Cenni sulle funzioni trigonometriche Angoli e radianti

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15/10/2014
Cenni sulle funzioni
trigonometriche
Andrea Susa
Angoli e radianti
Consideriamo una circonferenza di raggio 1 centrata nell’origine, determinata
dall’equazione + = .
Chiamiamo radiante il rapporto tra la lunghezza
di un arco di circonferenza spaziato dall'angolo,
e la lunghezza del raggio di tale circonferenza.
=
Per passare da gradi a radianti:
=
2
⋅
360 1
15/10/2014
Angoli e radianti
0
0
120°
2/3
240°
4/3
15°
/12
135°
3/4
270°
3/2
30°
/6
150°
5/6
300°
5/3
45°
/4
180°
315°
7/4
60°
/3
210°
7/6
330°
11/6
90°
/2
225°
5/4
360°
2
Seno e coseno
Consideriamo una circonferenza di raggio 1 centrata nell’origine, determinata
dall’equazione + = 1.
"($ , $ )
$
$
Un punto P sulla circonferenza è determinato dalle
coordinate $ , $ . Definiamo
sin = $ per costruzione −1 ≤ sin ≤ 1
cos = $ per costruzione −1 ≤ cos ≤ 1
Per il teorema di Pitagora vale la seguente
relazione, detta relazione fondamentale:
$ + $ = 1 = sin + cos 2
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La funzione seno
La funzione seno è una funzione definita su tutto R avente valori compresi tra
− 1e 1, a simmetria dispari e periodica di periodo 2
0: 2 → [−1,1], → sin funzione limitata
0 − = sin − = − sin = −0()
funzione dispari
0 + 2 = sin + 2 = sin()
funzione periodica di periodo 2
La funzione seno
"(, )
3
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La funzione coseno
La funzione coseno è una funzione definita su tutto R avente valori compresi
tra −1e 1, a simmetria pari e periodica di periodo 2
0: 2 → [−1,1], → cos funzione limitata
0 − = cos − = cos = 0()
funzione pari
0 + 2 = cos + 2 = cos()
funzione periodica di periodo 2
La funzione coseno
"(, )
4
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Tangente
7
"
6(1, 7 )
Consideriamo una retta parallela all’asse delle
ordinate che passa per il punto 1,0 .
Il punto Q di intersezione tra la retta passante per
l’origine ed il punto P e la retta parallela all’asse
delle ordinate e passante per (1,0)è determinato
dalle coordinate 1, 7 . Definiamo
$
$
tan = 7 ovvero tan =
:;< =
>?: =
La funzione tangente
La funzione tangente è una funzione definita su tutto R meno i valori per cui il
coseno si annulla, ovvero
periodica di periodo @
+ A A ∈ C}, illimitata, a simmetria dispari e
@
0: 2\{ + A A ∈ C → 2, → tan funzione illimitata
0 − = tan − = − tan = −0()
funzione dispari
0 + = tan + = tan = 0 funzione periodica di periodo 5
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La funzione tangente
7
6(1, 7 )
"
Cotangente
Consideriamo una retta parallela all’asse delle
ascisse che passa per il punto 0,1 .
6(7 , 1)
$
$
7
Il punto Q di intersezione tra la retta passante per
l’origine ed il punto P e la retta parallela all’asse
delle ascisse e passante per (0,1)è determinato
dalle coordinate 7 , 1 . Definiamo
cot = 7 ovvero cot =
>?: =
:;< =
6
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La funzione cotangente
La funzione cotangente è una funzione definita su tutto R meno i valori per
cui il seno si annulla, ovvero A A ∈ C}, illimitata, a simmetria dispari e
periodica di periodo 0: 2\{A A ∈ C → 2, → cot funzione illimitata
0 − = cot − = − cot = −0()
funzione dispari
0 + = cot + = cot = 0 funzione periodica di periodo La funzione cotangente
6(7 , 1)
$
$
7
7
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Angoli noti
sin G
H/I
H/J
H/K
0
1/2
2/2
3/2
cos 1
tan 0
cot ∄
H/L
1
3/2
2/2
1/2
0
3/3
1
3
∄
3
1
3/3
0
H
−
L
cos H
+
L
cos H−
H+
−
LH − sin − sin − sin − sin cos()
− cos − cos cos cos sin − sin tan()
− tan tan − tan − tan cot −cot cot()
− cot cot − cot − cot tan − tan sin()
Formule di passaggio tra funzioni
sin sin cos tan cot sin ± 1−
±
±
± 1−
tan 1
1 + cot sin cos cos tan 1+
cos ±
±
1
±
tan sin − sin ±
1 − cos ±
cos tan ±
1
tan 1+
cot 1 + cot cot 1
cot 1 − sin sin cos 1 − cos 1
tan cot 8
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Formule di addizione/sottrazione
Formulesulseno
sin ± U = sin cos U ± sin U cos sin(2) = 2 sin cos Formule sul coseno
cos ± U = cos cos U ∓ sin sin U
cos 2 = cos − sin Formulesullatangente
XY< =±XY< Z
7∓XY< = XY< Z
XY< =
7[XY<\ =
tan( ± U) =
tan 2 =
EQUAZIONI ELEMENTARI
9
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Alcune equazioni elementari
sin = ], con −1 ≤ ] ≤ 1
=]
−
L’equazione ammette due soluzioni: = , − .
Per periodicità le soluzioni diventano:
+ 2A A ∈ C} ∪ − + 2A A ∈ C}
Alcune equazioni elementari
cos = ], con −1 ≤ ] ≤ 1
=]
−
L’equazione ammette due soluzioni: = , 2 − Per periodicità le soluzioni diventano:
± + 2A A ∈ C}
10
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Esercizi
Determinare le soluzioni delle seguenti equazioni:
sin =
7
sin = 3/3
sin =
_
`
cos = −
cos = −
7
a
a
cos = −7/6
11
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