indicare
con Ly. Quindi, se a z = y sarà z = Ly : da qui si capisce che la base dei logaritmi, anche se può
essere scelta a piacere, deve però essere maggiore di 1: e così non possono essere reali se non i
logaritmi dei numeri positivi.
Nei §103 e 104 presenta le proprietà dei logaritmi:
• Qualunque numero si assuma come base, il logaritmo dell’unità sarà sempre uguale a 0
( log a 1 = 0 , qualunque sia a): infatti, da a z = y , che equivale a z = Ly , se y = 1 = a 0 segue
z = Ly = 1.
• I logaritmi dei numeri maggiori dell’unità, dipendenti dalla base a, saranno positivi: La = 1 ;
Laa = 2; La 3 = 3; La 4 = 4; ecc. Da qui, a posteriori, si può capire quale numero sia stato assunto come base: quello il cui logaritmo è uguale a 1.
1 = !2; L 1 = !3,
• I logaritmi dei numeri positivi minori di 1 saranno negativi: L a1 = !1; L aa
ecc.
3
a
• I logaritmi dei numeri negativi non sono reali, ma immaginari, come è già stato detto (al §100).
• Se Ly = z , sarà Lyy = 2z; Ly 3 = 3z; ecc. ; più in generale Ly n = nz , cioè Ly n = nLy : il logaritmo di una potenza di y è uguale al logaritmo di y moltiplicato per l’esponente della potenza.
Ciò vale anche per gli altri esponenti: L y =
1
2
z = 21 Ly ; L
1
y
= Ly
! 21
= ! 21 e così via. Dunque,
dato il logaritmo di un numero qualsiasi, si possono trovare i logaritmi di qualsivoglia sua potenza.
• Il logaritmo di un prodotto è uguale alla somma dei logaritmi dei fattori: se Ly = z & Lv = x ,
(
)
poiché è y = a z & v = a x , sarà Lvy = La x .a z = La x + z = x + z = Lv + Ly . E parimenti, il
logaritmo di una frazione è uguale al logaritmo del numeratore diminuito del logaritmo del
y
(
)
denominatore: L v = L a x = La z ! x = z ! x = Ly ! Lv .
z
a
Queste regole permettono, se si conoscono i logaritmi di alcuni numeri, di trovare quelli di altri numeri.
Nel §105 si dice che la definizione e le regole precedenti rendono palese il fatto che sono razionali
solo i logaritmi delle potenze di a (con esponente razionale): se b (razionale) non è una potenza di a,
il suo logaritmo non può essere né razionale né irrazionale (se fosse Lb = n , sarebbe a n = b ;
ma ciò non può essere, se a e b vengono supposti razionali). Si afferma che è importante conoscere i logaritmi dei numeri interi e dei numeri razionali poiché da questi si possono ricavare i logaritmi delle frazioni e dei numeri irrazionali (numerorum surdorum)1. Poiché i logaritmi dei numeri
che non sono potenze della base a non possono essere rappresentati né con numeri razionali né
con numeri irrazionali, a giusta ragione essi si riconducono a quantità trascendenti, per cui i logaritmi sono considerati tra le quantità trascendenti. (“Cum igitur Logarithmi numerorum, qui non sunt
Potestates basis a, neque rationaliter neque irrationaliter exhiberi queant, merito ad quantitates
transcendentes referuntur, hincque Logarithmi quantitatibus transcendentibus annumerari solent.”).
Ne consegue che i logaritmi sono di solito espressi con approssimazioni decimali, che tanto meno
differiranno dal valore vero quante più cifre decimali saranno esatte.
Nel prossimo punto (§106) viene spiegato come si possano calcolare buone approssimazioni dei
logaritmi mediante estrazioni di sole radici quadrate:
poiché da Ly = z & Lv = x segue L vy =
x +z
2
, se si vuol trovare il logaritmo (in base a) di un nu-
mero b compreso tra a 2 e a 3 - i cui logaritmi sono 2 e 3 - si determinerà dapprima il valore inter21
21
21
medio a 2 cioè a 2 a ; b si troverà adesso tra a 2 e a 2 oppure tra a 2 e a 3 .
Qualunque sia l’intervallo in cui cade b, prendendo il medio proporzionale2 dei suoi estremi si otterranno valori più vicini tra di loro. Si può imporre che questi estremi differiscano di meno di una
quantità prefissata3, e, qualunque sia b, si potrà sempre arrivare ad avere uno degli estremi uguale
a b. Poiché i logaritmi degli estremi sono conosciuti, si può così trovare il logaritmo del numero b.
Ed ecco un esempio per chiarire il procedimento:
Sia a = 10 la base dei logaritmi, quella delle tavole solite; è chiesto il logaritmo di 5 con la migliore
approssimazione possibile. Poiché 5 è compreso tra 1 e 10, i cui logaritmi sono 0 e 1, si procede
con l’estrazione continua di radici finche non si arrivi ad estremi non più distinguibili da 5
1
Der Begriff „Numerus surdus“ steht in der lateinischen Mathematik des Mittelalters als Synonym für „irrationale Zahl“. (dal sito: http://www.math.ethz.ch/fibonacci/VirtuellerBesuch/5/5e)
2
Il medio proporzionale di 2 numeri a e b è il numero x tale che a : x = x : b , quindi x =
è il numero delle cifre decimali dell’approssimazione che stabilisce la precisione
3
ab
Mediante l’estrazione successiva di radici quadrate e sfruttando il fatto che il logaritmo della radice
quadrata di un prodotto è la media aritmetica dei logaritmi dei fattori, si è arrivati a trovare che per
6989
10000
10
= 5.
Z = 5.000000 è log Z = 0.6989700 (se la base è 10). È dunque, finalmente,
“Hoc autem modo computatus est canon Logarithmorum vulgaris a B RI GGI O & V LA C Q UI O ,
quamquam postea eximia inventa sunt compendia, quorum ope multo expeditius Logarithmi supputari possunt.”
4
In questo modo è stata calcolata da Briggs e Vlacq la tavola dei logaritmi volgari (in base 10),
anche se in seguito si sono scoperti modi molto più veloci per calcolare i logaritmi.
Nel §107 viene dimostrato che, pur essendoci infiniti sistemi logaritmici, si può facilmente passare
da uno all’altro perché in due sistemi diversi, i logaritmi di uno stesso numero mantengono sempre tra di loro lo stesso rapporto; nel nostro linguaggio, log a n : log b n = log a m : log b m . Per dimostrare l’affermazione, Eulero propone:
siano a e b le basi dei due sistemi diversi e siano p e q i logaritmi del numero n nella prima e nella
seconda base; sia cioè log a n = p e log b n = q : sarà a p = n e b q = n , da cui segue a p = b q ed
q
anche a = b p . È dunque necessario che la frazione
q
p
abbia sempre lo stesso valore, indipenden-
temente dal numero n che si è scelto. Ne consegue che, se si conoscono i logaritmi di tutti i numeri
in un sistema, si possono facilmente calcolare quelli in un altro sistema con la regola aurea [è la
regola del tre, cioè la regola che permette di determinare un termine di una proporzione conoscendone 3.
Qui la proporzione è log a n : log b n = p : q ], per cui – se i logaritmi noti sono in base a – si sostituisce
a n la nuova base b e si determina il coefficiente di passaggio. Come esempio, Eulero propone di
partire dai logaritmi noti (in base 10) per ricavare quelli in una base qualsiasi:
per calcolare ad esempio il logaritmo in base 2 di n (che è q) conoscendone il logaritmo in base 10
(che è p), poiché di 2 si conoscono sia il logaritmo in base 10, che è 0,3010300, sia quello in base
p
= 3,3219277 .p .
2, che è 1, si avrà 0,3010300 : 1 = p : q , da cui q =
0,3010300
Se si moltiplicano per 3,3219277 i logaritmi in base 10, si ottengono quelli in base 2. Possiamo conlog n
trollare con la calcolatrice: log 2 n = log 2 ! 3.3219280 . log n
Inoltre (§108) i logaritmi di due numeri mantengono lo stesso rapporto qualunque sia il sistema di
logaritmi: nel nostro linguaggio log b m : log b n = log a m : log a n . Eulero lo dimostra in modo analogo,
assegnando un nome ai logaritmi e passando alle esponenziali. Il teorema può anche essere
espresso come segue: in tutti i sistemi di logaritmi, i logaritmi di due diverse potenze y m e y n di
uno stesso numero stanno nello stesso rapporto degli esponenti log a y m : log a y n = m : n (“… in
omni Logarithmorum systemate Logarithmos diversarum eiusdem numeri Potestatum ut y m & y n
tenere rationem Exponentium m : n ”).
Nel §109, Eulero mostra come si costruisce una tavola dei logaritmi:
Per costruire una tavola dei logaritmi in una base qualsiasi basta calcolare – con il metodo appena
descritto o con altri più comodi – i logaritmi dei numeri primi: quelli dei numeri composti si determinano infatti sommando i logaritmi dei singoli fattori.
Ad esempio, se si conoscono i logaritmi di 3 e di 5 si possono calcolare i logaritmi di 15
( L15 = L3 + L5 ) e di 45 ( L 45 = 2L3 + L5 ); poiché nel §106 è stato calcolato il logaritmo di 5
= L10 ! L5 =
( L5 = 0,6989700 ) e il logaritmo di 10 è uguale a 1, si può ricavare che L2 = L 10
5
= 1 ! 0,6989700 = 0,3010300 ; con i logaritmi di 2 e di 5 si possono trovare i logaritmi dei loro composti: 4, 8, 16, 32, 64, ecc.; 20, 40, 80, 25, 50; ecc.
4
Adriaan Vlacq, 1600-1667, libraio ed editore, pubblicò nel 1628 una tavola ampliata dei logaritmi in base
10 di Henry Briggs, matematico britannico 1556-1630: comprendeva i logaritmi dei numeri da 1 a 100000
con 10 cifre decimali.
Oggi non abbiamo più bisogno delle tavole dei logaritmi perché li possiamo ottenere con una calcolatrice,
ma ai tempi di Eulero (e per qualche secolo ancora) i logaritmi erano preziosi per due motivi: da un lato
perché con le tavole si potevano abbreviare i calcoli numerici (*), dall’altro perché permettevano di risolvere
le equazioni esponenziali (**).
(*; §110)
Il fatto di poter trovare con le tavole non solo i logaritmi dei numeri, ma anche di poter risalire
dal logaritmo al numero e la proprietà di trasformare prodotti e quoti in somme e differenze,
potenze e radici in moltiplicazioni e divisioni semplici permetteva di facilitare i calcoli; gli esempi
portati da Eulero:
a) se c, d, e, f, g, h sono numeri qualsiasi, si può trovare il valore dell’espressione
ccd e
f 3 gb
;
infatti il logaritmo di quell’espressione è = 2Lc + Ld + 21 Le ! Lf ! 31 Lg ! 31 Lb , e il numero di
cui quest’ultimo è il logaritmo è il valore cercato.
7
7
b) “Quaeratur valor hujus Potestatis 2 12 ”. È cercato il valore della potenza 2 12 .
7 L 2 , si moltiplichi il logaritmo di 2 ( in base 10 ), che dalle tavole è
Poiché il suo logaritmo è 12
7 cioè per
0,3010300, per 12
1
2
1 (è interessante vedere che E. scrive in altro modo la frazione
+ 12
1 ha
per rendere i calcoli – che spesso faceva a mente – più semplici: invece di moltiplicare per 12
7
certamente diviso per 6 il risultato della moltiplicazione per 21 ). Sarà L2 12 = 0,1756008 , che è il
7
logaritmo (in base 10) del numero 1,498307: quest’ultimo è quindi il valore di 2 12 .
Alcuni problemi:
“Si numerus incolarum cujuspiam provinciae quotannis sui parte trigesima augeatur, initio
autem in provincia habitaverint 100000 hominum, quaeritur post 100 annos incolarum
numerus.”
Se il numero degli abitanti di una provincia qualsiasi ogni anno aumenta della sua trentesima parte, e
se all’inizio nella provincia ci sono 100000 persone, si cerca il numero degli abitanti dopo 100 anni.
Soluzione:
Se il numero iniziale di abitanti è = n , cioè se n = 100000, trascorso un anno tale numero
)n = 3031 n ; dopo due anni = (3031 )2 n : dopo 3 anni = (3031 )3 n , e dopo 100 anni
31 )100 n = (31 )100 .100000
31 + L10000
= (30
; il suo logaritmo (in base 10) è = 100L 30
. Essendo
30
(
sarà = 1 +
1
30
31 = L31 ! L30 = 0,014240439
L 30
, si ricava
31 = 1,4240439
100L 30
e, se si aggiunge il
L100000 = 5 , si ha che il numero di abitanti cercato ha come logaritmo 6,4240439 cui
corrisponde il numero di abitanti = 2654874. Dunque dopo 100 anni il numero degli abitanti
sarà moltiplicato per un po’ più di 26. [si noti che, dopo aver eseguito i calcoli, E. dà una risposta
alla domanda del problema].
“Cum post diluvium a sex hominibus genus humanum sit propagatum, si ponamus ducentis
annis post, numerum hominum jam ad 1000000 excrevisse, quaeritur quanta sui parte
numerus hominum quotannis augeri debuerit.”
Poiché dopo il diluvio il genere umano fu generato da sei persone, supponendo che 200 anni dopo il
numero delle persone sia cresciuto fino a 1000000, si chiede di quale sua parte deve crescere ogni
anno il numero delle persone.
1
x
Soluzione: Supponiamo che ogni anno il numero degli uomini aumenti di una sua parte
dopo 200 anni esso è diventato =
)
(1+xx )200 .6 = 1000000 , da cui segue che 1+xx = (1000000
6
1 1000000
1
L 6
=
.5,2218487 = 0,0261092 ; da qui
200
200
1000000 = 61963 x , da cui si ricava x = 16 circa.
Sarà dunque L 1+xx =
1
200
1+ x
x
=
1061963
1000000
;
.
e
A una tale moltiplicazione di persone si arriva incrementando ogni anno la popolazione della
sua sedicesima parte.
E se tale incremento continuasse ancora per 400 anni, il numero delle persone salirebbe a
= 1666666666 66 e per nutrirle tutte non basterebbe la terra intera.
1000000. 1000000
6
“Si singulis seculis numerus hominum duplicetur, quaeritur incrementum annuum.“
Se il numero delle persone raddoppia ad ogni secolo, si cerca l’incremento annuo.
1 , e se all’inizio
x
1+ x 100 n , e poiché
x
Soluzione: Se ogni anno il numero delle persone aumenta di una sua parte
il numero delle persone fosse stato = n, esso sarebbe dopo 100 anni =
tale numero deve essere = 2n, sarà
1+ x
x
=
10069555
10000000
, quindi x =
aumenti ogni anno di
1
144
10000000
69555
1+ x
x
1
= 2 100 e L 1+xx =
1
100
( )
L2 = 0,0030103 ; da qui
= 144 circa. Basta quindi che il numero delle persone
esimo.
“Quam ob causam maxime ridiculae sunt eorum incredulorum hominum objectiones, qui
negant tam brevi temporis spatio ab uno homine universam terram incolis impleri potuisse.”
Sono quindi estremamente ridicole le obiezioni di quelle persone incredule, che negano essere stato
possibile a partire da uno solo riempire, in uno spazio di tempo tanto breve, l’intera terra di abitanti.
(**; §111)
“Potissimum autem Logarithmorum usus requiritur ad ejusmodi aequationes resolvendas, in
quibus quantitas incognita in Exponentem ingreditur.”
Ma l’uso più importante dei logaritmi è necessario soprattutto per risolvere quelle equazioni in cui la
quantità incognita appare all’esponente.
Se si giunge all’equazione a x = b , da cui è necessario ricavare il valore di x, ciò non può essere fatto se non con i logaritmi. Essendo infatti a x = b , sarà La x = xLa = Lb , da cui x =
Lb
La
,
dove non ha importanza quale sistema di logaritmi venga usato, poiché in ogni sistema i logaritmi dei numeri a e b hanno lo stesso rapporto.
“Si numerus hominum quotannis centesima sui parte augeatur; quaeritur post quot annos
numerus hominum fiat decuplo major”
Se il numero delle persone aumenta ogni anno della sua centesima parte, si chiede dopo quanti anni
il numero delle persone sarà diventato 10 volte maggiore.
Soluzione: Supponiamo che ciò avvenga dopo x anni, e che all’inizio il numero delle
persone sia = n; trascorsi x anni tale numero sarà
10n, dà
101 )x = 10
101 = L10
(100
; cioè xL 100
e
x=
101 )x n
(100
che, dovendo essere uguale a
L10
L101!L100
. Si ricava che x =
10000000
43214
= 231 .
Dopo 231 anni il numero degli uomini sarà decuplicato, se ogni anno esso aumenta della
sua centesima parte; dopo 462 anni sarà centuplicato e dopo 693 anni sarà mille volte
tanto.
“Quidam debet 400000 florenos hac conditione ut quotannis usuram 5 de centenis solvere
teneatur; exsolvit autem singulis annis 25000 florenos: quaeritur post quot annos debitum
penitus extinguatur.”
Un tale ottiene 400000 fiorini a condizione che ogni anno ne paghi 5 ogni cento per il prestito (ottiene
cioè un prestito di 400000 fiorini al 5%); paga ogni anno 25000 fiorini: si chiede dopo quanti anni il
debito sarà completamente estinto.
Soluzione: Scriviamo a per il debito iniziale di 400000 fiorini e b per il versamento annuo di
a ! b ; trascorsi due anni
25000 fiorini; trascorso un anno quel tale dovrà ancora pagare 105
100
(105
)2 a ! 105
)3 a ! (105
)2 b ! 105
b ! b ; trascorsi tre anni (105
b ! b ; e, sostituendo per brevità n
100
100
100
100
100
a
105
100
, trascorsi x anni dovrà ancora pagare
n x ! n x !1b ! n x !2 b ! n x !3 b ! L ! b =
= n x a ! b(1 + n + n 2 + L + n x !1 ). Ora, come si sa per le progressioni geometriche,
1 + n + n 2 + L n x !1 =
nx !1
. Quindi dopo x anni il debitore deve ancora pagare
n !1
nxb ! b
fiorini; ponendo tale somma uguale a zero, si arriva all’equazione
n !1
b
nxb ! b
, cioè (n ! 1)n x a = n x b ! b , cioè (b ! na + a )n x = b e n x =
, da
n xa =
b ! (n ! 1)a
n !1
Lb ! L(b ! (n ! 1)a )
cui si ricava x =
Ln
Essendo a = 400000, b = 25000, n = 105
, sarà (n ! 1)a = 20000 e b ! (n ! 1)a = 5000 , per
100
n xa !
cui
il numero degli anni necessari per estinguere completamente il debito è
L25000 ! L5000
L5
69899700
; si ottiene per x un po’ meno di 33; dunque,
x=
= 21 =
105
211893
L 20
L 100
trascorsi 33 anni il debito non solo sarà estinto, ma il creditore dovrà restituire al debitore
(n
33
)
! 1b
! n 33 a =
n !1
(1021 )33 .5000 ! 25000
1
20
21 = 0,0211892991 , sarà L
Poiché L 20
= 100000
(2021 )33 ! 500000 fiorini.
(2021 )33 = 0,69924687
e L100000
(2021 )33 = 5,6992469 , a
cui corrisponde il numero 500318,8: dopo 33 anni il creditore deve restituire al debitore
fiorini 318 54 .
I punti seguenti (§112 e 113) mostrano i vantaggi dei logaritmi in base 10 (logaritmi “volgari”): la
caratteristica (la parte intera), facilmente determinabile perché dipende dall’intervallo tra due successive potenze di 10 cui appartiene il numero e la mantissa (la parte decimale), che dipende solo
dalle cifre di cui si compone il numero. […] (La parte sull’uso delle tavole è stata tolta)
Esempio: “Si hac progressio 2, 4, 16, 256, &c., cujus quisque terminus est quadratum precedentis,
continuetur usque ad terminum vizesimum quintum; quaeritur magnitudo hujus termini ultimi.”
Se la progressione 2, 4, 16, 256, &c., in cui ogni termine è il quadrato del precedente, si fa continuare fino al
25-esimo termine, si cerca la grandezza di questo ultimo termine.
Soluzione: I termini della progressione si rappresentano più comodamente con potenze:
21, 2 2 , 2 4 , 2 8 ecc. in cui gli esponenti sono in progressione geometrica; il venticinquesimo esponente sarà 2 24 = 16777216 e il termine cercato = 216777216 , il cui logaritmo (in base 10) sarà
16777216L2 . Poiché , L2 = 0,3010299956 63981195 , il logaritmo del numero cercato sarà .
= 5050445,25973367 . Dalla caratteristica sappiamo che il numero cercato deve avere 5060446
cifre; la mantissa 259733675932, cercata nelle tavole dei logaritmi, ci dà le cifre iniziali di questo
numero, che sono 181858. Anche se non lo possiamo scrivere per intero, sappiamo che il 25-esimo elemento della progressione possiede 5050446 cifre, che le cifre iniziali sono 181858 alla cui
destra seguono 5050440 cifre, solo alcune delle quali possono ancora essere trovate usando la
tavola con il maggior numero di cifre, 11: le cifre iniziali sono 18185852986.
La parte che concerne lo sviluppo in serie della funzione logaritmica (cap. VII dell’Introductio: De
quantitatum exponentialium ac Logarithmorum per Series explicatione, §114 - §122) è riportata nel
file .pdf “Il numero e””
Nel §123 Eulero presenta le serie della funzione esponenziale e della funzione logaritmica.
I logaritmi iperbolici avranno dunque la proprietà che L(1 + ! ) = ! 5, dove ! indica una quantità
molto piccola e, per il fatto che k = 1 , si possono calcolare i logaritmi iperbolici di tutti i numeri.
z z2
z3
z4
+
+
+
+ &c.
1 1 .2 1 .2 .3 1 .2 .3 .4
[vedi al punto 115-116 la formula generale] e, per i logaritmi iperbolici [vedi ai punti 120 e 121] si avranno
Sarà dunque sempre, chiamato e il numero trovato sopra, e z = 1 +
le serie L(1 + x ) = x !
1 + x 2x 2x 3 2x 5 2x 7 2x 9
x2 x3 x4 x5 x6
+
!
+
!
+ &c. e L
=
+
+
+
+
+ &c. .
2
3
4
5
6
1! x
1
3
5
7
9
Queste serie convergono rapidamente se al posto di x si pone una frazione molto piccola: così che
dall’ultima si possono trovare facilmente i logaritmi dei numeri non molto maggiori di 1.
6
3
2
2
2
2
+
+
+
+ &c ,
Posto infatti x = 51 , sarà L = L =
4
2 1 .5 3 .5 3 5 .5 5 7 .5 7
4
2
2
2
2
+
+
+
+ &c ;
e posto x = 71 , sarà L =
3
5
3 1 .7 3 .7
5 .7
7 .7 7
5
2
2
2
2
+
+
+
+ &c .
posto x = 91 , sarà L =
3
5
4 1 .9 3 .9
5 .9
7 .9 7
Dai logaritmi di queste frazioni si ricavano i logaritmi dei numeri interi: per la legge dei logaritmi sa3
4
3
5
rà: L + L = L2 ; L + L2 = L3 ; e 2L2 = L 4 ; in seguito L + L 4 = L5; L2 + L3 = L6; 3L2 = L8 ;
2
3
2
4
2L3 = L9 ; e L2 + L5 = L10 .
ESEMPIO
Abbiamo così i logaritmi iperbolici dei numeri (interi) da 1 a 10:
Sono stati tutti calcolati dalle tre serie precedenti, ad eccezione di L7 , che ho ricavato (scrive
Eulero) con la seguente scorciatoia “quem hoc compendio sum assecutus”:
1 ed ho ottenuto L 100 = L 50 = 0,0202027073 1751944840 78230 ,
nell’ultima serie6 ho posto x = 99
98
49
che sottratto da L50 = 2L5 + L2 = 3,9120230054 2814058618 7508 dà L 49 , la cui metà è L7 .
{L50 ! L
50
49
= L(50 :
50 )
49
}
49 ) = L 49 = L7 2 = 2L7
= L(50. 50
.
Nel §124 Eulero determina la costante k che permette di passare dai logaritmi iperbolici ai logaritmi
decimali:
Si ponga L(1 + x ) = y , dove L è il logaritmo iperbolico; sarà (vedi 123) y =
x
1
!
x2
2
+
x3
3
!
x4
4
+ &c .
Preso poi un numero a come base del logaritmo, se in questa base è L(1 + x ) = v , sarà come abbiamo visto in precedenza (§119) v =
1 (x
k
!
xx
2
+
x3
3
!
x4
4
+ &c.) =
y
k
, e dunque k =
y
v
; da qui si può
ricavare in modo comodissimo il valore di quel k che corrisponde alla base a , poiché questo valore
è uguale al logaritmo iperbolico di un numero qualsiasi, diviso per il logaritmo dello stesso numero
5
6
dalla relazione generale L(1 + ! ) = k! ; qui k = 1 perché la base del logaritmo è e
L
1 + x 2x 2x 3 2x 5 2x 7 2x 9
=
+
+
+
+
+ &c.
1! x
1
3
5
7
9
y
ln(1 + x )
=
. Se dunque si pone questo numero qualsiasi
v log a (1 + x )
( 1 + x ) uguale ad a, sarà v = 1 e di conseguenza, k sarà il logaritmo iperbolico di a.
nella base a : oggi scriveremmo k =
Nel sistema dei logaritmi comuni, dove la base è a = 10 , k sarà dunque uguale al Logaritmo iperbolico di 10, quindi sarà k = 2,302585092994045684017991, valore che abbiamo già trovato in
precedenza (vedi §114). Se dunque i logaritmi iperbolici vengono divisi per k oppure, il che fa lo
stesso, moltiplicati per 0,434294481932518276511289 (che è 1/k), si ottengono i logaritmi nella
base a.
Nel §125 Eulero presenta lo sviluppo in serie di una funzione esponenziale:
Dalla serie e z = 1 +
z
1
2
3
+ 1z.2 + 1.z2.3 + &c., se si pone a y = e z , si avrà, dopo aver estratto i logaritmi
iperbolici, yLa = z poiché Le = 1 e, sostituendo questo valore al posto di z, si avrà la serie
yLa y 2 (La ) 2 y 3 (La ) 3
+
+
+ &c. : grazie ai Logaritmi iperbolici, qualunque quantità espo1
1 .2
1 .2 .3
nenziale può essere espressa come serie infinita.
a y = 1+
Inoltre, se i indica un numero infinitamente grande, le quantità esponenziali come pure i logaritmi
possono essere espressi con potenze.
i
i
z#
yLa #
&
&
z
y
Sarà infatti e = $1 + ! e da qui a = $1 +
! .
i"
i "
%
%
1
&
#
Per i logaritmi iperbolici si avrà invece L(1 + x ) = i $ (1 + x ) i ' 1! (vedi 119, con k = 1 ).
%
"
Dell’altro uso dei logaritmi iperbolici nel calcolo integrale sarà detto più diffusamente.
(“De cetero Logarithmorum hyperbolicorum usus in calculo integrali fusius demonstrabitur.”)
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