Approfondimento sull`uso dei segni nelle formule ortodromiche

Approfondimento sull’uso dei segni nelle formule ortodromiche
Una delle insidie maggiori nei calcoli che coinvolgono in larga misura funzioni trigonometriche è la gestione
dei segni; in navigazione questo problema coinvolge soprattutto l’ortodromia e l’astronomia, ed ha sempre
rappresentato una difficoltà per generazioni di studenti di scienze nautiche.
Premettendo che esistono numerose interpretazioni per affrontare questa tematica, si propone in questo
testo la seguente convenzione, che è sufficientemente generale da poter essere applicata a tutte le formule
ortodromiche.
Convenzione sui segni per le formule ortodromiche
Il segno si considera solo per le funzioni seno e tangente, unicamente per le
latitudini
I casi in cui l’utilizzo dei segni può risultare difficoltoso sono soprattutto quelli in cui si hanno i punti (di
partenza e di arrivo) in emisferi diversi.
Se entrambi i punti fossero nell’emisfero Nord le loro latitudini sarebbero entrambe positive, mentre se
fossero entrambi nell’emisfero Sud il triangolo ortodromico si potrebbe costruire utilizzando il Polo Sud e
considerare comunque le latitudini positive, salvo ricordare che alcuni segni saranno da invertire a
posteriori; anche in quest’ultimo caso, ad ogni modo, per evitare confusione, si può applicare la
convenzione precedentemente esposta, costruendo sempre il triangolo ortodromico con il Polo Nord.
Consideriamo il caso seguente:
Il punto di partenza A è nell’emisfero Sud, mentre quello di arrivo B è nell’emisfero Nord; costruendo il
triangolo ortodromico (in rosso in figura) con il Polo Nord (quindi A,PN,B). I suoi elementi sono quelli indicati
in rosso: si noti che il lato PN-B vale (90°-B), quindi il valore della colatitudine, come normalmente accade
sul triangolo ortodromico, ma il lato PN-A vale (90°+A), da prendere in considerazione con maggior
attenzione.
Nella presentazione di tutte le formule ortodromiche si è infatti sempre sfruttata la proprietà per cui il seno
di un angolo è uguale al coseno del complemento dello stesso angolo (e viceversa) e la tangente di un
angolo è uguale alla cotangente del complemento dello stesso angolo (e viceversa); tutto questo non vale
più se l’angolo da considerare non è il complemento ma l’angolo dato sommato a 90°. E’ noto tuttavia dalla
matematica che:
sin(90° + 𝛼) = cos 𝛼
cos(90° + 𝛼) = − sin 𝛼
tan(90° + 𝛼) = − cot 𝛼
cot(90° + 𝛼) = − tan 𝛼
Si vede cioè che considerando una certa funzione trigonometrica di (90°+) e ricercando la corrispondente
funzione per  si ha lo stesso effetto del caso (90°-) salvo per i segni, che cambiano per seno e tangente
ma non per il coseno.
Si nota però che lo stesso andamento dei segni si ha per le funzioni dell’opposto dell’angolo  considerato,
cioè -, infatti:
sin(−𝛼) = − sin 𝛼
cos(−𝛼) = cos 𝛼
tan(−𝛼) = − tan 𝛼
cot(−𝛼) = − cot 𝛼
Allora se ad esempio a cos(90°-) si è abituati a sostituire sen, a cos(90°+) basterà sostituire sen(-)
perché in entrambi i casi il risultato è -sen; lo stesso accade per la tangente e la cotangente, mentre nel
caso si abbia sen(90°+) si può sostituire indifferentemente cos o cos(-),essendo il coseno una funzione
pari.
Applichiamo a titolo di esempio al caso illustrato in figura la formula di Eulero, che conduce alla
determinazione delle miglia:
cos 𝑚 = cos(90 + 𝜑𝐴 ) ∙ cos(90 − 𝜑𝐵 ) + sin(90 + 𝜑𝐴 ) ∙ sin(90 − 𝜑𝐵 ) ∙ cos Δ𝜆𝐴𝐵
Per quanto esposto si ha:
cos 𝑚 = (− sin 𝜑𝐴 ) ∙ sin 𝜑𝐵 + cos 𝜑𝐴 ∙ cos 𝜑𝐵 ∙ cos ∆𝜆𝐴𝐵
Riscrivibile come:
cos 𝑚 = sin(−𝜑𝐴 ) ∙ sin 𝜑𝐵 + cos 𝜑𝐴 ∙ cos 𝜑𝐵 ∙ cos ∆𝜆𝐴𝐵
Forma che conferma quanto ipotizzato inizialmente: le equazioni funzionano se si ha cura di inserire il
segno quando la latitudine è S, solo per le funzioni seno e tangente.
Ad ulteriore esempio, la formula per la rotta iniziale sarà:
tan 𝑟𝑖 =
sin ∆𝜆𝐴𝐵
tan 𝜑𝐵 cos 𝜑𝐴 − sin(−𝜑𝐴 ) cos ∆𝜆𝐴𝐵
Se fosse B nell’emisfero Sud sarebbe stata la tanB a diventare tan(-B); in ogni caso il risultato è
quadrantale (l’inverso della tangente fornisce valori da 0° a 90°) con prefisso dal risultato (N se +, S se -) e
suffisso dal segno di .
Nella forma inversa dell’equazione dell’ortodromia, utilizzata per determinare la longitudine del vertice
vale sempre la stessa convenzione, che permette di individuare, tre i due vertici esistenti, quello più
appropriato da considerare, cioè il primo che la nave raggiunge o raggiungerebbe se continuasse sulla
traiettoria, cosa che permette anche di non avere ambiguità per il segno diAV, che sarà uguale a quello di
AB; sempre considerando l’esempio illustrato il vertice da considerare è quello nell’emisfero Nord (V), per
cui si avrà:
cos ∆𝜆𝐴𝑉 =
tan(−𝜑𝐴 )
tan 𝜑𝑉
Utilizzando lo stesso segno per le due tangenti si individuarebbe una differenza di longitudine corretta ma
afferente a V’.
Esempio numerico
Si consideri A (= 27° 29,5’ S λ= 153° 30,1’ E) e B (= 21° 40,6’ N λ=109° 29,0’ W)
Risulta =97° 00,9’ E
Con le convenzioni esposte si ha:
cos 𝑚 = sin(−𝜑𝐴 ) ∙ sin 𝜑𝐵 + cos 𝜑𝐴 ∙ cos 𝜑𝐵 ∙ cos ∆𝜆𝐴𝐵 = −0.2711 …
m=6344,1 mg
tan 𝑟𝑖 =
sin ∆𝜆𝐴𝐵
= 3.3506 …
tan 𝜑𝐵 cos 𝜑𝐴 − sin(−𝜑𝐴) cos ∆𝜆𝐴𝐵
ri=N73°22’56’’E
Ri=073,4°
Relativamente al vertice si ha V=31°47,1’N (senza problemi di segno contenendo il coseno della latitudine),
inoltre:
cos ∆𝜆𝐴𝑉 =
tan(−𝜑𝐴 )
tan 𝜑𝑉
AV=147°07,0’E
V=059°22,9’W