Segnali (processi) aleatori (casuali)
Definizione di processo aleatorio
Descrizione statistica di un processo aleatorio
Media, potenza, varianza
Autocorrelazione e autocovarianza
Filtraggio di un processo stazionario
Densità spettrale di potenza di processi stazionari
Processi ergodici
1
Teoria dei Segnali
Processo aleatorio
•
Un processo aleatorio è una relazione che lega al risultato (casuale) di un
esperimento una funzione nel tempo.
A
A1
A1
A1
•
Noi considereremo solo i processi aleatori tempo-continui, che si
rappresentano con la lettera maiuscola e la dipendenza dal tempo
X(" i ,t) # xi (t )
•
Attenzione: per i fissato, il segnale xi(t) NON è casuale, ma deterministico,
mentre a t fissato X(t) può assumere tutti i valori che le varie (infinite) xi(t)
assumono in t e dunque Xt= X(t) è una variabile casuale.
2
Teoria dei Segnali
Caratterizzazione statistica
•
Dato che Xt = X(t) è una variabile casuale, si potrà definire una funzione
cumulativa di probabilità
FX ( x,t) = P( X (t ) " x )
•
•
Tale funzione però non è sufficiente per caratterizzare il processo: a volte, ad
esempio, serve sapere cosa succede al tempo t1 e al tempo t2: FX ( x,t) = P( X (t ) " x )
… il che a sua volta richiede la conoscenza della funzione cumulativa
congiunta (del secondo ordine):
FX ( x1,x2,t1,t2 ) = P ( X (t1) " x1 ,X (t2 ) " x2 )
•
In generale, servirà la conoscenza della funzione cumulativa di probabilità di
ordine n, per ogni possibile n!
FX ( x1,x2 ,K, xn,t1 ,t 2 ,Ktn ) = P ( X (t1) " x1 ,X (t2 ) " x2 ,K, X (tn ) " xn )
3
Teoria dei Segnali
Valor medio, potenza, varianza
•
Per semplificarci la vita, è possibile ridursi a considerare solo alcuni indici
statistici semplificati, come il valor medio:
+#
mX (t ) = E ( X (t )) = $ x f X ( x,t ) dx
"#
•
f X (x,t) =
d
FX ( x,t)
dx
…la potenza:
(
)
+#
PX (t ) = E X (t ) = $ x 2 f X ( x,t ) dx
•
"#
… e la varianza:
" 2X
•
2
2 ' +*
$
2
(t ) = E &%( X (t ) #m X (t )) )( = + ( x # m x (t )) f X ( x,t ) dx = PX (t ) # m 2X (t )
#*
Si noti che la media NON corrisponde necessariamente ad una delle
possibili realizzazioni del processo, cioè ad una xi(t).
4
Teoria dei Segnali
Autocorrelazione e covarianza
•
E’ interessante considerare anche degli indici del secondo ordine, come la
autocorrelazione (correlazione tra le variabili casuali corrispondenti a due
istanti di tempo, t1 e t2):
+# +#
RX (t1,t2 ) = E ( X (t1 ) X (t 2 )) = $ $ x1 x2 f X ( x1,x2 ,t1 ,t 2 ) dx1 dx2
"# "#
•
… e la loro autocovarianza (misura indipendente dal valor medio):
+# +#
CX (t1 ,t2 ) = E (( X (t1) " m x (t1))( X (t2 ) " m x (t2 ))) = $ $ ( x1 " m x (t1))( x2 " m x (t2 )) f X ( x1 ,x2 ,t1,t2 ) dx1 dx2
"# "#
= RX (t1 ,t2 ) " m x (t1) m x (t2 )
•
Si noti che si parla di autocorrelazione e di autocovarianza perché,
nonostante si considerino due istanti di tempo diversi, il processo è lo stesso.
5
Teoria dei Segnali
Processi stazionari
•
•
In un generico processo aleatorio, tutte le quantità introdotte
precedentemente sono funzione del tempo, possono cambiare al variare degli
istanti.
Se tutte le funzioni statistiche che caratterizzano un processo sono invarianti
rispetto al tempo, allora il processo si dice stazionario in senso stretto.
f X (x1,x2 ,K, xn,t1,t2 ,Ktn ) = f X (x1 ,x2 ,K, xn,t1 + "t,t2 + "t,Ktn + "t)
•
•
Si noti che l’uguaglianza deve valere per ogni Δt, il che è praticamente
impossibile da verificare.
Inoltre, la stazionarietà in senso stretto (o forte) significa che non posso
distinguere due processi che sono diversi, ma differiscono tra loro solo per
una traslazione nel tempo utilizzando misure statistiche.
6
Teoria dei Segnali
Statistiche del 1° ordine per processi stazionari
•
•
Se un processo è stazionario in senso stretto, la sua funzione densità di
probabilità del primo ordine deve soddisfare f x ( x,t ) = f x ( x,t + "t ) , il che significa che deve essere indipendente dal tempo.
Di conseguenza, la media di un processo stazionario in senso stretto soddisfa
la stessa condizione, cioè è costante nel tempo.
+#
+#
"#
"#
mx (t ) = $ x f x ( x,t ) dx = $ x f x ( x) dx = m X
•
… e similmente per le altre statistiche del primo ordine, come la potenza e la
varianza:
Px (t ) = PX
" 2X (t ) = " 2X
7
Teoria dei Segnali
Statistiche di ordine superiore
•
La stazionarietà di ordine due implica che
f x ( x1,x2 ,t1,t 2 ) = fx ( x1,x2 ,t1 + "t,t2 + "t )
•
… e che, di conseguenza, la funzione densità di probabilità congiunta, così
come le statistiche come la autocorrelazione e la autocovarianza, risulta
dipendente solo dalla differenza t1-t2 e non dai particolari valori di t1 e t2.
+# +#
RX (t1,t2 ) = $ $ x1 x2 f X ( x1 ,x2 ,t1 " t2 ) dx1 dx2 = RX (t1 " t2 )
"# "#
•
Generalizzando, si può affermare che, in un processo stazionario in senso
stretto, la funzione densità di probabilità di ordine n dipenderà solo dalle n-1
differenze di tempo t1-t2, t2-t3, …, tn-1-tn che ci sono tra gli n istanti di tempo
t1, t2, …, tn. Tali differenze, infatti, sono indipendenti dalla traslazione nel
tempo.
8
Teoria dei Segnali
Stazionarietà in senso lato
•
Dato che la stazionarietà in senso stretto risulta praticamente impossibile da
verificare, ci riduciamo a considerare una stazionarietà in senso lato, nel
caso in cui siano valide:
mX ( t ) = m X
RX (t1,t2 ) = Rx (t1 " t2 )
•
Facciamo un esempio:
X (t ) = a cos( 2"f0t + #)
f# ($ ) =
&$ % " )
1
rect (
+
' 2" *
2"
f# ($ ) =
&$ % " /2 )
1
rect(
+
' " *
"
è stazionario in senso lato, mentre
X (t ) = a cos( 2"f0t + #)
non lo è.
9
Teoria dei Segnali
Autocorrelazione di un processo stazionario
•
La autocorrelazione di un processo stazionario può essere scritta nella stessa
forma di quella di un segnale deterministico:
RX (t1,t2 ) = RX (t1 ,t1 + " ) # Rx (t1 $ t 2 ) = RX (" )
•
… e per di più soddisfa le stesse condizioni:
(
)
RX ( 0) = E X 2 (t ) = PX
RX ( " # ) = E ( X ( t ) X ( t " # ) ) = E ( X ( t + # ) X ( t ) ) = RX ( # )
RX ( 0) $ RX (# )
•
%#
In particolare, l’ultima condizione viene dall’espansione della condizione
2
E#%( X (t ) ± X (t + " )) &( ) 0
$
'
(
)
E X 2 (t ) + X 2 (t + " ) ± 2X (t ) X (t + " ) ) 0
RX ( 0) + RX ( 0) ± 2RX (" ) ) 0
Teoria dei Segnali
10
Filtraggio di un processo stazionario
•
•
•
Se un processo aleatorio X(t) passa in un filtro, quanto ne esce può essere
scritto come Y (t ) = X (t ) " h(t ) , dove h(t) è la risposta impulsiva del filtro e la
convoluzione va intesa nel senso che, ad ogni funzione xi(t) si associa una
funzione yi (t ) = xi (t ) " h(t )
In generale, però, non si riesce a sapere cosa succede delle funzioni densità
di probabilità congiunte in uscita a partire da quelle in ingresso.
Limitandoci alla media, si può osservare che
+$
& +$
) +$
mY (t ) = E (Y (t)) = E ( % h(" ) X (t # ") d" + = % E (h(" ) X (t # ")) d" = % h(" ) E ( X (t # " )) d" =
' #$
* #$
#$
+$
= % h(" ) m X (t # " ) d" = h(t) & m X (t )
#$
… cioè il filtro agisce “normalmente” sulla parte “deterministica” del processo
aleatorio.
11
Teoria dei Segnali
Filtraggio di … (II)
•
Per la autocorrelazione succede che
(
( ))
RY (t1,t2 ) = E (Y (t1),Y (t2 )) = E X (t1 ) " h(t1 ) # X (t2 ) " h t
+&
)+&
, +& +&
= E + ' X ($ ) h(t1 % $ ) d$ # ' X (( )h(t2 % () d( . = ' ' E ( X ($ )h(t1 % $ ) # X ( () h(t 2 % ()) d$ d( =
*%&
- %& %&
%&
+& +&
+& +&
%& %&
%& %&
= ' ' h(t1 % $ )h(t2 % ( ) E ( X ($ ) X ( ()) d$ d( = ' ' RX ($ ,() h(t1 % $ )h(t2 % () d$ d( =
= RX (t1 ,t2 ) " h(t1 ) " h(t2 )
•
Perciò, se il processo in ingresso è stazionario (in senso lato) si ottiene
dunque che la media in uscita è costante e l’autocorrelazione dipende solo
dalla differenza dei tempi, cioè il processo in uscita è pure stazionario.
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Teoria dei Segnali
Filtraggio di … (III)
•
Più precisamente, se il segnale in ingresso è stazionario si ricava che
+$
mY (t ) = h(t) " m X (t ) = h(t) " m X = m X % h(t )dt = m X H (0)
#$
•
… mentre per la autocorrelazione vale
+&
RY (t,t " # ) = RX (t,t " # )$ h(t ) $ h(t " # ) = ' h(% )[R(t " % ,t " # ) $ h(t " # )] d% =
+&
+&
"&
+&
"&
+&
"&
"&
+&
"&
= ' h(() ' h(% ) R(t " % ,t " # " () d% d( = ' h( () ' h(% ) R("% + # + ( ) d% d( =
+&
= ' h(( )[ R(( + # ) $ h(# ) ] d( = ' h(") ) [R(# " ) ) $ h(# ) ] d) = R(# ) $ h("# ) $ h(# )
"&
•
"&
… e dunque anche il segnale in uscita è stazionario in senso lato.
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Teoria dei Segnali
Densità spettrale di potenza dei segnali stazionari
•
•
I segnali aleatori stazionari non possono avere energia finita. Altrimenti,
andrebbero a zero all’infinito, con loro la media, e questa non potrebbe
essere costante come richiesto.
Essendo segnali di potenza, si definisce la loro densità di potenza come ciò
che si ottiene invertendo la loro autocorrelazione.
S X ( f ) = F "1( RX (# ))
•
SX(f) soddisfa le condizioni:
S X ( f ) è reale e pari
(
2
)
+#
+#
"#
0
PX = E X (t) = $ S X ( f ) df = 2 $ SX ( f ) df
SX ( f ) % 0
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Teoria dei Segnali
Processi ergodici
•
•
•
Per caratterizzare un processo, fosse anche stazionario, dovremmo
conoscerne tutte le funzioni campione (impossibile!).
Ci farebbe comodo invece ricavare le informazioni statistiche sul processo
da UNA SOLA funzione campione. La cosa è possibile se il processo è
ergodico.
Un processo ergodico nella media soddisfa:
1 T /2
mX (t ) = m X = X m = lim
% X (t) dt
T"# T $T /2
•
•
cioè la variabile casuale Xm, ottenuta mediando nel tempo ogni possibile
funzione campione, ha una funzione densità di probabilità con media pari a
mX e varianza nulla.
In pratica, si può calcolare la media su una finestra mobile
1 T /2
XT =
# X (t ) dt
T "T /2
X m = lim XT
t"#
15
Teoria dei Segnali
