Richiami di segnali aleatori
Processi aleatori discreti
x(t): processo aleatorio tempo continuo: è una v.a.
funzione del tempo
x(nT) è una v.a.
al variare di n si ha n processo aleatorio discreto:
è dato da una sequenza di v.a. {x(nT)}={x(n)}
Definizioni:
• Distribuzione di probabilità
• Densità di probabilità
Pxn (x ) = Pr{x( n ) ≤ x}
p xn ( x ) =
d
Px ( x )
dx n
1
Analogamente dati due processi aleatori discreti si
definiscono:
Distribuzione di probabilità congiunta:
Pxn , ym (x , y ) = Pr{x( n ) ≤ x e y( m ) ≤ y}
Densità di probabilità congiunta:
p xn , y m (x , y ) =
d2
Px , y ( x , y )
dxdy n m
Proprietà
INDIPENDENZA:
Due v.a. x(n) e x(m) sono indipendenti se
p xn , y m ( x , y ) = p x n ( x ) p y m ( y )
ovvero se il verificarsi dell’una non influenza il verificarsi
dell’altra
STAZIONARIETA’:
Un processo si dice stazionario quando le funzioni
distribuzione e densità di probabilità sono indipendenti
rispetto a traslazioni temporali:
p xn ( x ) = p xn + k ( x ) ∀k
p x n , y n ( x , y ) = p x n + k , y n + k ( x , y ) ∀k
(congiuntamente stazionari)
2
Parametri di un processo aleatorio
• Momento di 1° ordine (valor medio):
mxn = E [ x(n)] =
∞
∫ xp
−∞
xn
( x)dx =
+∞
+∞
∑ px
i =−∞
• Momento di 2° ordine:
px n ( x) = ∑ piδ (x − xi )
i i
−∞
i
∞
[
] ∫x p
E x 2( n ) =
2
xn ( x )dx = Pxn
−∞
• Varianza:
[(
)] [
]
[
]
σ x2 = E x( n ) − m xn 2 = E x 2 ( n ) − m xn
n
• Autocorrelazione:
rx ( n ,m ) = E x( n ) x* ( m )
• Processo stazionario in senso lato (WSS)
m xn = E [x( n )] = m x = cos t
rx ( n ,n + m ) = rx ( m )
[
]
E x 2 ( n ) = Px = cos t → σ x2 = cos t
• Processi scorrelati:
E [ x ( n ) x ( m ) ] = E [ x ( n ) ] E [ x ( m) ]
Proc. INDIPENDENTI
X
Proc. SCORRELATI
•Processi ergodici:
Le medie temporali del processo coincidono con le medie d’insieme
3
Densità spettrale di potenza
Dato un processo stazionario in senso lato si
definisce la densità spettrale di potenza Gx(F) la
trasformata di Fourier della funzione di
autocorrelazione:
Gx ( F ) =
antitrasformata:
∞
∑ r ( m)e
m =−∞
1
rx (m) =
− j 2π Fm
x
2
∫ G ( F )e
j 2π Fm
x
−1
dF
2
Densità spettrale di potenza
rx (0) = E ⎣⎡ x 2 (n) ⎦⎤ = Px
Px = σ x
Se il processo è a valor medio nullo:
1
Px =
1
2
∫ G ( F )e
j 2π Fm
x
−1
=
dF
m=0
2
2
∫
−1
2
1
1 2T
Gx ( F )dF =
Gx ( f )df
T − 1∫
2T
Gx(F) è la densità spettrale di potenza
Se un processo è BIANCO:
rx (m) = rx (0)δ (m) ↔ Gx ( f ) = costante=rx (0)
v.medio nullo
4
Campionamento di processi
aleatori
I processi aleatori sono caratterizzati dalla funzione densità di probabilità
x(t)
x(nT)
p x ,t ( x )
px n ( x )
In particolare a noi interessano i processi stazionari in senso lato
Il processo aleatorio è caratterizzato nel dominio della frequenza dalla funzione
densità spettrale di potenza.
∞
x( t )
rx ( τ ) ↔ G xa ( f ) =
∫ r ( τ )e
x
− j 2πfτ
dτ
−∞
Reale, non negativa e pari
∞
x( nT )
rx ( m ) ↔ G xc ( F ) =
∑
rx ( m )e − j 2πmF =
m = −∞
∞
∑r ( m )e
x
− j 2πfmT
= G xc ( f )
m = −∞
x( t )
x( nT )
rx ( τ )
rx ( m )
7
7
G xa ( f )
G xc ( F )
5
Posso osservare che:
rxc (m) = rxa (τ )
τ = mT
L’autocorrelazione del processo discreto coincide con l’autocorrelazione del
processo continuo compionata in τ=mT quindi si ha:
1 ∞
Gxc ( f ) = ∑ Gxa ( f − kf c )
T k =−∞
Esempio
e(n) è un processo aleatorio discreto:
• stazionario in senso lato
• campioni della sequenza scorrelati
• distribuzione di probabilità uniforme
∆
∞
E [e( n )] =
∫ ep( e )de = ∫ e ∆ de =0
−∆
−∞
p(e)
[
∞
∆/2
e
2
2
−∆
−∞
-∆/2
2
∆
1
] ∫ e p( e )de = ∫ e
E e2 ( n ) =
1/∆
2
2 1
∆
de =
∆2
= σ e2
12
2
⎧0 m ≠ 0
⎪
E e( n )e* ( n + m ) = ⎨ ∆2
m=0
⎪
⎩ 12
[
re ( m ) =
]
∆2
∆2
δ ( m ) ↔ Ge ( f ) =
12
12
6
In generale:
E [x( n )] =
p(x)
∞
1/(b-a)
σ x2 =
b
a
x
a+b
2
2
⎛a+b⎞
⎛b−a ⎞
x 2 p( x )dx − ⎜
⎟ =⎜
⎟
⎝ 2 ⎠
⎝ 12 ⎠
∫
2
−∞
Distribuzione uniforme
p(x)
p( x ) =
−
1
e
( x − m x )2
2σ x2
2πσ x2
x
Distribuzione gaussiana
Rumore AWGN
• Additive White Gaussian Noise
– Rumore bianco
E [x( n )] = 0
N0
2
N
rx ( m ) = 0 δ ( m )
2
σ x2 =
– Distribuzione gaussiana
p ( x) =
1
2πσ x2
Gx ( f ) =
−
e
N0
2
( x )2
2σ x2
Se le v.a. x(n) e x(m) sono scorrelate e gaussiane allora sono anche indipendenti
7
Esempio
Siano x(n) e y(n) due processi aleatori tempo
discreto stazionari e incorrelati: determinare media e
varianza del processo w(n)=x(n)+y(n)
E [ w(n) ] = E [ x( n) + y ( n) ] = E [ x(n) ] + E [ y ( n) ] = mx + my
2
2
E ⎡( w(n) − mw ) ⎤ = E ⎡( x(n) + y (n) − mx − my ) ⎤ =
⎢⎣
⎥⎦
⎣
⎦
2
2
= E ⎡( x( n) − mx ) ⎤ + E ⎡( y (n) − m y ) ⎤ − 2 E ⎡⎣( x(n) − mx ) ( y ( n) − m y ) ⎤⎦ =
⎢⎣
⎣
⎦
⎦⎥
= σ x2 + σ y2 − 2 E ⎣⎡( x(n) − mx ) ⎦⎤ E ⎣⎡( y (n) − my ) ⎦⎤ =
Covarianza tra due processi
= σ x2 + σ y2 − 2 ⎡⎣ E [ x( n) ] − mx ⎤⎦ ⎡⎣ E [ y (n) ] − m y ⎤⎦ = σ x2 + σ y2
Perché incorrelati
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