SOL19_1_09

Università degli Studi “La Sapienza” di Roma
Facoltà di Ingegneria A.A. 2008-2009
Corso di laurea in Ingegneria Elettronica
CALCOLO DELLE PROBABILITA’
Esame del 19 Gennaio 2009
1) Da un’urna contenete 1 pallina bianca e 3 nere si effettuano 2 estrazioni senza restituzione.
Definiti gli eventi A =”esce pallina bianca alla prima estrazione” e B =”esce pallina bianca
alla seconda estrazione”, determinare la funzione di ripartizione del numero aleatorio
X 2A  B .
2) Siano dati 4 eventi A, B, C, D con A  B , C  D e B  D   . Determinare l’insieme dei
valori di p affinché la seguente attribuzione di probabilità P(A)=1\3, P(C)=1\5 e
P(B)=P(D)=p sia coerente.
3) Dato un numero aleatorio X con distribuzione normale standard, posto Y=3X-1, calcolare la
previsione di Y, la varianza di Y e P(Y>2) in funzione di (1) .
4) Un vettore aleatorio discreto (X,Y) ha una distribuzione uniforme sull’insieme
C  (4,0); (4,0); (0,1); (4,3); (4,3). Calcolare l’equazione della retta di regressione di Y su
X.
5) Dato un sistema S costituito da due dispositivi M 1 e M 2 disposti in serie, indichiamo con
T1 e T2 i rispettivi tempi aleatori di durata. Siano, per ogni t  0 , rispettivamente h1 (t )  2 e
h2 (t )  3 le funzioni di rischio di T1 e T2 . Indicando con T il tempo aleatorio di durata del
sistema S e supponendo T1 e T2 stocasticamente indipendenti, calcolare la funzione di
ripartizione di T.
Cenni di soluzione (Esame del 19 Gennaio 2009)
1) Il diagramma di Venn è il seguente:

A
B
I costituenti sono: C1  ABC , C2  AC B, C3  AC B C ; in corrispondenza del primo
costituente il valore di X=2, in corrispondenza del secondo costituente il valore di X=-1, in
corrispondenza del terzo costituente il valore di X=0.
1
P( X  0)  P( AC B C )  P( B C / AC ) P( AC ) 
2
1
P( X  1)  P( AC B)  P( B / AC ) P( AC ) 
4
1
P( X  2)  P( AB C )  P( B C / A) P( A) 
4
x  -1
0
1

-1  x  0
4
la funzione di ripartizione è: F (x)  
3
0x2
4
1
x2

2) Il diagramma di Venn è il seguente

D
B
C
A
I costituenti sono:
C1  ABC C DC , C2  AC BC C DC , C3  AC B C CD, C4  AC B C C C D, C5  AC B C C C DC ;
posto P(Ci )  qi con i  1,2,3,4,5 bisogna risolvere il seguente sistema:
 P( A)  q1
 P( B)  q  q
1
2

 P(C )  q3
1
1
il sistema ammette soluzione se  p 

3
2
 P ( D )  q3  q 4
q1  q 2  q3  q 4  q5  1

qi  0
3) Poiché la |P(X)=0 e la Var(X)=1 risulta:
|P(Y)=3|P(X)-1=-1 (per la proprietà di linearità della previsione)
Var(Y)=9Var(X)= 9
P(Y  2)  1  P(Y  2)  1  P(3 X  1  2)  1  P( X  1)  1  (1)
4) l’equazione generica della retta di regressione di Y rispetto a X è :
y  mY  
Y

mX   Y x .
X
X
I codomini di X, Y, e XY sono rispettivamente C X   4,0,4; CY  0,1,3 e
C XY   12,0,12.
Le probabilità marginali sono:
2
2
P ( X  4 ) 
P(Y  0) 
5
5
1
1
;
P ( X  0) 
P(Y  1) 
5
5
2
2
P ( X  4) 
P(Y  3) 
5
5
2
1
2
|P(X)=  4   0   4   0
5
5
5
2
1
2 7
|P(Y)= 0   1   3  
5
5
5 5
Cov( X ; Y )

e Cov(X,Y)= |P(XY)-|P(X) |P(Y)
 XY
1
3
1
7
|P(XY)=  12   0   12   0 quindi   0 e la retta di regressione è: y  .
5
5
5
5
5)
F (t )  P(T  t )  Pmin( T1 , T2 )  t   PT1  t   T2  t   PT1  t   PT2  t   PT1  t PT2  t 
poichè le funzioni di rischio sono costanti i numeri aleatori T1 e T2 hanno distribuzione
esponenziale
rispettivamente
di
parametri
2
e
3;
pertanto
5t
2t
3t
PT1  t   1  2e e PT2  t   1  2e sostituendo tali valori risulta che F (t )  1  6e